數論函數方程S(SL(nk))=φ2e(n)的可解性

摘要：設n為正整數， 利用Smarandache函數S（n）、Smarandache LCM函數SL（n）以及廣義Euler函數φe（n）的定義及相關性質， 結合初等數論方法與技巧， 證明了方程S（SL（n））=φ22（n）僅有正整數解n=8，12， 以及方程S（SL（n2））=φ2e（n）（e=1，2）在e=1時， 僅有正整數解n=1; 在e=2時， 僅有正整數解n=9，18.

關鍵詞：廣義Euler函數; Smarandache函數; 方程; 正整數解

中圖分類號：O156.1 """文獻標志碼：A

Solvability of Arithmetic Function Equation S（SL（nk））=φ2e（n）

Abstract：Let n be a positive integer， using the definition and related properties of the Smarandache function S（n）， the Smarandache LCM function SL（n）， and the generalized Euler functionφe（n），and combining the methods and techniques of elementary number theory， it is proved that the equation S（SL（n））=φ22（n） has only positive integer solutions n=8，12， and the equation S（SL（n2））=φ2e（n）（e=1，2） has only positive integer solutions n=1 at e=1， and only positive integer solutions n=9，18 at e=2.

Key words：generalized Euler function; Smarandache function; function; positive integer solution

0 引言

數論函數是數論的一個熱點研究內容.20世紀90年代，SMARANDACHE F[1]提出了Smarandache函數S（n）的概念，對于n∈Z+，S（n）表示使得n|m！成立的最小的正整數m，即S（n）=min{m：m∈Z+，n|m！}.隨后，人們在Smarandache函數S（n）的基礎上定義了衍生的Smarandache LCM函數SL（n）[2]：最小的正整數k，使得n|［1，2，…，k］，即SL（n）=min{k：k∈Z+，n|LCM［1，2，…，k］}.Euler函數定義為不大于n并與n互素的正整數的個數[3]，在數論和

近年來，與S（n），SL（n）和φe（n）相關的數論函數方程的可解性受到眾多學者的關注，并獲得了不少有意義的結果.文獻[5-6]主要利用初

在此基礎上，本文利用S（n）、SL（n）和φe（n）的性質，結合初等數論方法，討論了數論函數方程S（SL（n））=φ22（n）以及S（SL（n2））=φ2e（n）（e=1，2）的可解性，并給出了其全部正整數解.

1 相關引理

引理2[20] 對于素數p和正整數k，有S（pk）≤kp成立;如果klt;p，那么S（pk）=kp.

引理3[21] Euler函數是積性函數，即m，n∈Z+且（m，n）=1，有φ（mn）=φ（m）φ（n）.

2 定理及證明

定理1 對任意正整數n，方程

S（SL（n））=φ22（n）（1）

僅有正整數解n=8，12.

證明 當n=1時，S（SL（1））=1≠φ22（1）=0，故n=1不是方程（1）的解.

（1）當k=1時，n=2α或n=pα，其中p為奇素數，討論S（SL（n））=φ22（n）的解.

首先，當n=2α時，有

①當α=1時，S（SL（2））=S（2）=2≠φ22（2）=1，故n=2不是方程（1）的解.

②當α=2時，S（SL（22））=S（4）=4≠φ22（22）=1，故n=4不是方程（1）的解.

③當α=3時，S（SL（23））=S（23）=4=φ22（23），故n=8是方程（1）的解.

其次，當n=pα時（p為奇素數），有

③當α≥3時，分別對α≥p和αlt;p兩種情況進行討論.

其中n1=n/pα，（n1，pα）=1.

當p=2時，S（22）=4=φ2（n1），解得φ（n1）=2，則n1=3，4，6，又因為（n1，pα）=1，則n1=3，此時n=3×22=12，故n=12是方程（1）的解.

綜上，定理1得證.

定理2 對任意正整數n，方程

S（SL（n2））=φ2（n）（3）

僅有正整數解n=1.

證明 當n=1時，S（SL（12））=φ2（1）=1，因此n=1是方程（3）的解.

（1）當k=1時，即n=2α或n=pα，其中p為奇素數，討論S（SL（n2））=φ2（n）的解.

首先，當n=2α時，有

①當α=1時，S（SL（22））=S（4）=4≠φ2（2）=1，則n=2不是方程（3）的解.

②當α=2時，S（SL（24））=S（24）=6≠φ2（4）=4，則n=4不是方程（3）的解.

其次，當n=pα時（p為奇素數），有

①當α=1時，S（SL（p2））=S（p2）=2p，φ2（p）=（p－1）2，令2p=（p－1）2，該方程無解，則n=p不是方程（3）的解.

②當α=2時，S（SL（p4））=S（p4），φ2（p2）=p2（p－1）2.

當p=3時，S（SL（34））=9，φ2（32）=9×4=36，9≠36，則n=9不是方程（3）的解.

當pgt;3時，S（SL（p4））=S（p4）=4p，φ2（p2）=p2（p－1）2，則4p=p2（p－1）2，該方程無解，故此時方程（3）無解.

③當α≥3時，分別對2α≥p和2αlt;p兩種情況進行討論.

與α≥3矛盾，故方程（3）無解.

其中n1=n/pα，（n1，pα）=1.

令max{p2αii}=p2α，由引理1有S（SL（n2））=S（p2α）.下面討論方程S（SL（n2））=φ2（n）在k≥2的解.

①當α=1時，S（SL（n2））=S（p2）=2p=φ2（n）=（p－1）2φ2（n1）.

當φ2（n1）=1時，有2p=（p－1）2，該方程無解，故此時方程（3）無解.

當φ2（n1）≥2時，有

②當α=2時，φ2（n）=p2（p－1）2φ2（n1）=S（p4），注意到φ（n1）為整數，可得方程（3）無解.這是因為當p=2時，S（24）=6=4φ2（n1）;當p=3時，S（34）=9=36φ2（n1）;當p≥5時，

p（p－1）2φ2（n1）gt;4，則S（p4）=4p≠p2（p－1）2φ2（n1）.

③當α=3時，φ2（n）=p4（p－1）2φ2（n1）=S（p6），注意到φ（n1）為整數，則方程（3）無解.這是因為當p=2時，S（26）=8=16φ2（n1）;當p=3時，S（36）=15=324φ2（n1）;當p=5時，S（56）=25=10000φ2（n1）;當p≥7時，

p3（p－1）2φ2（n1）gt;6，則S（p6）=6p≠p4（p－1）2φ2（n1）.

④當α=4時，φ2（n）=p6（p－1）2φ2（n1）=S（p8），注意到φ（n1）為整數，可得方程（3）無解.這是因為當p=2時，S（28）=10=64φ2（n1）;當p=3時，S（38）=18=2916φ2（n1）;當p=5時，S（58）=35=250000φ2（n1）;當p=7時，S（78）=49=76×62φ2（n1）;當p≥11時，p5（p－1）2φ2（n1）gt;8，則S（p8）=8p≠p6（p－1）2φ2（n1）.

綜上，定理2得證.

定理3 對任意正整數n，方程

S（SL（n2））=φ22（n）（5）

僅有正整數解n=9，18.

證明 當n=1時，S（SL（12））=1≠φ22（1）=0，故n=1不是方程（5）的解.

（1）當k=1時，即n=2α或n=pα，其中p為奇素數，討論S（SL（n2））=φ22（n）的解.

首先，當n=2α時，有

①當α=1時，S（SL（22））=S（4）=4≠φ22（2）=1，故n=2不是方程（5）的解.

②當α=2時，S（SL（24））=S（24）=6≠φ22（22）=1，故n=4不是方程（5）的解.

③當α=3時，S（SL（26））=S（26）=8≠φ22（23）=4，故n=8不是方程（5）的解.

④當α=4時，S（SL（28））=S（28）=10≠φ22（24）=16，故n=16不是方程（5）的解.

其次，當n=pα時（p為奇素數），有

當p=3時，S（SL（34））=φ22（32）=9，則n=9是方程（5）的解.

③當α≥3時，分別對2α≥p和2αlt;p兩種情況進行討論.

與α≥3矛盾，故方程（5）無解.

其中n1=n/pα，（n1，pα）=1.

當p=2時，式（6）成立，此時φ（n1）=4，則n1=5，8，10，12，又因為（n1，pα）=1，則n1=5，n=10，此時S（SL（102））=S（52）≠S（p2），故n=10不是方程（5）的解.

當p=2時，S（24）=6=φ2（n1），此時φ（n1）為非整數，方程（5）無解.

綜上，定理3得證.

3 結語

本文利用S（n），SL（n）和φe（n）的性質，結合初等數論方法，討論了數論函數方程S（SL（n））=φ22（n）以及S（SL（n2））=φ2e（n）（e=1，2）的可解性，并給出了其全部正整數解.后續，可以進一步研究方程S（SL（n2））=φ2e（n）在e=3，4，6時的可解性.

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