圈長(zhǎng)為偶的單圈圖(加權(quán))Mostar指標(biāo)的下界

摘要： 通過(guò)圖變換， 給出當(dāng)單圈圖的圈長(zhǎng)為偶數(shù)時(shí)其Mostar指標(biāo)和加權(quán)Mostar指標(biāo)的下界， 并刻畫(huà)達(dá)到下界的極值圖.

關(guān)鍵詞： Mostar指標(biāo); 加權(quán)Mostar指標(biāo); 單圈圖; 極值圖

中圖分類號(hào)： O157.5" 文獻(xiàn)標(biāo)志碼： A" 文章編號(hào)： 1671-5489（2024）04-0765-09

Lower Bounds for" （Weighted） Mostar Index of Unicyclic Graphs with" Even Cycle Lengths

ZHEN Qianqian， LIU Mengmeng

（School of Mathematics and Physics， Lanzhou Jiaotong University， Lanzhou 730070， China）

Abstract： By using graph transformation， we give the lower bounds for the Mostar index and the weighted Mostar index of unicyclic graphs" when the cycle length

of unicyclic graphs is even， and characterize the extremal graphs that achieve the lower bounds.

Keywords：" Mostar index; weighted Mostar index; unicyclic graph; extremal graph

圖的拓?fù)渲笜?biāo)常用于描述有機(jī)化合物的藥理特征、 物理特征和化學(xué)特征， 研究最廣泛的拓?fù)渲笜?biāo)是Wiener指標(biāo)［1］. 此后，" Gutman［2］在Wien

er指標(biāo)的基礎(chǔ)上進(jìn)行推廣， 得到了Szeged指標(biāo); Ilic＇等［3］提出了加權(quán)Szeged指標(biāo); Dolic＇

等［4］引入了Mostar指標(biāo)， 它量化了特定邊及整個(gè)圖周邊性的程度. 目前， 對(duì)Mostar指標(biāo)的研究， 特別是關(guān)于一些簡(jiǎn)單連通圖界值問(wèn)題的研究已得到很多結(jié)果［4-11］. 例

如： 文獻(xiàn)［4］給出了單圈圖Mostar指標(biāo)的上界和下界； 文獻(xiàn)［5］計(jì)算了固定直徑時(shí)單圈圖Mostar指標(biāo)的上界；" 文獻(xiàn)［12］提出了邊Mostar指標(biāo)； 文獻(xiàn)［13］定義

了加權(quán)Mostar指標(biāo)， 并計(jì)算了石墨烯、 α型石墨炔和石墨炔的加權(quán)Mostar指標(biāo)； 文獻(xiàn)［14］計(jì)算了單圈圖加權(quán)Mostar指標(biāo)的上界和下界； Kandan等［15］計(jì)算了錐齒輪圖和廣義齒輪圖的加權(quán)Mosta

r指標(biāo)； Imran等［16］研究了酞菁、 三嗪和納米分子圖的加權(quán)Mostar指標(biāo). 此外， 文獻(xiàn)［17］總結(jié)了Mostar指標(biāo)近年的研究成果.

本文在單圈圖的圈長(zhǎng)為偶數(shù)時(shí)， 討論其Mostar指標(biāo)和加權(quán)Mostar指標(biāo)的下界.

1 預(yù)備知識(shí)

本文所有圖均為無(wú)向有限的簡(jiǎn)單連通圖. 給定一個(gè)圖G， 用V（G）表示其頂點(diǎn)集， E（G）表示其邊集， 令n=V（G）是圖G的頂點(diǎn)數(shù)， 又稱階數(shù). Tn和Pn分別指階數(shù)為n的樹(shù)和路［18］.

設(shè)e=uv是G中的一條邊， 定義集合：

Nu（e）={x∈V（G）： d（x，u）lt;d（x，v）}，Nv（e）={x∈V（G）： d（x，u）gt;d（x，v）}.

令nu=Nu（e）， nv=Nv（e）. Mostar指標(biāo)定義為

M（G）=∑e=uv∈E（G）nu-nv.

加權(quán)Mostar指標(biāo)定義為

w+M（G）=∑e=uv∈E（G）（du+dv）nu-nv.

令Cn（T1，T2，…，Tk）是含有圈Ck=v1v2…vkv1的單圈圖， 其中T1，T2，…，Tk是懸掛在圈Ck各頂點(diǎn)上的樹(shù)， 樹(shù)Ti（i=1，2，…，k）稱為圈Ck上的懸掛分支. 給定正整數(shù)a和b， P（s，m，a，b）

是指在單圈圖的頂點(diǎn)vs和vm處懸掛路Pa和路Pb， 其中a和b均為路長(zhǎng).

引理1［4］ 設(shè)Tn是一個(gè)n階樹(shù)， 則M（Pn）≤M（Tn）， 等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)PnTn.

引理2［14］ 設(shè)Tn是一個(gè)n階樹(shù)， 則w+M（Pn）≤w+M（Tn）， 等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)PnTn.

2 偶長(zhǎng)單圈圖Mostar指標(biāo)的下界

設(shè)G是n個(gè)頂點(diǎn)的單圈圖， k為單圈圖的圈長(zhǎng)， 當(dāng)n=k時(shí)， M（G）=0； 當(dāng)n=k+1時(shí)， M（G）=2k-1. 下面考慮當(dāng)n≥k+2時(shí)單圈圖Mostar指標(biāo)的下界， 從n的奇偶性兩種情形討論.

引理3 設(shè)G=Cn（P1，P2，…，Pk）， 則圈Ck上的懸掛路分支越少， ∪ki=1Pi上的邊對(duì)Mostar指標(biāo)的貢獻(xiàn)越小.

證明： 設(shè)Pm和Pl是圈Ck上任意兩點(diǎn)v和v′上的兩條懸掛路分支， 設(shè)Pm=u1u2…um， Pl=v1v2…vl， 其中1≤

m≤l. 令G′=G-um-1um+vlum， 如圖1所示， 當(dāng)m=1時(shí)， um-1=v.

下證G中懸掛路分支Pm和Pl上的邊對(duì)Mostar指標(biāo)的貢獻(xiàn)和大于G′中懸掛路分支Pm-1和Pl+1上的邊對(duì)Mostar指標(biāo)的貢獻(xiàn)和. G中懸掛路分支P

m和Pl上的邊對(duì)Mostar指標(biāo)的貢獻(xiàn)為

n-2+n-4+…+n-2（m-1）+n-2m+n-2+n-4+…+n-2l;

G′中懸掛路分支Pm-1和Pl+1上的邊對(duì)Mostar指標(biāo)的貢獻(xiàn)為

n-2+n-4+…+n-2（m-1）+n-2+n-4+…+n-2l+n-2（l+1）.

二者做差得n-2m-n-2（l+1）. 因?yàn)閚≥l+m+k≥l+m+4， 所以ngt;2m， ngt;l+m+2， 從而

當(dāng)n≥2l+2時(shí)， n-2m-n-2（l+1）=2l-2m+2gt;0； 當(dāng)nlt;2l+2時(shí)， n-2m-n-2（l+1）=2n-2m-2l-2gt;0.

顯然， 除懸掛路分支Pm和Pl， 其余懸掛路上的邊對(duì)Mostar指標(biāo)的貢獻(xiàn)不變， 根據(jù)上述變換的結(jié)果知， 懸掛路分支越少， ∪ki=1Pi上的邊對(duì)Mostar指標(biāo)的貢獻(xiàn)越小.

引理4 設(shè)G0Pi，i+k2，n-k2，n-k2， 則

M（G0）=n2-k2-2n+2k2，n為偶數(shù)，n2-k2-2n+4k-12，n為奇數(shù).（1）

證明： 當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)， 有

M（G0）=2×（n-2+n-4+…+k）=2×n-2+k2×n-k2=n2-k2-2n+2k2.

當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)， 有

M（G0）= "1×k+n-2+n-4+…+k-1+n-2+…+k+1= "k+n-2+k-12×n-k+12+n-2+k+12×n-k-12= "n2-k2-2n+4k-12.

定理1 設(shè)GCn（T1，T2，…，Tk）， G0Pi，i+k2，n-k2，n-k2， 則

M（G）≥M（G0），（2）

等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)GG0， 如圖2所示.

證明： 根據(jù)引理1知， M（Cn（T1，T2，…，Tk））≥M（Cn（P1， P2，…，Pk））. 下面分析懸掛路分支的條數(shù).

當(dāng)懸掛路分支不少于3條時(shí)， 根據(jù)引理4的證明知， 圖G0圈上的邊對(duì)Mostar指標(biāo)的貢獻(xiàn)為0（n為偶數(shù)）或1（n為奇數(shù)）， 而圖Cn（P1，P2，…，Pk

）圈上的邊對(duì)Mostar指標(biāo)的貢獻(xiàn)不可能比0（n為偶數(shù)）或1（n為奇數(shù)）更小. 再根據(jù)引理3知， 懸掛路分支減少， 其上的邊對(duì)Mostar指標(biāo)的貢獻(xiàn)和減小， 則圖G0的Mostar指標(biāo)小.

當(dāng)懸掛路分支為2條時(shí)， 若2條路不在圈Ck的2個(gè)對(duì)稱點(diǎn)分布， 則圈上至少存在一條邊e=vivj， 使得邊e對(duì)Mostar指標(biāo)的貢獻(xiàn)nvi-nvj≥n-k≥2. 下面考慮懸掛路分布在圈Ck的2個(gè)對(duì)稱點(diǎn)上的情形.

設(shè)圖G′Pi，i+k2，n-k2-x，

n-k2+x， 其中0lt;x≤n-k2. 當(dāng)x=n-k2時(shí)， 圈Ck上懸掛一條路. 下面證明M（G0）lt;M（G′）.

當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)， 考慮下列兩種情形.

情形1） n≤2k. 計(jì)算可得

M（G′）= "2xk+n-2+n-4+…+k-2x+n-2+n-4+…+k+2x= "2xk+n-2+k-2x2×n-k+2x2+n-2+k+2

x2×n-k-2x2= "n2-2n-k2+2k-4x2+4xk2.

因?yàn)閤≤n-k2， n≤2k， 所以x≤k2， 從而

M（G′）-M（G0）=n2-2n-k2+2k-4x2+4xk2-n2-k2-2n+2k2=2x（k-x）gt;0.

情形2） ngt;2k.

① 當(dāng)0lt;x≤k2時(shí)， 計(jì)算和情形1）同理.

② 當(dāng)k2lt;x≤n-k2時(shí)， 有

M（G′）= "2kx+2+4+…+n-2+2+4+…+2x-k+n-2+n-4+…+k+2x= "n2-2n+4x2.

因此

M（G′）-M（G0）=4x+k2-2k2gt;0.

當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)， 分如下兩種情形討論.

情形1） nlt;2k. 計(jì)算可得

M（G′）= "（2x+1）k+n-2+n-4+…+k-1-2x+n-2+n-4+…+k+1+2x= "2kx+k+n-2+k-1-2x2×n-k+1+2x2

+n-2+k+1+2x2×n-k-1-2x2= "n2-2n-k2+4k-4x2+4kx-4x-12.

因?yàn)閤≤n-k-12， n≤2k-1， 所以x≤k-22， 從而

M（G′）-M（G0）= "n2-2n-k2+4k-4x2+4kx-4x-12-n2-k2-2n+4k-12= "2kx-2x-2x2=2x（k-x-1）gt;0.

情形2） ngt;2k.

① 當(dāng)0lt;xlt;k2時(shí)， 計(jì)算和情形1）同理.

②" 當(dāng)k2≤x≤n-k-12時(shí)， 有

M（G′）= "（2x+1）k+n-2+n-4+…+1+1+3+…+1+2x-k+ "n-2+n-4+…+k+1+2x=n2+4x-2n+32.

因此M（G′）-M（G0）=4x-4k+k2+42gt;0.

3 偶長(zhǎng)單圈圖加權(quán)Mostar指標(biāo)的下界

設(shè)G是n個(gè)頂點(diǎn)的單圈圖， k為單圈圖的圈長(zhǎng)， 當(dāng)n=k時(shí)， w+M（G）=0; 當(dāng)n=k+1時(shí)， w+M（G）=8k-2. 下面考慮當(dāng)n≥k+2時(shí)單圈圖加權(quán)Mostar指標(biāo)的下界， 從n的奇偶性兩種情形討論.

引理5 設(shè)G=Cn（P1，P2，…，Pk）， 則圈Ck上的懸掛路分支越少， ∪ki=1Pi上的邊對(duì)加權(quán)Mostar指標(biāo)的貢獻(xiàn)越小.

證明： 設(shè)Pm和Pl是圈Ck上任意兩點(diǎn)v和v′上的2條懸掛路分支， 設(shè)Pm=u1u2…um， Pl=v1v2…vl， 其中1≤m≤l. 令G′=G-um-1um+vlum， 當(dāng)m=1時(shí)， um-1=v.

下證G中懸掛路Pm和Pl上的邊對(duì)加權(quán)Mostar指標(biāo)的貢獻(xiàn)和大于G′中懸掛路Pm-1和Pl+1上的邊對(duì)加權(quán)Mostar指標(biāo)的貢獻(xiàn)和.

情形1） m=1， l=1. 此時(shí)， G中Pm和Pl上的邊對(duì)加權(quán)Mostar指標(biāo)的貢獻(xiàn)和為4n-2+4n-2=8n-16; G′中Pm-1和Pl+1上的邊對(duì)加權(quán)Mostar指標(biāo)的貢獻(xiàn)和為3n-2+5n-4=8n-26.

情形2） m=1， lgt;1. 此時(shí)， G中Pm和Pl上的邊對(duì)加權(quán)Mostar指標(biāo)的貢獻(xiàn)和為

4n-2+3n-2+4n-4+…+4n-2（l-1）+5n-2l;

G′中Pm-1和Pl+1上的邊對(duì)加權(quán)Mostar指標(biāo)的貢獻(xiàn)和為

3n-2+4n-4+…+4n-2l+5n-2（l+1）.

二者做差得4n-2+n-2l-5n-2l-2.

當(dāng)n≥2l+2時(shí)， 4n-2+n-2l-5n-2l-2=8l+2gt;0； 當(dāng)n≤2l時(shí)， 因?yàn)閚≥l+m+k≥l+5， 所以4n-2+n-2l-5n-2l-2=8n-8l-18gt;0； 當(dāng)n=2l+1時(shí)， 4n-2+n-2l-5n-2l-2=8l-8gt;0.

情形3） m≥2. 此時(shí)， G中Pm和Pl上的邊對(duì)加權(quán)Mostar指標(biāo)的貢獻(xiàn)和為

3n-2+ "4n-4+…+4n-2（m-1）+5n-2m+3n-2+ "4n-4+…+4n-2（l-1）+5n-2l;

G′中Pm-1和Pl+1上的邊對(duì)加權(quán)Mostar指標(biāo)的貢獻(xiàn)和為

3n-2+ "4n-4+…+4n-2（m-2）+5n-2（m-1）+3n-2+ "4n-4+…+4n-2l+5n-2（l+1）.

二者做差得-n-2m+2+5n-2m+n-2l-5n-2l-2.

當(dāng)n≥2l+2時(shí)， -n-2m+2+5n-2m+n-2l-5n-2l-2=8l-8m+8gt;0；" 當(dāng)n≤2l時(shí)， 因?yàn)閚≥l+m+k≥l+m+4， 所以n-l-m≥4， 從而

-n-2m+2+5n-2m+n-2l-5n-2l-2=8n-8m-8l-12gt;0；

當(dāng)n=2l+1時(shí)， 因?yàn)閚≥l+m+k≥l+m+4， 所以lgt;m+3， 從而

-n-2m+2+5n-2m+n-2l-5n-2l-2=8l-8m-2gt;0.

顯然， 除懸掛路分支Pm和Pl， 其余懸掛路上的邊對(duì)加權(quán)Mostar指標(biāo)的貢獻(xiàn)不變， 根據(jù)上述變換的結(jié)果可知， 懸掛路分支越少， ∪ki=1Pi上的邊對(duì)加權(quán)Mostar指標(biāo)的貢獻(xiàn)越小.

引理6 設(shè)G0Pi，i+k2，n-k

2，n-k2， 則

w+M（G0）=2n2-2k2-6n+6k+4，n為偶數(shù)，2n2-2k2-6n+10k+6，n為奇數(shù).（3）

證明： 1） n是偶數(shù).

① 當(dāng)n=k+2時(shí)， w+M（G0）=4×（k+2-2）×2=8k.

② 當(dāng)ngt;k+2時(shí)， 有

w+M（G0）= "2×［3（n-2）+4（n-4）+…+4（k-2）+5k］= "2×4×n-2+k2×n-k2-（n-2）+k

=2n2-2k2-6n+6k+4.（4）

將n=k+2代入式（4）可得w+M（G0）=8k.

2） n是奇數(shù).

① 當(dāng)n=k+3時(shí)，有w+M（G0）=4（k-4）+20+7（k+3-2）+5（k+3-4）=16k+6.

② 當(dāng)ngt;k+3時(shí)， 有

w+M（G0）= "20+4×（k-4）+3（n-2）+4（n-4）+…+4（k-3）+5（k-1）+ "［3（n-2）+4（n-4）+…+4（k-1）+5（k+1）］= "4k+4+4×n+k-32×n-k+12-（n-2）+k-1+ "4×n+k-12×n-k-12-（n-2）+k+1= "2n2-2k2-6n+10k+6.（5）

將n=k+3代入式（5）可得w+M（G0）=16k+6.

定理2 設(shè)G=Cn（T1，T2，…，Tk）， G0Pi，i+k2，n-k2，n-k2， 則

w+M（G）≥w+M（G0），（6）

等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)GG0.

證明： 根據(jù)引理2知， w+M（Cn（T1， T2，…，Tk））≥w+M（Cn（P1，P2，…，Pk））， 下面分析懸掛路分支的條數(shù).

當(dāng)懸掛路分支不少于3條時(shí)， 根據(jù)引理6的證明知， n為偶數(shù)時(shí)， 圖G0圈上的邊對(duì)加權(quán)Mostar指標(biāo)的貢獻(xiàn)為0， 而圖Cn（P1，P2，…，Pk）圈上的邊

對(duì)加權(quán)Mostar指標(biāo)的貢獻(xiàn)不可能小于0. 同理， 當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)， 圖G0圈上不與路相關(guān)聯(lián)的邊對(duì)加權(quán)Mostar指標(biāo)的貢獻(xiàn)為4， 與路關(guān)聯(lián)的邊對(duì)加權(quán)Mostar指標(biāo)的貢獻(xiàn)為5

， 而圖Cn（P1，P2，…，Pk）圈上不與路相關(guān)聯(lián)的邊對(duì)加權(quán)Mostar指標(biāo)的貢獻(xiàn)不可能小于4， 與路關(guān)聯(lián)的邊對(duì)加權(quán)Mostar指標(biāo)的貢獻(xiàn)不可能小于5. 再根據(jù)引理5知，

懸掛路分支減少， 其上的邊對(duì)加權(quán)Mostar指標(biāo)的貢獻(xiàn)和減小， 則圖G0的加權(quán)Mostar指標(biāo)小.

當(dāng)懸掛路分支為2條時(shí)， 若2條路不在圈Ck的2個(gè)對(duì)稱點(diǎn)分布， 則圈上至少存在一條邊e=vivj， 使得邊e對(duì)加權(quán)Mostar指標(biāo)的貢獻(xiàn)nvi-nvj≥4（n-k）≥8. 下面考慮懸掛路分布在圈Ck的2個(gè)對(duì)稱點(diǎn)上的情況.

設(shè)圖G′Pi，i+k2，n-k2-x，

n-k2+x， 其中0lt;x≤n-k2. 當(dāng)

x=n-k2時(shí)， 圈Ck上懸掛1條路. 下面證明w+M（G0）lt;w+M（G′）.

當(dāng)n是偶數(shù)時(shí)， 分3種情形討論.

情形1） k+2≤n≤2k.

① 當(dāng)0lt;x≤n-k-42時(shí)， 有

w+M（G′）= "40x+8x（k-4）+3（n-2）+4（n-4）+…+5（k-2x）+ "3（n-2）+4（n-4）+…+5（k+2x）= "8kx+8x+4×n-2+k-2x2×n-k+2x2

+ "4×n-2+k+2x2×n-k-2x2-2n+2k+4= "2n2-6n-2k2+6k+4-8x2+8kx+8x.

因?yàn)閤≤n-k-42， n≤2k， 所以x≤k-42， 從而

w+M（G′）-w+M（G0）= "2n2-6n-2k2+6k+4-8x2+8kx+8x- "（2n2-2k2-6n+6k+4）=8x（k+1-x）gt;0.

② 當(dāng)x=n-k-22時(shí)， 有

w+M（G′）= "（n-k-2）（4k+4）+4（n-2）+3（n-2）+4（n-4）+…+ 5（2k+2-n）= 8nk-8k2+6n-14k-12，

從而w+M（G′）-w+M（G0）= "8nk-6k2+12n-20k-2n2-16= "（3k-n）（2n-2k-4）+8n-8k-16gt;0.

③ 當(dāng)x=n-k2時(shí)， 有

w+M（G′）= "2×5×（n-k）+（k-2）×4×（n-k）+3（n-2）+4（n-4）+…+ 5（2k-n）= 8nk-8k2-4n+4k+2，

從而w+M（G′）-w+M（G0）=8nk-6k2+2n-2k-2-2n2=（3k-n）（2n-2k）+2n-2k-2gt;0.

情形2） n≥2k+4.

① 當(dāng)0lt;x≤k2時(shí)， 計(jì)算和情形1）中①同理.

② 當(dāng)k2lt;x≤n-k-42時(shí)， 有

w+M（G′）= "8kx+8x+3（n-2）+4（n-4）+…+4×2+0+4×2+4×4+…+ "5（2x-k）+3（n-2）+4（n-4）+…+5（k+2x）= "2n2-6n+20x+4，

從而w+M（G′）-w+M（G0）=20x+2k2-6kgt;0.

③ 當(dāng)x=n-k-22時(shí)， 有

w+M（G′）= "（n-k-2）（4k+4）+4（n-2）+3（n-2）+4（n-4）+…+2×4+0+ "2×4+4×4+…+5（n-2k-2）=2n2+4n-10k-16，

從而w+M（G′）-w+M（G0）=2k2+10n-16k-20gt;0.

④ 當(dāng)x=n-k2時(shí)， 有

w+M（G′）= "10（n-k）+4（n-k）（k-2）+3（n-2）+4（n-4）+…+4×2+0+ "4×2+4×4+…+5（n-2k）=2n2-8k+2n+2，

從而w+M（G′）-w+M（G0）=2k2-14k+8n-2gt;0.

情形3） n=2k+2.

① 當(dāng)0lt;x≤n-k-42時(shí)， 計(jì)算和情形1）中①同理.

② 當(dāng)x=n-k-22=k2時(shí)， 計(jì)算和情形1）中②同理.

③ 當(dāng)x=k+22時(shí)， 計(jì)算和情形2）中④同理.

當(dāng)n是奇數(shù)時(shí)， 考慮如下情形.

情形1） k+3≤nlt;2k.

① 當(dāng)0lt;x≤n-k-52時(shí)， 有

w+M（G′）= "（4k+4）（2x+1）+3（n-2）+4（n-4）+…+5（k-1-2x）+ "3（n-2）+4（n-4）+…+5（k+1+2x）= "（4k+4）（2x+1）+（n-2x+k-3）（n+2x-k+1）+k-1-2x-（n-2）

+ "（n+2x+k-1）（n-2x-k-1）-（n-2）+k+1+2x= "2n2-2k2-6n+10k+8kx-8x2+6.

因?yàn)閤≤n-k-52， n≤2k-1， 所以x≤k-62， 從而

w+M（G′）-w+M（G0）=8x（k-x）gt;0.

② 當(dāng)x=n-k-32時(shí)， 有

w+M（G′）= "（4k+4）（n-k-2）+4（n-2）+3（n-2）+4（n-4）+…+5（2k-n+2）= "8nk+6n-8k2-14k-12，

從而w+M（G′）-w+M（G0）= "8nk+12n-6k2-2n2-24k-18= "（3k-n）（2n-2k-6）+6（n-k-3）gt;0.

③ 當(dāng)x=n-k-12時(shí)， 有

w+M（G′）= "10（n-k）+4×（n-k）（k-2）+3（n-2）+4（n-4）+…+5（2k-n）= "8nk-8k2-4n+4k+2，

從而w+M（G′）-w+M（G0）= "8nk-6k2-2n2+2n-6k-4= "（2k-n）（2n-2k）+（2k+2）（n-k-2）gt;0.

情形2） n≥2k+3.

① 當(dāng)0lt;x≤k-22時(shí)， 計(jì)算和情形1）中①同理.

② 當(dāng)k-22lt;x≤n-k-52時(shí)， 有

w+M（G′）= "（4k+4）（2x+1）+3（n-2）+4（n-4）+…+4×1+4×1+4×3+…+ "5（1+2x-k）+3（n-2）+4（n-4）+…+5（k+1+2x）= "2n2-6n+20x+16，

從而w+M（G′）-w+M（G0）=2k2-10k+20x+10gt;0.

③ 當(dāng)x=n-k-32時(shí)， 有

w+M（G′）= "（4k+4）（n-k-2）+3（n-2）+4（n-4）+…+4×1+ "4×1+…+5（n-2k-2）+4（n-2）=2n2+4n-10k-14，

從而w+M（G′）-w+M（G0）=2k2-20k+10n-20gt;0.

④ 當(dāng)x=n-k-12時(shí)， 有

w+M（G′）= "2×5×（n-k）+4×（n-k）×（k-2）+4×1+4×3+…+ "3×（n-2）+4×1+4×3+…+5×（n-2k）= "2n2-8k+2n+4，

從而w+M（G′）-w+M（G0）=2k2+8n-18k-2gt;0.

情形3） n=2k+1.

① 當(dāng)0lt;x≤n-k-52時(shí)， 計(jì)算和情形1）中①同理.

② 當(dāng)x=n-k-32=k-22時(shí)， 計(jì)算和情形1）中②同理.

③ 當(dāng)x=n-k-12時(shí)， 計(jì)算和情形2）中④同理.

綜上， 本文得到了當(dāng)單圈圖的圈長(zhǎng)為偶數(shù)時(shí)， 其Mostar指標(biāo)和加權(quán)Mostar指標(biāo)的下界， 并給出了相應(yīng)的極值圖.

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（責(zé)任編輯： 李 琦）