具有奇異項(xiàng)和雙臨界指數(shù)的分?jǐn)?shù)階Schr?dinger-Poisson系統(tǒng)的多重正解

摘要：研究了一類具有奇異項(xiàng)和雙臨界指數(shù)的分?jǐn)?shù)階Schr?dinger-Poisson系統(tǒng).通過擾動法解決了奇異項(xiàng)導(dǎo)致泛函在零點(diǎn)不可微的問題，并且利用非光滑泛函的臨界點(diǎn)理論和山路引理，得到了該系統(tǒng)兩個正解的存在性.

關(guān)鍵詞：擾動法;非光滑泛函;臨界點(diǎn)理論;山路引理

中圖分類號：O177.91"" 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

Multiple Positive Solutions of Fractional Schr?dinger-PoissonSystems with Singularity Terms and Double Critical Exponents

Abstract：In this paper， a class of fractional order Schr?dinger-Poisson systems with singular terms and double critical exponents is considered. The problem that the singular term causes the functional to be nondifferentiable at zero is solved by a perturbation method， and the existence of two positive solutions of the system is obtained by using the critical point theory of non-smooth generalized functions and mountain lemma.

Key words：perturbation method; non-smooth functional; critical point theory; mountain lemma

0 引言

研究以下分?jǐn)?shù)階Schr?dinger-Poisson系統(tǒng)正解的存在性和多重性

其中：Ω是RN上的一個光滑有界域，s∈（0，1），Ngt;2s，2*s=（2N）/（N－2s），λgt;0，0lt;γlt;1.

該系統(tǒng)來源于Schr?dinger-Poisson系統(tǒng)

其中，V，K，f滿足一些假設(shè)條件.Schr?dinger-Poisson系統(tǒng)是1926年由奧地利物理學(xué)家Schr?dinger[1]提出的量子力學(xué)中的一個基本方程.在磁場忽略不計(jì)的情況下，其用于刻畫相同帶電粒子相互作用的系統(tǒng)，可描述微觀粒子的運(yùn)動.因此，它在量子力學(xué)和半導(dǎo)體理論中被廣泛應(yīng)用.目前，Schr?dinger-Poisson系統(tǒng)的基態(tài)解和正解的存在性和多重性被廣泛研究[2-6].

此外，分?jǐn)?shù)階Schr?dinger-Poisson系統(tǒng)也廣泛地應(yīng)用于優(yōu)化、金融、反應(yīng)擴(kuò)散等領(lǐng)域.最近，具有奇異項(xiàng)的分?jǐn)?shù)階Schr?dinger-Poisson系統(tǒng)

與此同時，具有臨界非局部項(xiàng)的分?jǐn)?shù)階Schr?dinger-Poisson系統(tǒng)

也受到了關(guān)注，其中s∈（0，1），2*s=6/（3－2s），λgt;0是一個實(shí)參數(shù)，f和V滿足一些適當(dāng)?shù)募僭O(shè).Jiang等[13]研究了系統(tǒng)（3），通過應(yīng)用變分方法和山路定理，證明了該系統(tǒng)至少有兩個正解.當(dāng)λ=1時，F(xiàn)eng等[14]研究了具有雙臨界項(xiàng)的分?jǐn)?shù)階Schr?dinger-Poisson系統(tǒng)的非平凡解，通過山路引理和集中緊性原理，證明了系統(tǒng)（3）平凡解的存在性.當(dāng)s∈3/4，1，λ=1時，He[15]研究了具有雙臨界指數(shù)的分?jǐn)?shù)階Schr?dinger-Poisson系統(tǒng)，通過變分方法得到了系統(tǒng)（3）存在一個正解.

定理1 設(shè)s∈（0，1），Ngt;2s，2*s=6/（3－2s），0lt;γlt;1，當(dāng)λgt;0時，存在λ*gt;0，使得對于任意的0lt;λlt;λ*，系統(tǒng)（1）至少有兩個正解.

1 相關(guān)引理

間，其范數(shù)為

由Lax-Milgram定理得系統(tǒng)（1）的第二個方程有唯一解=u∈Ds，2（Ω）.因此，系統(tǒng)（1）可以轉(zhuǎn)換為以下方程

與問題（5）相關(guān)的能量泛函為

函數(shù)u∈H是問題（5）的一個弱解，即（u，u）是系統(tǒng)（1）的一個弱解，其中ugt;0，當(dāng)且僅當(dāng)對于任意的v∈H，

由于該問題具有奇異項(xiàng)，導(dǎo)致能量泛函I（u）在H上不可微.因此，利用擾動法使奇異項(xiàng)在零點(diǎn)處不奇異，即對于αgt;0，考慮以下擾動問題：

求解問題（6）等價(jià)于求解以下C1泛函的臨界點(diǎn)，

這就意味著對于u，v∈H，有

引理1[13] 對于任意的u∈H，系統(tǒng)（1）的第二個方程有唯一解u∈H，滿足以下性質(zhì).

（1）對于所有的u∈H，有u≥0;

首先，回顧從非光滑泛函的臨界點(diǎn)理論中改寫的PS序列的概念.設(shè)（X，d）是一個完備度量空間，f：X→R是X中的連續(xù)泛函.定義|df|（u）在［0，∞）上的極限為δ，使得存在rgt;0和一個連續(xù)映射σ：U×［0，r］，滿足

當(dāng)n→∞時，如果|df|（un）→0和f（un）→clt;+∞，則稱X中的序列un為泛函f的PS序列.因此，對于定義的泛涵 Iα，當(dāng)n→∞時，若|dIα|（un）→0和Iα（un）→clt;+∞，則稱Iα在水平c上滿足PS條件.為尋找問題（6）的正解，在H的閉正錐P上考慮泛函Iα.H的閉正錐定義為

P={u|u∈H，u（x）≥0，a.e.x∈Ω}.

這里P是一個完備度量空間，Iα是P上的連續(xù)泛函.

引理2 假設(shè)|dIα|（u）lt;+∞，則對于任意的v∈P，都有

其中U是u的一個鄰域，有‖σ（z，t）－z‖=t.由式（8）知，存在（z，t）∈U×［0，δ］，使得

Iα（σ（z，t））gt;Iα（z）－ct.

因此，假設(shè)存在{un}P和{tn}［0，+∞），使得un→u和tn→0+，

Iα［un+tn（v－un）/‖v－un‖］≥Iα（un）－ctn，即

Iα［un+sn（v－un）］≥Iα（un）－csn‖v－un‖，（10）

當(dāng)n→∞時，有sn=tn/‖v－un‖→0+.式（10）除以sn，可得

根據(jù)微分中值定理，有

同理

因此，結(jié)合（12），（13），（14）和引理2，可得

其中v∈P.由于|dIα|（u）lt;c是任意的，所以式（9）成立.

最后，在式（9）中取v=（u+ωφ）+∈P為測試函數(shù)，對于φ∈H，ωgt;0，有

因此，

可以推出

通過φ的任意性可得

因此，u是Iα的臨界點(diǎn)，即u是問題（6）的一個正解.

引理3 存在常數(shù)λ*，r，ρgt;0，使得對于每個λ∈（0，λ），Iα滿足以下性質(zhì)：

因此，由式（16）和式（4）得

其中，αlt;ξlt;t|u|+α.這表明對所有u≠0及足夠小的t，當(dāng)0lt;λlt;λ*時，有Iα（tu）lt;0，即

因此，對于所有給定的λ*gt;0，當(dāng)0lt;λlt;λ*時，式（1）成立.

（2）對于每個u∈H，u≠0，當(dāng)t→+∞時，有Iα（tu）→－∞.因此，式（2）得證.

引理4 假設(shè)c∈（0，c*），0lt;γlt;1，那么Iα滿足（PS）c條件.

在式（17）中取v=2un∈P，可得

由式（15）和式（16）得

由于1－γlt;2，因此un在H有界，從而存在un的子列（仍記為un），且有v*∈H，使得當(dāng)n→∞時，有

因此，根據(jù)控制收斂定理有

根據(jù)Brézis-Lieb引理，有

根據(jù)引理1，式（19），式（21）可以得出

因此，推出

在不失一般性的情況下，可以假設(shè)

注意到

根據(jù)（22）和Sobolev不等式、H?lder不等式、Young不等式，有

根據(jù)（19）和（21），（25），引理1可得

這與上面的不等式相矛盾.因此，l=0，這意味著在H中，當(dāng)n→∞時，有un→u成立.

將u乘以系統(tǒng)（1）的第二個方程并進(jìn)行積分，得

設(shè)

通過式（26），有

對于所有u∈H.

考慮以下問題

發(fā)現(xiàn)函數(shù)J0的臨界點(diǎn)是問題（28）的弱解.與問題（28）相關(guān)的能量泛函為

與引理3的證明類似，可以證明函數(shù)J0也滿足山路定理.因此，問題（28）有一個正解u0，滿足J0（u0）lt;0.

證明 由文獻(xiàn)[18]和文獻(xiàn)[19]有

對于足夠小的εgt;0，通過（26）可以得到

由于u0是問題（28）的一個正解，有

對于t≥0，令

因此，

Iα（un）→mlt;0，Iα′（un）→0.

由于在Ω中un≥0，則Iα（un）=Iα（un）.由引理4知存在uα∈H，使得在H中un→uα且Iα（un）→mlt;0.因此，利用強(qiáng)極大值原理，當(dāng)Iα（uα）lt;0時，得到uα是問題（6）的一個正解.

其次，設(shè)0lt;λlt;λ*=minλ0，λ1，通過引理6選擇一個常數(shù)Tgt;0，使得Iα（u0+Tvε）lt;0，應(yīng)用山路引理，存在一個序列vnH，使得

Iα（vn）→cαgt;r，Iα′（vn）→0，

這就意味著vα≠0.同樣當(dāng)Iα（vα）gt;0時，可以得知vα是問題（6）的一個正解.

顯然，ψn在H中是有界的，因此存在ψ∈H和ψn的子序列（仍記為ψn）滿足ψnψ，在H上，ψn（x）→ψ（x），在Ω內(nèi)幾乎處處.

令fn（x）=λ/（|ψn（x）|+1）γ，可得fn在LSymboleB@（Ω）中是有界的.故fn在L2（Ω）中也是有界的，則存在子序列滿足

fn（x）→f（x）=λ/（|ψ（x）|+1）γ，在Ω內(nèi)，

且在L2（Ω）中有fnf.由上述討論得

即

2 定理1的證明

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