Lévy噪聲驅(qū)動(dòng)的隨機(jī)Fornberg-Whitham方程的適定性

摘要：在Sobolev空間Hs（R）（sgt;3/2）中，使用耗散逼近方程和正則化方法，證明了Lévy噪聲驅(qū)動(dòng)的隨機(jī)Fornberg-Whitham方程的局部適定性.

關(guān)鍵詞：適定性；隨機(jī)Fornberg-Whitham方程；正則化方法

中圖分類號(hào)：O175.29"" 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

Well-posedness for StochasticFornberg-Whitham Equation with Lévy Noise

Abstract：The local well-posedness of solutions for the stochastic Fornberg-Whitham equation with Lévy noise in the Sobolev space with Hs（R）（sgt;3/2） is established by using a dissipation approximation equation and the regularization method.

Key words：well-posedness; stochastic Fornberg-Whitham equation; regularization method

0 引言

考慮如下Marcus型Lévy噪聲驅(qū)動(dòng)的隨機(jī)Fornberg-Whitham（FW）方程的適定性，

對(duì)于Marcus型Lévy噪聲，Marcus[1]提出并分析了該噪聲.Brze niak等[2]研究了該噪聲驅(qū)動(dòng)的偏微分方程的鞅解問(wèn)題.Manna等[3]研究了該噪聲驅(qū)動(dòng)的偏微分方程的適定性問(wèn)題.當(dāng)噪聲項(xiàng)

在FW方程、CH方程等水波演化模型的推導(dǎo)過(guò)程中，需要流體底部平坦等一些理想化的假定條件.然而，對(duì)于水波演化物理系統(tǒng)而言，流體表面可能受氣流等外部因素的擾動(dòng)，流體底部也可能是不規(guī)則的地形.為了更好地刻畫水波演化，在水波演化模型中附加噪聲項(xiàng)以解釋外部隨機(jī)效應(yīng)的影響已得到廣泛認(rèn)可[8-9].在最近的研究中，對(duì)于高斯噪聲驅(qū)動(dòng)的水波演化模型，Chen等[9]研究了隨機(jī)旋轉(zhuǎn)雙組分CH系統(tǒng)的適定性；Miao等[10]研究了隨機(jī)廣義CH方程的適定性.Lévy噪聲驅(qū)動(dòng)的隨機(jī)DP方程和隨機(jī)CH方程的適定性由文獻(xiàn)[11]得到.同為水波演化模型，附加噪聲項(xiàng)的FW方程尚未得到研究.受上述文獻(xiàn)的啟發(fā)，本文將使用文獻(xiàn)[9-11]中的方法研究Lévy噪聲驅(qū)動(dòng)的隨機(jī)FW方程在Hs（R）（sgt;3/2）中的適定性.本文的主要?jiǎng)?chuàng)新點(diǎn)有兩方面：一是選取了最近幾年熱點(diǎn)的Marcus型Lévy噪聲；二是選取逼近方程的方法不同于文獻(xiàn)[9-11].對(duì)比文獻(xiàn)[9]，由于需將s的范圍從sgt;5/2擴(kuò)展到sgt;3/2，需構(gòu)建一個(gè)僅磨光初值的逼近方程，且證明解序列為Cauchy列.文獻(xiàn)[10]通過(guò)磨光輸運(yùn)項(xiàng)uux，將方程視為Sobolev空間中的隨機(jī)常微分方程，并根據(jù)解的存在性理論得到方程解的存在唯一性.在方程中加入黏性項(xiàng)，并根據(jù)壓縮映射原理得到方程解的存在唯一性.對(duì)比文獻(xiàn)[11]，在逼近方程中加入截?cái)嗪瘮?shù)，以另一種方式克服了輸運(yùn)項(xiàng)的影響.

1 預(yù)備知識(shí)

令Φ（v）=Φ（v，z，w）為如下微分方程的解：

dΦ（v）=－zΦ（v）dv，Φ（0）=w.

可得Φ（v，z，w）=e－zvw.令

f（u）=－（1－2x）－1xu，

g（u）=e－zu（t，x）－u（t，x）.

根據(jù)文獻(xiàn)[12]，方程（1）可寫為

對(duì)于Rgt;0，φR（x）：［0，∞）→［0，1］是C∞類非增函數(shù)，使得

D（［0，T］;Hs）是［0，T］到Hs具有左極限且右連續(xù)的空間.

定義1（局部路徑解） 設(shè)S=（Ω，F(xiàn)，P，F(xiàn)tt≥0）是一個(gè)隨機(jī)基，u0是一個(gè)Hs值的F0-可測(cè)隨機(jī)變量.若（u，τ）滿足：

（1） τ：Ω→［0，∞）是一個(gè)Ft-停時(shí)且有P（τgt;0）=1;

（2） u：Ω×R×［0，τ］→R是一個(gè)具有D（［0，τ］;Hs）類軌跡隨機(jī)變量，且u（t∧τ）適應(yīng)于Ftt≥0；

（3） 對(duì)于任意tgt;0在L2意義下有

則稱（u，τ）為隨機(jī)FW方程（2）的局部路徑解.

定義2（局部唯一性） 若對(duì)于任意的兩個(gè)局部路徑解（u1，τ1），（u2，τ2）滿足：

則稱隨機(jī)FW方程（2）有唯一的局部路徑解.

定義3（最大解） 設(shè)S=（Ω，F(xiàn)，P，{Ft}t≥0）是一個(gè)隨機(jī)基，u0是一個(gè)Hs值的F0-可測(cè)隨機(jī)變量.若（u，τmax）滿足：

（1）τmax：Ω→［0，∞）是一個(gè)Ft-停時(shí)且有P（τmaxgt;0）=1;

（3） 任意的（u，τn）n∈N是定義1意義下的局部路徑解，

則稱（u，τmax）為隨機(jī)FW方程（2）的最大解.

引理2[14] 若f∈Hs∩W1，∞，g∈Hs－1∩L∞，sgt;0，則有

2 逼近方程的適定性

在這部分，將方程（2）加入截?cái)嗪瘮?shù)和黏性項(xiàng)，即考慮如下的方程：

其中：0lt;εlt;1/4;φR：=φR（‖u‖W1，∞），具體定義見式（3）.下面研究方程（4）的適定性.

定理1 對(duì)于Rgt;0，sgt;3/2，u0∈Hs，方程（4）存在唯一的全局解uR，使得uR∈L2（Ω;D（［0，T］;Hs））對(duì)所有Tgt;0.

由半群性質(zhì)、引理2和Burkholder-Davis-Gundy（B-D-G）不等式得

由測(cè)度v（dz）在Z上的有限性得

綜上得

由微分中值定理和引理2得

則有

其余項(xiàng)與Γu一致，故得

則由式（6）和式（7）得

綜上知，Γ是由BM到BM的壓縮映射.根據(jù)壓縮映射原理，可知方程（4）存在唯一的解uR∈L2（Ω;D（［0，T0］;Hs））.重復(fù)上述過(guò)程，可將［0，T0］延拓至［0，T］，其中Tgt;0.綜上，定理1得證.

3 隨機(jī)FW方程在光滑空間中的適定性

在這部分，將方程（4）的初值磨光，即考慮如下的方程：

首先給出定理證明過(guò)程中用到的兩個(gè)重要引理.

由引理3和嵌入定理得

由測(cè)度v（dz）在Z上的有限性得

由B-D-G不等式得

綜上得

根據(jù)Gronwall不等式和引理1得

對(duì)于k=2，同k=1可得

綜上，引理4得證.

引理5 對(duì)于sgt;5/2，方程（8）的解序列在D（［0，T］;Hs）P-a.s.為Cauchy列.

同引理4證明得

由嵌入定理得

由嵌入定理、微分中值定理和引理2得

拆分I3（q），得

記h=uε+uη，由引理2得

由嵌入定理得

綜上得

根據(jù)Gronwall不等式和引理1得

由嵌入定理得

由嵌入定理、微分中值定理、引理2和式（10）得

拆分I3（s）得

由嵌入定理、引理2和式（10）得

由嵌入定理、引理2得

由嵌入定理得

綜上得

根據(jù)Gronwall不等式和引理1得：當(dāng)ε→0時(shí)，

結(jié)合引理4和Chebyshev不等式可知，對(duì)于任意小的δgt;0，存在常數(shù)Mgt;0，使得

結(jié)合式（12）可知，對(duì)于某些M和任意λgt;0，存在ε0gt;0使得：當(dāng)εlt;ε0時(shí)，

綜上得

即當(dāng)ε→0時(shí)，在D（［0，T］;Hs）中w→0.綜上，引理5得證.

接下來(lái)討論方程（2）在光滑空間中的適定性.

定理2 對(duì)于sgt;5/2，u0∈Hs，隨機(jī)FW方程（2）存在唯一的最大解（u，τmax）.

證明 對(duì)于如下方程：

由引理5知方程（8）的解序列是一個(gè)Cauchy列.下面說(shuō)明解序列的極限u為方程（13）的唯一解.根據(jù)引理5可得存在u使得當(dāng)ε→0時(shí)，在D（［0，T］;Hs）中uε→uP－a.s..現(xiàn)僅考慮方程（8）中兩項(xiàng)的收斂性，其余項(xiàng)同理可得.對(duì)于任意v∈L2，有

對(duì)于B1有

則當(dāng)ε→0時(shí)，B1→0.根據(jù)微分中值定理可得B2→0.綜上知當(dāng)ε→0時(shí)，

對(duì)于隨機(jī)項(xiàng)，由B-D-G不等式得

同理可得對(duì)應(yīng)隨機(jī)項(xiàng)的收斂性.綜上知解序列的極限u為方程（13）的解.

設(shè)τn=inftgt;0：‖u‖Hs≥n，則當(dāng)t≤τn時(shí)，有φn（‖u‖W1，SymboleB@）=1.因此un是方程（2）在［0，τn］上的解.接下來(lái)說(shuō)明解的局部唯一性，設(shè)

結(jié)合定義2得局部解的唯一性.綜上，已得到方程（2）的局部解（u，τ），將局部解（u，τ）擴(kuò)展到定義3意義上的最大解（u，τmax）的過(guò)程是標(biāo)準(zhǔn)的，可同文獻(xiàn)[16]定理14或文獻(xiàn)[17]定理4.3的證明得到.綜上，定理2得證.

4 隨機(jī)FW方程的適定性

在這部分建立方程（2）在HsR（sgt;3/2）中的適定性.首先，考慮如下逼近方程：

通過(guò)定理2可知，對(duì)于qgt;5/2，方程（14）存在唯一的局部解（uε，τε）使得uε∈D（［0，τε］;Hq）P-a.s.，現(xiàn)需證明解序列為HsR（sgt;3/2）中的Cauchy列.

和對(duì)任意固定的ε有

則存在u∈D（［0，τ］;Hs），使得

定理3 對(duì)于sgt;3/2，u0∈Hs，隨機(jī)FW方程（2）存在唯一的最大解（u，τmax）.

證明 受文獻(xiàn)[10]的啟發(fā)，將由引理6證明方程（14）的解序列為Cauchy列.現(xiàn)證明式（15），對(duì)于1/2lt;qlt;min1，s－1，w滿足如下的方程：

其中等號(hào)右邊第一項(xiàng)與式（10）（3/2lt;qlt;s－1）情形的證明不一致，其余項(xiàng)均一致.僅證明右邊第一項(xiàng)，使用引理3可得

則易知

由引理4和Chebyshev不等式得

則易知式（16）成立，故可得式（17）.唯一性的證明和最大解的延拓同sgt;5/2情形.綜上，定理3得證.

5 結(jié)語(yǔ)

本文研究了Marcus型Lévy噪聲驅(qū)動(dòng)的Fornberg-Whitham（FW）方程的局部適定性問(wèn)題.首先，建立耗散逼近方程在L2（Ω;D（［0，T］;Hs））中的整體存在性.接著，通過(guò)磨光初值并結(jié)合引理4給出的先驗(yàn)估計(jì)，建立隨機(jī)FW方程在光滑空間D（［0，τmax）;Hs）（sgt;5/2）中最大解的存在唯一性.最后，通過(guò)磨光初值并結(jié)合引理6，建立隨機(jī)FW方程在D（［0，τmax）;Hs）（sgt;3/2）中最大解的存在唯一性.

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