基于自適應(yīng)階次邊界元法的列車車輪聲輻射高效計(jì)算

摘要：【目的】車輪是產(chǎn)生輪軌滾動(dòng)噪聲的主要噪聲源之一，對(duì)其聲輻射特性的數(shù)值仿真涉及大規(guī)模聲學(xué)計(jì)算。【方法】為提高車輪聲輻射的計(jì)算效率，引入了自適應(yīng)階次邊界元法。通過有限元法和邊界元法相結(jié)合，以自由場中的車輪聲輻射為研究對(duì)象，采用自適應(yīng)階次邊界元法計(jì)算了車輪振動(dòng)輻射聲功率、標(biāo)準(zhǔn)測(cè)量點(diǎn)的聲壓以及車輪聲輻射指向性，并與傳統(tǒng)邊界元法和快速多極子邊界元法的計(jì)算結(jié)果及計(jì)算時(shí)間進(jìn)行了對(duì)比。【結(jié)果】不同邊界元法得到的聲輻射結(jié)果基本一致，而自適應(yīng)階次邊界元法的計(jì)算速度約為傳統(tǒng)邊界元法的36倍、快速多極子邊界元法的11倍。【結(jié)論】自適應(yīng)階次邊界元法計(jì)算效率遠(yuǎn)高于其他邊界元方法，在對(duì)車輪高頻聲輻射的研究中具有顯著優(yōu)勢(shì)以及良好的適用性。研究結(jié)果可為大規(guī)模聲學(xué)計(jì)算提供參考。

關(guān)鍵詞：車輪聲輻射；大規(guī)模聲學(xué)計(jì)算；自適應(yīng)階次邊界元法；計(jì)算效率。

中圖分類號(hào)：U270.16 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

本文引用格式：白栩波，張獻(xiàn)英，LI Yue. 基于自適應(yīng)階次邊界元法的列車車輪聲輻射高效計(jì)算[J]. 華東交通大學(xué)學(xué)報(bào)，2024，41（5）：48-55.

Efficient Calculating of the Vibro-acoustic Behavior of Train Wheel Based on Boundary Element Method with Adaptive Order

Bai Xubo1，2， Zhang Xianying1，2， Li Yue3

（1. Key Laboratory of Road and Traffic Engineering of the Ministry of Education， Tongji University， Shanghai 201804， China；

2. Shanghai Key Laboratory of Rail Infrastructure Durability and System Safety， Tongji University， Shanghai 201804， China;

3. Siemens Digital Industries Software， Leuven 3001， Belgium）

Abstract： 【Objective】 Train wheel is a significant noise source in the rolling noise， and predicting its vibroacoustic behavior involves calculating the large scale acoustic problems. To improve the computational efficiency of wheel sound radiation， this paper introduces the Boundary Element Method with Adaptive Order （BEMAO）. 【Method】 The sound radiation of the wheel in free space was studied by using the combination of the finite element method and the boundary element method. The BEMAO was used to calculate the sound power radiated by the wheel， the sound pressure at standard measurement point， and the directivity of the wheel acoustic radiation. Comparison was then made with the corresponding results obtained by the conventional boundary element method （CBEM） and the fast multipole boundary element method （FMBEM） as well as the computational time. 【Result】 The sound radiation obtained by three different boundary element methods are basically consistent， but the BEMAO is about 36 times faster than the CBEM， and 11 times than the FMBEM. 【Conclusion】 The calculation efficiency of the BEMAO is obviously higher than that of other boundary element methods， and remarkable advantages and good applicability are shown in studying the sound radiation from the wheel at high frequency. The outcomes of this paper can provide reference for calculations of large scale acoustic problems.

Key words： sound radiation of the wheel; large scale acoustic calculations; boundary element method with adaptive order; calculation efficiency

Citation format： BAI X B， ZHANG X Y， LI Y. Efficient calculating of the vibro-acoustic behavior of train wheel based on boundary element method with adaptive order[J]. Journal of East China Jiaotong University， 2024， 41（5）： 48-55.

【研究意義】輪軌滾動(dòng)噪聲是列車行車中的主要噪聲源之一[1]，它是由輪軌表面粗糙度誘導(dǎo)車輪和軌道結(jié)構(gòu)向多個(gè)方向的振動(dòng)產(chǎn)生。在輪軌滾動(dòng)噪聲中，鋼軌主導(dǎo)的頻率域?yàn)橹懈哳l，而車輪主要在高頻域輻射噪聲[2]，且車輪噪聲的重要性隨車速增加而增加[3]。因此，為提出經(jīng)濟(jì)有效的軌道交通降噪措施，有必要對(duì)車輪這一重要噪聲源的振動(dòng)和聲輻射特性進(jìn)行研究。然而，對(duì)車輪聲輻射特性的仿真分析涉及大規(guī)模聲學(xué)計(jì)算問題。目前研究通常采用傳統(tǒng)的三維邊界元法[4]，需要的計(jì)算時(shí)間較長，本文所采用的自適應(yīng)階次邊界元法（boundary element method with adaptive order， BEMAO）是解決此問題的一種新方法。

【研究進(jìn)展】圣小珍等[5]總結(jié)了車輪噪聲預(yù)測(cè)模型的發(fā)展，這些預(yù)測(cè)模型均基于車輪聲振特性，通常采用試驗(yàn)或者仿真方法得到。在早期研究中，車輪振動(dòng)被視為剛性質(zhì)量塊或者彈性圓環(huán)，而車輪聲輻射依據(jù)試驗(yàn)結(jié)果被視為自由場中的一個(gè)點(diǎn)聲源[6，7]。隨著數(shù)值仿真方法的發(fā)展，車輪振動(dòng)和聲輻射預(yù)測(cè)開始變得更為準(zhǔn)確，如Schneider采用環(huán)單元建立了車輪的振動(dòng)有限元模型，然后采用瑞利積分方法計(jì)算車輪的聲輻射[8]。隨后有限元法結(jié)合邊界元法成為計(jì)算車輪聲輻射的最主要方法，如Thompson利用車輪的軸對(duì)稱性，結(jié)合2D有限元法和2D邊界元法建立了車輪的振動(dòng)和聲輻射模型[9]。隨著計(jì)算機(jī)計(jì)算能力的進(jìn)一步提升，目前一般采用3D有限元法結(jié)合3D邊界元法。在預(yù)測(cè)車輪聲輻射的計(jì)算中，車輪聲學(xué)邊界元模型通常需要滿足每波長至少6個(gè)單元的工程精度要求，導(dǎo)致高頻時(shí)計(jì)算模型較大，因此所需的計(jì)算時(shí)間較長。文永蓬在進(jìn)行車輪結(jié)構(gòu)振動(dòng)-聲輻射一體化優(yōu)化時(shí)采用關(guān)鍵點(diǎn)以及車輪模態(tài)來表征車輪輻射聲功率[10]，但此方法只適用于不同廓形車輪的聲輻射比較，不能得到準(zhǔn)確的結(jié)果。圣小珍課題組開發(fā)的2.5D有限元法結(jié)合2.5D邊界元法在計(jì)算效率上優(yōu)于常規(guī)3D方法[4]，但在模型中僅能考慮車輪結(jié)構(gòu)，若需要分析其他結(jié)構(gòu)邊界如車體、車輪下的鋼軌對(duì)車輪聲輻射的影響[11]，此方法不再適用，需要一種新的算法來提高計(jì)算效率。

【創(chuàng)新特色】針對(duì)傳統(tǒng)邊界元法計(jì)算車輪高頻聲輻射效率低的問題，本文采用了一種新的高效數(shù)值算法——自適應(yīng)階次邊界元法，即BEMAO[12-13]。該方法主要在以下兩個(gè)方面對(duì)傳統(tǒng)邊界元法進(jìn)行了優(yōu)化：一是在間接邊界元積分公式的離散化中使用高階多項(xiàng)式形函數(shù)，顯著減少了模型自由度；二是在系統(tǒng)矩陣的組裝中使用多層對(duì)角快速多極近似[14]，顯著減少了模型復(fù)雜度。HAMICHE[13]等將其應(yīng)用于飛機(jī)和潛艇等結(jié)構(gòu)的中低頻噪聲輻射計(jì)算，結(jié)果表明BEMAO的計(jì)算速度至少是傳統(tǒng)邊界元法的數(shù)十倍，其他快速算法的數(shù)倍。本文將BEMAO應(yīng)用于車輪高頻聲輻射的求解，研究BEMAO算法求解大型結(jié)構(gòu)高頻聲輻射的計(jì)算效率和計(jì)算精度。

【關(guān)鍵問題】本文以自由場中車輪在單位垂向力作用下的聲輻射為研究對(duì)象，對(duì)比分別采用傳統(tǒng)邊界元法（conventional boundary element method， CBEM）、快速多極子邊界元法（fast multipole boundary element method， FMBEM）和BEMAO的計(jì)算結(jié)果和計(jì)算耗時(shí)，展示BEMAO的準(zhǔn)確性和高效性。對(duì)大規(guī)模聲學(xué)問題的研究需要先進(jìn)的數(shù)值仿真方法，本文將為其他學(xué)者的相關(guān)研究提供一種新的思路或參考。

1 BEMAO

ATAK等[12]對(duì)BEMAO的基本原理進(jìn)行了詳細(xì)說明，本文在此進(jìn)行簡要介紹。

1.1 非等參方法

對(duì)于三維問題，邊界元法只需對(duì)結(jié)構(gòu)表面進(jìn)行離散化，其積分為曲面積分，在求解過程中存在兩種形函數(shù)：一種是幾何形函數(shù)，用于將正交點(diǎn)映射到曲面上，即建立一個(gè)坐標(biāo)變換，將局部坐標(biāo)中幾何形狀規(guī)則的標(biāo)準(zhǔn)單元轉(zhuǎn)換為總體坐標(biāo)中幾何形狀扭曲的實(shí)際單元；另一種是插值形函數(shù)，用于對(duì)系統(tǒng)的主要未知量進(jìn)行插值。通常邊界元方法采用的幾何形函數(shù)和插值形函數(shù)相同，稱為等參方法，對(duì)應(yīng)的網(wǎng)格單元稱為等參元。等參元的幾何形狀與未知量插值之間具有較高的匹配度，有利于保證計(jì)算精度，并且其形函數(shù)構(gòu)造簡單，易于實(shí)現(xiàn)，是目前有限元和邊界元中應(yīng)用最廣泛的單元。

傳統(tǒng)邊界元法為等參方法，為保證計(jì)算結(jié)果達(dá)到工程精度，在進(jìn)行結(jié)構(gòu)網(wǎng)格劃分時(shí)每波長至少含有6個(gè)線性單元。在頻域分析中，如果只使用一個(gè)網(wǎng)格，即只進(jìn)行一次網(wǎng)格劃分，那么最大網(wǎng)格尺寸為最高頻率對(duì)應(yīng)波長的1/6，這會(huì)導(dǎo)致模型在低頻下過度離散，極大地增加了計(jì)算時(shí)間和計(jì)算成本；如果使用多個(gè)網(wǎng)格，即分頻段進(jìn)行網(wǎng)格劃分，也會(huì)增加前處理的時(shí)間。另外，如果網(wǎng)格劃分不均勻，部分單元尺寸過大導(dǎo)致在高頻下離散不足、達(dá)不到所需精度，或者部分單元尺寸過小導(dǎo)致在低頻下過度離散、額外增加計(jì)算時(shí)間，模型也無法進(jìn)行自動(dòng)修正。

為了避開以上所述的缺陷，BEMAO采用了非等參方法，對(duì)應(yīng)的網(wǎng)格單元稱為非等參元。對(duì)于非等參元的求解，幾何形函數(shù)和插值形函數(shù)是分開的。在整個(gè)頻域分析中，每個(gè)網(wǎng)格單元的幾何形函數(shù)保持不變，而插值形函數(shù)的階次根據(jù)求解頻率自動(dòng)調(diào)整。這種只改變單元內(nèi)形函數(shù)階次而不改變單元數(shù)量和節(jié)點(diǎn)位置的方法也被稱為p-自適應(yīng)方法。相比于傳統(tǒng)邊界元法使用的一階或二階形函數(shù)，BEMAO使用的高階形函數(shù)在每個(gè)自由度上能攜帶更多信息，可以更高效地捕捉單元內(nèi)的聲壓場。對(duì)于同一個(gè)聲學(xué)問題，要達(dá)到相同的計(jì)算精度，BEMAO所需的模型自由度數(shù)要遠(yuǎn)低于傳統(tǒng)邊界元法，從而極大地減少了計(jì)算量。

BEMAO在高頻或大尺寸單元使用高階形函數(shù)以保證精度，在低頻或小尺寸單元使用低階形函數(shù)以保證計(jì)算效率，在每個(gè)頻率處能得到一個(gè)最優(yōu)的模型大小。同時(shí)，BEMAO不需要均勻的網(wǎng)格，不會(huì)出現(xiàn)傳統(tǒng)邊界元中高頻離散不足、低頻過度離散的問題，采用粗糙的網(wǎng)格就能滿足整個(gè)頻域分析。

1.2 高階形函數(shù)和先驗(yàn)誤差估計(jì)

在插值形函數(shù)的選擇上，BEMAO采用由節(jié)點(diǎn)函數(shù)、邊函數(shù)和面函數(shù)組成的分層Lobatto函數(shù)（稱為勒讓德函數(shù)）。Lobatto高階形函數(shù)中包含了更低階的形函數(shù)，這意味著使用不同階次的相鄰單元可以共存，且可以直接從高階的系數(shù)矩陣中提取出更低階的系數(shù)矩陣，而無需重新生成矩陣，這也減少了計(jì)算時(shí)間。Lobatto函數(shù)具有層次性和正交性，有利于系統(tǒng)調(diào)節(jié)，在西門子此前開發(fā)的自適應(yīng)階次有限元法（finite element method with adaptive order， FEMAO）[15]中得到過應(yīng)用。

BEMAO支持最高6階的形函數(shù)，此時(shí)每個(gè)波長半個(gè)單元即可達(dá)到標(biāo)準(zhǔn)工程精度，無需再遵循每波長至少6個(gè)單元的傳統(tǒng)經(jīng)驗(yàn)法則。因此使用粗糙的網(wǎng)格可以解決高頻問題，有效地壓縮了模型大小。在實(shí)際應(yīng)用中，為準(zhǔn)確表示幾何結(jié)構(gòu)以及確保單元階次的良好分布，每個(gè)聲波波長建議使用1個(gè)單元。

為了快速方便地確定每個(gè)單元在每個(gè)頻率下所需的形函數(shù)階次，BEMAO采用了先驗(yàn)誤差估計(jì)。通過各種配置實(shí)驗(yàn)得到單元形函數(shù)階次表，求解時(shí)自適應(yīng)規(guī)則會(huì)自動(dòng)根據(jù)單元大小、求解頻率、聲速和所需精度掃描表中的值，來選擇每個(gè)單元中合適的多項(xiàng)式階次，得到模型在每個(gè)頻率下的最優(yōu)階次分布。這種先驗(yàn)誤差估計(jì)可以高效地控制實(shí)際數(shù)值誤差，比后驗(yàn)誤差估計(jì)更適合應(yīng)用于工程問題。

1.3 矩陣組裝加速

對(duì)于自由度數(shù)為N的模型，在傳統(tǒng)邊界元法中，所有網(wǎng)格單元之間相互作用形成的系數(shù)矩陣為滿秩矩陣，在矩陣組裝過程中會(huì)產(chǎn)生O（N2）的復(fù)雜度，這是傳統(tǒng)邊界元法的主要計(jì)算成本。BEMAO采用高階形函數(shù)極大地減少了模型自由度，但在系統(tǒng)矩陣組裝上的耗時(shí)仍是比較長的。為了加速這個(gè)過程，BEMAO吸收了快速多極子邊界元的主要思想，通過中間變換和傳遞分解，在邊界元的遠(yuǎn)場計(jì)算中，將“點(diǎn)對(duì)點(diǎn)”的直接運(yùn)算轉(zhuǎn)換為“點(diǎn)集對(duì)點(diǎn)集”的間接運(yùn)算[16]，極大地減少了矩陣組裝的復(fù)雜度。另外，不同于FMBEM采用的遠(yuǎn)場項(xiàng)隱式存儲(chǔ)和迭代求解，BEMAO采用了遠(yuǎn)場項(xiàng)顯示存儲(chǔ)和直接求解，這種操作與高階形函數(shù)能夠很好的配合。

2 自由場中的車輪聲輻射

在車輪聲輻射特性的研究中，通常假設(shè)車輪位于自由場，即位于無限大的自由空間。本文也基于此種情形來比較BEMAO，CBEM和FMBEM的計(jì)算結(jié)果和計(jì)算效率。以下所有計(jì)算均在配置為Intel（R） Xeon（R） Platinum 8383C CPU @ 2.70 GHz和RAM 1 024 GB的工作站上完成。

2.1 車輪振動(dòng)

本文所用車輪為國內(nèi)某高速動(dòng)車車輪，其橫截面如圖1所示，車輪直徑為0.92 m，車軸部分直徑為0.2 m。

使用Simcenter 3D軟件求解車輪的振動(dòng)，建立的車輪有限元模型如圖2所示，其中網(wǎng)格單元類型為CHEXA20單元（包括二十節(jié)點(diǎn)六面體單元和十五節(jié)點(diǎn)五面體單元），單元特征尺寸約為45 mm，單元數(shù)為4 268個(gè)，節(jié)點(diǎn)數(shù)為22 133個(gè)。本文不對(duì)車輪進(jìn)行約束，只增大車軸部分的密度和彈性模量，使整個(gè)車輪的質(zhì)量等同于輪對(duì)質(zhì)量的一半[17]，即656 kg。相比于對(duì)輪轂內(nèi)邊緣進(jìn)行固定約束，本文在車輪的模態(tài)分析中考慮車軸和車輪的耦合，能更好地模擬節(jié)徑數(shù)小于2的模態(tài)，同時(shí)可以在車輪的諧響應(yīng)分析中考慮剛體模態(tài)的影響，更加接近于實(shí)際情況[3]，表1給出了車輪各部分的材料參數(shù)。

在實(shí)際工程中，車輪受到輪軌力的作用，然而本文重點(diǎn)在于BEMAO的應(yīng)用，且在分析車輪的速度導(dǎo)納和指向性等振動(dòng)和聲輻射特性時(shí)，需要進(jìn)行輪軌力的歸一化，同時(shí)實(shí)際輪軌力下的車輪響應(yīng)可由單位力下的響應(yīng)與輪軌力頻譜相乘得到，故本文僅考慮在輪軌接觸點(diǎn)處施加單位垂向力。采用模態(tài)疊加法求解車輪的頻率響應(yīng)，求解頻率設(shè)置為100～6 000 Hz，其中100～5 000 Hz的頻率間隔為10 Hz，5 000～6 000 Hz的頻率間隔為50 Hz，共511個(gè)頻率點(diǎn)。使用模態(tài)疊加法時(shí)通常保留2～3倍外載荷頻率范圍內(nèi)的所有模態(tài)，本文取12 000 Hz范圍內(nèi)的所有車輪模態(tài)（包括前6階剛體模態(tài)）用于疊加，同時(shí)假定各階模態(tài)的阻尼比均為0.005。計(jì)算得到的輪軌接觸點(diǎn)處的速度導(dǎo)納如圖3所示，可見在垂向力激勵(lì)下，車輪主要在垂向和橫向振動(dòng)，而在縱向上的振動(dòng)很小，可以忽略。由于在模態(tài)疊加時(shí)考慮了剛體模態(tài)的影響，低頻時(shí)車輪的速度導(dǎo)納將由質(zhì)量控制，在頻率高于反共振點(diǎn)（即頻率響應(yīng)最低點(diǎn)）后速度導(dǎo)納由剛度控制。圖3中曲線的一系列峰值和車輪的各階模態(tài)相對(duì)應(yīng)，其中在低于2 000 Hz時(shí)主要激起車輪的軸向模態(tài)，在高于2 000 Hz時(shí)主要激起車輪的徑向模態(tài)。

2.2 車輪聲輻射

快速多極子邊界元是迄今應(yīng)用較為廣泛的邊界元加速算法[16]，本文將分別應(yīng)用CBEM、FMBEM以及BEMAO求解車輪聲輻射，對(duì)比三者的計(jì)算結(jié)果和計(jì)算時(shí)間。這3種邊界元方法的基本原理[12，16]如表2所示，其中CBEM是一種基于邊界積分方程（boundary integral equation）的數(shù)值方法，且為等參方法（isoperimetric approach），而FMBEM和BEMAO是在CBEM的基礎(chǔ)上通過優(yōu)化算法發(fā)展而來的，前者主要原理為格林函數(shù)的多極子展開（multipole expansion of Green's function），后者主要為自適應(yīng)高階形函數(shù)（high order shape functions and adaptivity）、非等參方法（non-isoparametric approach）以及多層快速多極子算法（multi-level fast multipole algorithms）的應(yīng)用。

將有限元法計(jì)算得到的車輪表面振動(dòng)響應(yīng)作為速度邊界條件輸入邊界元模型，以求解車輪聲輻射。模型中空氣密度為1.21 kg/m3，空氣中的聲速為343 m/s。

2.2.1 邊界元模型

對(duì)于BEMAO，滿足每波長至少1個(gè)單元的要求，使用的車輪網(wǎng)格模型如圖4所示，網(wǎng)格類型為二次三角形和二次四邊形的混合網(wǎng)格，網(wǎng)格特征尺寸為45 mm，單元數(shù)為3 364個(gè)，節(jié)點(diǎn)數(shù)為10 070個(gè)。對(duì)于CBEM和FMBEM，需要滿足每波長至少6個(gè)線性網(wǎng)格的要求，使用的車輪網(wǎng)格模型如圖5所示，網(wǎng)格類型為線性三角形網(wǎng)格，網(wǎng)格特征尺寸為9.52 mm，單元數(shù)為167 136個(gè)，節(jié)點(diǎn)數(shù)為83 570個(gè)。對(duì)3種邊界元模型，分別計(jì)算車輪的輻射聲功率、聲壓及其指向性。

在Simcenter 3D軟件中，結(jié)構(gòu)輻射聲功率是通過積分遠(yuǎn)場球面上的均方聲壓得到的。在與車輪中心相距15 m的遠(yuǎn)場建立1個(gè)包裹整個(gè)聲場的球面網(wǎng)格。為了保證高頻計(jì)算結(jié)果的準(zhǔn)確性，此網(wǎng)格的特征尺寸取為200 mm。

依據(jù)國家標(biāo)準(zhǔn)《聲學(xué) 軌道機(jī)車車輛發(fā)射噪聲測(cè)量》（GB/T 5111—2011）對(duì)鐵路噪聲聲壓測(cè)量的位置規(guī)定，本文選擇距離軌道中心線7.5 m、鋼軌頂面1.2 m處的位置作為聲壓評(píng)價(jià)點(diǎn)。

指向性是指聲輻射在特定方向上的比例，用以描述聲場在空間中的分布。對(duì)于車輪聲輻射指向性，本文采用如圖6所示的1/4圓弧，計(jì)算其上的聲壓分布。具體地，以車輪中心為圓心，半徑為6.79 m，從0°（對(duì)應(yīng)車輪軸向）到90°（對(duì)應(yīng)車輪踏面）每5°設(shè)置一個(gè)聲壓測(cè)量點(diǎn)，同時(shí)此圓弧經(jīng)過選定的標(biāo)準(zhǔn)測(cè)量評(píng)價(jià)點(diǎn)。

2.2.2 結(jié)果對(duì)比

車輪聲輻射計(jì)算頻率的設(shè)置和2.1節(jié)中的車輪振動(dòng)頻率設(shè)置相同，并行計(jì)算設(shè)置為6進(jìn)程和每進(jìn)程20線程。

采用不同方法得到的單位垂向激勵(lì)下車輪振動(dòng)輻射聲功率級(jí)如圖7所示。由圖可知，BEMAO計(jì)算得到的結(jié)果和其他方法幾乎相同，差別大多在0.5 dB以內(nèi)。圖7中聲功率級(jí)曲線的峰值頻率和車輪振動(dòng)峰值頻率相對(duì)應(yīng)，在2 000 Hz以下時(shí)對(duì)應(yīng)車輪的軸向模態(tài)，在2 000 Hz以上時(shí)對(duì)應(yīng)車輪的徑向模態(tài)。

相應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)測(cè)量點(diǎn)處的聲壓級(jí)對(duì)比結(jié)果如圖8所示。由圖8可知，3種邊界元方法的結(jié)果基本一致，BEMAO和CBEM得到的聲壓級(jí)曲線吻合良好，二者差別基本在0.7 dB以內(nèi)。圖8中聲壓級(jí)曲線的整體趨勢(shì)和圖7中的聲功率級(jí)曲線是比較類似的，只是峰值頻率有所差別，這和測(cè)量點(diǎn)在聲場中的位置有關(guān)。

圖9給出了車輪在5節(jié)徑和3節(jié)徑1節(jié)圓軸向模態(tài)以及5節(jié)徑和3節(jié)徑徑向模態(tài)上的指向性。在圖9（a）中，3種邊界元法計(jì)算得到的結(jié)果基本一致，各角度聲壓級(jí)的差別較小，大多在0.5 dB以內(nèi)，如表3所示。圖9（b），圖9（c）和圖9（a）的結(jié)果類似，而在圖9（d）中，BEMAO也僅在個(gè)別角度上（如0°，30°和60°）和其他兩種方法的計(jì)算結(jié)果差別大一些，但整體吻合良好。可以看到，兩種類型的車輪模態(tài)均在0°位置，即車軸方向輻射的聲壓最小，這是由于模態(tài)節(jié)徑數(shù)大于0，車輪關(guān)于節(jié)徑對(duì)稱的部分振動(dòng)方向相反，模態(tài)振型不同區(qū)域?qū)囕喡曒椛涞呢暙I(xiàn)在軸向相互抵消。從整體趨勢(shì)來看，車輪軸向模態(tài)在車輪踏面區(qū)域（90°附近）的聲壓級(jí)要低于車軸區(qū)域，其聲場分布類似于偶極子，而徑向模態(tài)在整個(gè)圓弧上的聲壓級(jí)基本處于同一水平，其聲場分布類似于單極子，這和文獻(xiàn)[9]得到的車輪聲輻射指向性結(jié)論一致。

CBEM，F(xiàn)MBEM和BEMAO 3種邊界元方法所需要的計(jì)算時(shí)間分別為60.4，18.4 h和1.7 h，BEMAO計(jì)算速度最快，約為CBEM的36倍、FMBEM的11倍。可見BEMAO能夠顯著減少大規(guī)模聲學(xué)問題的求解時(shí)間，提高計(jì)算效率。

從以上對(duì)比可知，在車輪輻射聲功率、標(biāo)準(zhǔn)測(cè)量點(diǎn)聲壓以及車輪聲輻射指向性的求解上，BEMAO與CBEM，F(xiàn)MBEM的計(jì)算結(jié)果吻合良好，3種邊界元方法得到的車輪聲輻射特性基本一致，而BEMAO在計(jì)算效率上表現(xiàn)出顯著優(yōu)勢(shì)，極大地縮短了計(jì)算時(shí)間。因此，相比于其他方法，BEMAO更適合求解車輪高頻聲輻射這類大規(guī)模聲學(xué)計(jì)算問題，是更為高效的求解算法。另外，本文只考慮了自由場的情形，而實(shí)際工程中存在更多、更復(fù)雜的工況，例如車體邊界下的車輪聲輻射，此時(shí)模型計(jì)算量更大，BEMAO在計(jì)算效率上的優(yōu)勢(shì)將更為顯著。

3 結(jié)論

本文介紹了一種新的聲學(xué)邊界元法——自適應(yīng)階次邊界元法，并將其應(yīng)用于車輪高頻振動(dòng)聲輻射的求解，通過與傳統(tǒng)邊界元法和快速多極子邊界元法的對(duì)比，得到以下結(jié)論：

1） 相比于傳統(tǒng)邊界元法，自適應(yīng)階次邊界元法在算法上的優(yōu)化主要為使用高階形函數(shù)降低模型自由度，以及使用快速多極近似降低系統(tǒng)矩陣組裝的復(fù)雜度。

2） 不同邊界元法得到的車輪聲輻射結(jié)果基本一致，而自適應(yīng)階次邊界元法的計(jì)算耗時(shí)遠(yuǎn)低于其他邊界元法，能夠在保證計(jì)算結(jié)果準(zhǔn)確性的同時(shí)顯著提高計(jì)算效率，在大規(guī)模聲學(xué)計(jì)算方面具有明顯優(yōu)勢(shì)。

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第一作者：白栩波（1998—），男，碩士研究生，研究方向?yàn)榻Y(jié)構(gòu)振動(dòng)與聲輻射。E-mail：2131359@tongji.edu.cn。

通信作者：張獻(xiàn)英（1985—），女，研究員，博士，博士生導(dǎo)師，上海海外高層次人才計(jì)劃獲得者，研究方向?yàn)樵肼暸c振動(dòng)控制、軌道交通動(dòng)力學(xué)與聲學(xué)及其控制、軌道結(jié)構(gòu)狀態(tài)智能檢測(cè)與監(jiān)測(cè)。E-mail：xianyingzhang@tongji.edu.cn。