考慮醫療資源影響下的SIS模型動力學性態分析

關鍵詞：醫療資源；平衡點；穩定性

中圖分類號：O175.1"" 文獻標志碼：A

0 引言

傳染病是經過一定途徑傳染給另一個人或物種的疾病，它是由病原微體（如病毒、細菌和真菌等）或由寄生蟲（如原蟲、蠕蟲等）感染人或其他生物后引起的流行的疾病的總稱[1]，通常可以通過直接接觸、或者接觸體液及排泄物傳播，也可以通過母嬰傳播、空氣傳播、水源傳播、食物傳播等.由于傳染病的類型繁多以及在爆發后的初期、中期、晚期的情況呈現多樣化，使得無法提前做出預防措施和相應的治療方案.因此，當傳染病發生時，想在短期內快速地建立足夠的醫療資源并不現實，也不科學，故當傳染病爆發后，如何快速地制定合理的、行之有效的治療方案就顯得尤為重要.

在傳統的傳染病模型中[2-3]，恢復率μ通常是一個常數，但實際上恢復率μ與醫療資源的情況有密切的關系.恢復率表示恢復者在感染者中所占的比例，當病床數增加或醫療資源充足時，感染者就能快速接受治療，同時恢復的也比較快，此時恢復率增大；當感染者增多，醫療資源匱乏時，恢復率降低.為此，在文獻［4-7］中把恢復率μ看作是病床數b和I的函數μ（I，b0），

本文將總人口分為易感類（S）和染病類（I）.考慮了雙線性發生率以及具有醫療資源影響的SIS模型，為后期研究具有標準發生率的SIS模型打下基礎，建立以下模型：

其中：參數A表示人口的輸入率，且均為易感者；d為自然死亡率系數；α表示因病死亡率系數；β表示與患者接觸后被感染的概率.

顯然，系統（1）的可行域為

容易驗證Ω為系統（1）的正不變集.

1 平衡點的存在性

1.1 無病平衡點的存在性

1.2 正平衡點的存在性

令微分方程（1）的右端為零，即

由式（2）可以得到系統（1）的正平衡點E（S，I）滿足：

將式（3）代入式（2）中的第二個方程中，得到一個關于I的一元二次方程，

F（I）=A1I2+B1I+C1=0，

其中

顯然，R1lt;R0，故可以得到：

（1）當R1lt;1時，

①若R0lt;1，則系統不存在正平衡點；

（2）當R1gt;1時，R0gt;1，故分以下兩種情況：

根據以上分析，有以下定理.

取A=3，β=0.052，d=0.2，α=0.035，u0=0.2，u1=0.35，b0=0.2，R1gt;1，繪制了感染者I隨R0變化的圖像，當R0gt;1時，系統存在一個正平衡點，如圖2所示.

2 平衡點的穩定性

2.1 無病平衡點的穩定性

系統（1）在無病平衡點E0處的Jacobian矩陣為[8]

特征方程為

（λ+d）λ+（d+α+μ1）（1－R1）=0.

通過分析可得以下定理.

定理2 當R1lt;1時，無病平衡點E0局部漸近穩定;當R1gt;1時，無病平衡點E0是不穩定的.

2.2 正平衡點的穩定性

系統（1）在正平衡點E（S，I）處的Jacobian矩陣為

特征方程為

λ2－tr（JE）λ+det（JE）=0，

其中

F′（I）=2A1I+B1，A1gt;0.因此，有以下幾種情況：

3 參數敏感性分析

為了找到較好的防控措施，需要對影響R0的參數進行分析，下面對基本再生數中的一些參數進行敏感性分析.

u，α，β，d對R0的影響如圖3-圖6所示.從圖3、圖4中可以看出R0隨著μ，α的增加而減少；圖5顯示，當βlt;0.2時，基本再生數小于1；圖6顯示，當dgt;0.3時，R0幾乎為一個常數，此時d對R0的影響幾乎可以忽略不計.為了體現參數對R0的綜合影響，分別繪制了α與β，α與d對R0的影響，如圖7和圖8所示.由圖7可以看到，β對R0的影響比較大；圖8顯示，α對R0的影響比d對R0的影響大.

4 結語

參考文獻：

[1] 馬知恩，周義倉，王穩地，等.傳染病動力學的數學建模與研究[M].北京：科學出版社，2004.

[2] 聶勇冰，侯強.具有logistic增長的SIS傳染病模型動力學分析[J].中北大學學報（自然科學版），2022，43（4）：307-312.

[3] 王夢玭，鄒劭芬.具有雙線性發生率的SIR模型的研究[J].湖南師范大學自然科學學報，2019，42（3）：90-94.

[4] SHAN C H，ZHU H P.Bifurcations and complex dynamics of an SIR model with the impact of the number of hospital beds［J］.Journal of Differential Equations，2014，257（5）：1662-1688.

[5] 張永鑫，李桂花，康彩麗.具有接種項且考慮醫院病床數的SVIS模型的性態分析[J].黑龍江大學自然科學學報，2016，33（5）：606-610.

[6] 董宜靜，李桂花.考慮潛伏期及醫療資源影響SEI模型動力學分析[J].黑龍江大學自然科學學報，2017，34（2）：169-174.

[7] 康彩麗.考慮醫療資源影響下傳染病模型的建立與研究[D].太原：中北大學，2015.

[8] WANG W D，RUAN S G.Simulating SARS outbreak in Beijing with limited data[J].Journal of Theoretical Biology，2004，227（3）：369-379.