非奇異H-矩陣的一組新判據(jù)

摘要： 基于廣義嚴(yán)格α-對(duì)角占優(yōu)矩陣及其相關(guān)概念和性質(zhì)， 通過(guò)對(duì)矩陣指標(biāo)集進(jìn)行劃分并構(gòu)造與之對(duì)應(yīng)的正對(duì)角因子及設(shè)定新參數(shù)的方法， 給出一組實(shí)用的非奇異H-矩陣新判據(jù)， 拓廣了非奇異H-矩陣的判定范圍. 最后， 通過(guò)數(shù)值例子說(shuō)明新判據(jù)的有效性.

關(guān)鍵詞： 非奇異H-矩陣; 廣義嚴(yán)格α-對(duì)角占優(yōu)矩陣; 不可約α-對(duì)角占優(yōu)矩陣; 具有非零元素鏈的α-對(duì)角占優(yōu)矩陣

中圖分類(lèi)號(hào)： O151.21" 文獻(xiàn)標(biāo)志碼： A" 文章編號(hào)： 1671-5489（2024）04-0774-07

A New Set of Criteria for Nonsingular H-Matrices

TAO Wenqi， LI Min， SANG Haifeng， LIU Panpan

（College of Mathematics and Statistics， Beihua University， Jilin 132013， Jilin Province， China）

Abstract： Based on the generalized strictly α-diagonally dominant matrices and its related concepts and properties，

by dividing the matrix index set， forming corresponding positive diagonal factors and setting new parameters， we gave" a set of practical new criteria for nonsingular H-matrices，

expanding the judgment range of nonsingular H-matrices. Finally， numerical examples were used to illustrate the effectiveness of the new criterion.

Keywords： nonsingular H-matrix;" generalized strictly α-diagonally dominant matrix; irreducible α-diagonally dominant matrix; α

-diagonal dominant matrix with a nonzero elements chain

1 預(yù)備知識(shí)

非奇異H-矩陣在矩陣?yán)碚摗?數(shù)值分析、 控制理論、 經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)等領(lǐng)域應(yīng)用廣泛， 但如何判斷一個(gè)矩陣是否是非奇異H-矩陣很困難， 因此研究非奇異H-矩陣的判定條件備受關(guān)注

［1＼|11］. 由于α-對(duì)角占優(yōu)矩陣是一類(lèi)非奇異H-矩陣， 所以α-對(duì)角占優(yōu)矩陣?yán)碚撌桥卸ǚ瞧娈怘-矩陣的重要方法. 本文介紹一種α-對(duì)角占優(yōu)矩陣， 借助其判別一

個(gè)矩陣是否為非奇異H-矩陣， 并通過(guò)數(shù)值實(shí)例說(shuō)明新判據(jù)的有效性.

令瘙綇n×n表示n階復(fù)方陣集合， A=（aij）∈瘙綇n×n， AT表示A的轉(zhuǎn)置. 記

N={1，2，…，n}， Ri（A）=∑j∈N， j≠iaij， Ci（A）=∑j∈N， j≠i aji， i，j∈N.

設(shè)A=（aij） ∈瘙綇n×n， 如果i∈N， aii≥（gt;）Ri（A）， 則A稱(chēng)為（嚴(yán)格）對(duì)角占優(yōu)矩陣， 記為A∈D0（A∈D）. 若存在正對(duì)角矩陣X使得AX∈D， 則A稱(chēng)為廣義嚴(yán)格

對(duì)角占優(yōu)矩陣（也稱(chēng)為非奇異H-矩陣）， 記為A∈D*. 因?yàn)榉瞧娈怘-矩陣的主對(duì)角元素非零， 故本文總假設(shè)所涉及的矩陣主對(duì)角元素的模大

于零， 即aiigt;0， i∈N. 若Ri（A）=0（或Ci（A）=0）， 則對(duì)于指標(biāo)i總

有行（或列）占優(yōu)的結(jié)論， 故本文的矩陣假設(shè)Ri（A）≠0， Ci（A）≠0.

定義1［1］ 設(shè)A=（aij）∈瘙綇n×n， 若存在α∈［0

，1］， 使得對(duì)任意的i∈N， 都有aiigt;［Ri（A）］α×［C

i（A）］1-α， 則A稱(chēng)為嚴(yán)格α-對(duì)角占優(yōu)矩陣， 記為A∈D（α）.

定義2［1］ 設(shè)A=（aij）∈瘙綇n×n， 若存在正對(duì)角

矩陣X， 使得AX∈D（α）， 則A稱(chēng)為廣義嚴(yán)格α-對(duì)角占優(yōu)矩陣， 并記為A∈D*（α）.

定義3［1］ 設(shè)A=（aij）∈瘙綇n×n是不可約矩陣，

若存在α∈［0，1］， 使得aii≥［Ri（A）］α×［Ci（A）］

1-α， i∈N， 且至少有一個(gè)嚴(yán)格不等式成立， 則A稱(chēng)為不可約α-對(duì)角占優(yōu)矩陣.

定義4［1］ 設(shè)A=（aij）∈瘙綇n×n， 若存在α∈［0

，1］， 使得aii≥［Ri（A）］α［Ci（A）］1-α

， i∈N， 其中至少有一個(gè)嚴(yán)格不等式成立并且對(duì)每個(gè)使aii=［Ri（

A）］α［Ci（A）］1-α成立的i， 存在一個(gè)非零元素鏈aij1aj1j2…ajk-1jk≠0， 使得ajkjkgt;

［Rjk（A）］α［Cjk（A）］1-α， 則A稱(chēng)為具有非零元素鏈的α-對(duì)角占優(yōu)矩陣.

引理1［2］ 設(shè)A=（aij）∈瘙綇n×n，

則A為廣義嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)矩陣的充分必要條件是A為廣義嚴(yán)格α-對(duì)角占優(yōu)矩陣.

引理2［3］ 設(shè)A=（aij）∈瘙綇n×n， 若

A為一個(gè)不可約α-對(duì)角占優(yōu)矩陣， 或者A是一個(gè)具有非零元素鏈

的α-對(duì)角占優(yōu)矩陣， 則A為一個(gè)非奇異H-矩陣.

引理3［4］ 設(shè)A=（aij）∈瘙綇n×n， 若

AX是一個(gè)非奇異H-矩陣， 且X=diag（x1，x2，…，xn）（xigt;0， i=1，2，…，n）， 則A為一個(gè)非奇異H-矩陣.

注1 當(dāng)A為嚴(yán)格α-對(duì)角占優(yōu)矩陣時(shí)， 若α=1（或者α=0）， 則有

aii gt;Ri（A）， i∈N（或aiigt;Ci（A）

，i∈N）即A∈D（或者AT∈D）. 當(dāng)A為廣義嚴(yán)格α-對(duì)角占優(yōu)矩陣時(shí)， 若

α=1（或者α=0）， 則有A∈D*（或者AT∈D*）. 總之， A為非奇

異H-矩陣， 故本文只考慮α∈（0，1）的情況. 為方便， 記Mi（A）=［Ri（A）］α［Ci（A）］1-α， i∈N.

2 主要結(jié)果

記N0（α）={i∈Naii=Mi（A）}， N1（α）={i∈N0lt;aiilt;Mi（A）}， N2（α）={i∈N

aiigt;Mi（A）}， 顯然， Nu（α）∩Nv（α）=（u≠v）， 并且N=N0（α）∪N1（α）∪N2（α）. 記∑i∈·=0，

r=maxi∈N2（α）∑j∈N0（α）aij+∑j∈N1（α）aij［Ci（A）］（1-α）/αaii1/α-∑j∈N2（

α）， j≠iaij ［Ci（A）］（1-α）/α，

s=maxi∈N1（α）Mi（A）-aiiMi（A），" δ=max{r，s}，

Pi，r（A）=δ∑j∈N0（α）aij+∑

j∈N1（α）aijMj（A）-ajjMj（

A）+r∑j∈N2（α）， j≠iaij［Ci（A

）］（1-α）/α，" i∈N2（α），h=maxi∈N2（α）δ∑j∈N0（α）aij+∑j

∈N1（α）aijMj（A）-ajjMj（A）［Ci（A）］（1-α）/αPi，r（A）-∑j∈N2（α）， j≠iaijPj，r（A）ajj

1/α［Ci（A）］（1-α）/α.

定理1 令A(yù)=（aij）∈瘙綇n×n， 對(duì)某個(gè)α∈（0，1）， 當(dāng)i∈N2（α） 時(shí)， 存在j0∈N0（α）∪N1（α）， 使得aij0≠0，

且對(duì)任意的i∈N1（α）， 都有

aiiMi（A）-aiiMi（A）gt; "δ∑j∈N0（α）aij+∑j∈N1（α）， j≠iaijMj（A）-ajjMj（A）+h∑j∈N2（α）aijPj，r（A）a

jj1/αα× "Ci（A）Mi（A）-aiiMi（A）1-α（1）

成立， 則A為非奇異H-矩陣.

證明： 易知0lt;rlt;1， 0lt;slt;1， 則0lt;δlt;1. 結(jié)合r的定義可知， 對(duì)任意的i∈N2（α）， 有

raii1/αgt;δ∑j∈N0（α）aij

+∑j∈N1（α）aijMj（A）-ajjMj（A）+

r∑j∈N2（α）， j≠iaij［Ci（A）］（1-α）/α，

再由Pi，r（A）的定義可知， Pi，r（A）lt;raii 1/

α， 因此0lt;Pi，r（A）aii 1/αlt;r≤δlt;1（i∈N2（α））.

對(duì)任意的i∈N2（α）， 有

δ∑j∈N0（α）aij+∑j∈N1（α）aijMj（A）-ajjMj（A）［Ci（A）］（1-α）/α=Pi，r（A）-r∑j∈N

2（α）， j≠iaij［Ci（A）］（1-α）/α，

因此

δ∑j∈N0（α）aij+∑j∈N1（α）aijMj（A）-ajjMj（A）

［Ci（A）］（1-α）/αPi，r（A）-∑j∈N2（α）， j≠

iaijPj，r（A）ajj1/α

［Ci（A）］（1-α）/α="" """Pi，r（A）-r∑j∈

N2（α）， j≠iaij［Ci（A）］（1-α）/αPi，r

（A）-∑j∈N2（α）， j≠iaijPj，r（A

）ajj 1/α［Ci（A）］（1-α）/α≤1，

再根據(jù)h的定義可得0lt;h≤1， 并且有

hPi，r（A）≥δ∑j∈N0（α）aij+∑j∈N1（α）aijMj（A）-ajjM

j（A）+h∑j∈N2（α）， j≠iaijPj，

r（A）ajj1/α［Ci（A）］（1-α）/α.（2）

對(duì)任意的i∈N1（α）， 令

qi=aiiMi（A）-aiiMi（

A）1/α-δ∑j∈N0（α）aij

+∑j∈N1（α）， j≠iaijMj（A）-aj

jMj（A）+h∑j∈N2（α）aijP

j，r（A）ajj1/α×Ci（A）Mi（A）-aiiMi（A）（1-α）/α，

由式（1）可知qigt;0. 再令

wi=qi∑j∈N2（α）aijCi（A

）Mi（A）-aiiMi（A）（1-α）/α，" i∈N1（α）.（3）

特別地， 由式（1）可知， 當(dāng)∑j∈N2（α）aij=0時(shí)， 取wi=+∞; 當(dāng)∑j∈N2（α）aij≠0時(shí)， wigt;

0， i∈N1（α）. 注意到

0lt;Pi，r（A）aii1/

αh≤Pi，r（A）aii 1/αlt;r≤δlt;1 （i∈N2（α）），

因此必存在一個(gè)充分小正數(shù)ε， 滿(mǎn)足

0lt;εlt;mini∈N1（α）{wi}≤+∞，" maxi∈N2（α）Pi，r（A）aii1/αh+εlt;δlt;1.

構(gòu)造一個(gè)正對(duì)角矩陣X=diag（x1，x2，…，xn）， 其中

xi=δ，i∈N0（α），Mi（A）-aiiMi（A），i

∈N1（α），Pi，r（A）aii1/αh+ε，i∈N2（α）.

令B=AX=（bij）， 下證B∈D（α）.

對(duì)任意的i∈N0（α）， 由0lt;δlt;1， 0lt;Mi（A）-aiiMi

（A）≤δlt;1（i∈N1（α））， 0lt;Pi，r（A）aii1/αh+εlt;δlt;1（i∈N2（α））， 得

Mi（B）= "δ∑j∈N0（α）， j≠iaij+∑j

∈N1（α）aijMj（A）-ajjMj

（A）+∑j∈N2（α）aijPj，r（

A）ajj1/αh+εα［δCi（A）］1-αlt;

δ∑j∈N0（α）， j≠iaij+δ∑j∈N1（α）aij+δ∑j∈N2（α）aij

α［δCi（A）］1-α=δaii=bii，

故biigt;Mi（B）， i∈N0（α）. 對(duì)任意的i∈N1 （α）， 若∑j∈N2（α）aij=0， 則由式（1）可知

Mi（B）= "δ∑j∈N0（α）aij+∑j∈N

1（α）， j≠iaijMj（A）-ajjMj（A）+∑j∈N2（α）aijPj，r（A）ajj1/αh+εα× "Ci（A）Mi（A）-aiiMi（A）1-αlt;

aiiMi（A）-aiiMi（A）=bii.

若∑j∈N2（α）aij≠0， 則由式（3）及ε取值范圍可得

［Mi（B）］1/α= "δ∑j∈N0（α）aij+∑j∈N

1（α）， j≠iaijMj（A）-ajjMj（A）+∑j∈N2（α）aijPj，r（A）

ajj1/αh+ε× "Ci（A）Mi

（A）-aiiMi（A）（1-α）/αlt;

δ∑j∈N0（α）aij+∑j∈N1（α）， j≠iaijMj（A）-ajj

Mj（A）+∑j∈N2（α）aijPj，r（A）ajj1/αh× "Ci（A）Mi（

A）-aiiMi（A）（1-α）/α+wi∑j∈N2（α）aijCi（A）Mi（

A）-aiiMi（A）（1-α）/α=

aiiMi（A）-aiiMi（

A）1/α=bii 1/α，

故biigt;Mi（B）， i∈N1（α）.

對(duì)任意的i∈N2 （α）， 由aii 1/αgt;Ri（A）［Ci（A）］（1-α）/αgt;∑j∈N2（α）， j≠ia

ij［Ci（A）］（1-α）/α

和式（2）可知

aii1/αPi，r（A）aii1/αh+ε= "Pi，r（A）h+εaii1/αgt;

δ∑j∈N0（α）aij+∑j∈N1（α）aijMj（A）-ajj

Mj（A）+ "∑j∈N2（α）， j≠iaijPj，r

（A）ajj1/αh+ε［Ci（A）］（1-α）/α，

從而可得

bii=aii Pi，r（A）aii1/αh+ε

gt;δ∑j∈N0（α）aij+∑j∈N1（α）aijMj（A）-ajjMj（A）+∑j∈N2（α）， j≠iaijPj，r（A）ajj1/αh+εαCi（A）Pi，r（A）aii1/αh+ε1-α=Mi（B），

即biigt;Mi（B）， i∈N2（α）.

綜上可知biigt;Mi（B）， i∈N0 （α）∪N1（α）∪N2（α）=N， 故B∈D（α）， 從而A∈D*（α）. 于是由引理1可知， A為非奇異H-矩陣.

定理2 令A(yù)=（aij）∈瘙綇n×n是一個(gè)不可約矩陣， 對(duì)于某個(gè)α∈（0，1）， 對(duì)任意的i∈N1（α）， 有

aiiMi（A）-aiiMi（A）≥δ∑j∈N0（α）aij+∑j∈N1（α）， j≠i

aijMj（A）-ajjMj（A）+h∑j∈N2（α）aijPj，r（A）ajj1/αα×

Ci（A）Mi（A）-aiiMi（A）1-α，（4）

且式（4）中至少有一個(gè)嚴(yán)格不等式成立， 則A為非奇異H-矩陣.

證明： 構(gòu)造一個(gè)正對(duì)角矩陣X=diag（x1，x2，…，xn）， 其中

xi=δ，i∈N0（α），Mi（A）-aiiMi（A），i∈N1（α），hPi，r（A）aii1/α，i∈N2（α）.

令B=AX=（bij）， 下證B為不可約α-對(duì)角占優(yōu)矩陣.

對(duì)任意的i∈N0（α）， 由0lt;δlt;1， 0lt;Mi（A）-aiiMi（A）≤δlt;1（i∈N1（α））， 0lt;Pi，r（A）aii1/αh≤δlt;1（i∈N2（α））， 有

Mi（B）= "δ∑j∈N0（α）， j≠iaij+∑j∈N1（α）aijMj（A）-ajjMj（A）+h∑j∈N2（α）aijPj，r（A）ajj1/αα［δCi（A）］

1-α≤ "δ∑j∈N0（α）， j≠iaij+δ∑j∈N1（α）aij+δ∑j∈N2（α）aij

α［δCi（A）］1-α=δaii=bii，

故bii≥Mi（B）， i∈N0（α）.

對(duì)任意的i∈N1（α）， 由式（4）可知

Mi（B）= "δ∑j∈N0（α）aij+∑j∈N1（

α）， j≠iaijMj（A）-ajjMj（A）+h∑j∈N2（α）aij

Pj，r（A）ajj1/αα×

Ci（A）Mi（A）-aiiMi（A）1-α≤

aiiMi（A）-aiiMi（A）=bii，

故bii≥Mi（B）， i∈N1（α）. 由定理?xiàng)l件可知， 其中至少有一個(gè)嚴(yán)格不等式成立.

對(duì)任意的i∈N2（α）， 由式（2）可知

aii 1/αPi，r（A）aii1/αh= "Pi，r（A）h≥δ∑j∈N0（α）aij+∑j∈N1（α）aijMj（A）-ajjMj（A）+

h∑j∈N2（α）， j≠iaijPj，r（A）ajj1/α［Ci（A）］（1-α）/α，

從而可得

bii= "aii Pi，r（A）aii

1/αh≥δ∑j∈N0（α）aij+∑j∈N

1（α）aijMj（A）-ajjMj（

A）+

h∑j∈N2（α）， j≠iaijPj，r

（A）ajj1/ααCi（A）Pi，r（A）aii

1/αh1-α=Mi（B），

即bii≥Mi（B）， i∈N2（α）.

綜上可知bii≥Mi（B）， i∈N0（α）∪N1（α）∪N2（α）=N， 且至少有一個(gè)嚴(yán)格不等式成立. 由A是一個(gè)不可約矩陣可知B

不可約， 因此B是一個(gè)不可約α-對(duì)角占優(yōu)矩陣. 由引理2可知B是非奇異

H-矩陣， 再由引理3可知A為一個(gè)非奇異H-矩陣.

定理3 令A(yù)=（aij）∈瘙綇n×n， 存在α∈（

0，1）， 使得對(duì)任意的i∈N1（α）， 式（4）成立， 并且對(duì)使式（4）中等式成立的指標(biāo)i， 均存在非零元素鏈aij1aj1j2…ajk-1jk≠0， 使得

ajkjkMjk（A）-ajkjkMjk（A）gt;

δ∑j∈N0（α）ajkj+∑j∈N1（α）， j≠

jkajkjMj（A）-ajjMj（

A）+h∑j∈N2（α）ajkjPj，r（A）ajj1/αα×Cjk（A）Mjk（A）-a

jkjkMjk（A）1-α，（5）

則A為非奇異H-矩陣.

證明： 類(lèi)似定理2的證明構(gòu)造一個(gè)正對(duì)角矩陣X， 易證： 對(duì)任意的i∈N， 都有bii≥Mi（B）， 且對(duì)滿(mǎn)足bii=

Mi（B）的行指標(biāo)i， 有非零元素鏈bij1bj1j2…bjk-1jk≠0， 使得bjkjkgt;Mjk（B）， 從而B(niǎo)

為具有非零元素鏈的α-對(duì)角占優(yōu)矩陣， 由引理2可知B為非奇異H-矩陣， 進(jìn)一步由引理3可知A為非奇異H-矩陣.

3 數(shù)值實(shí)例

設(shè)矩陣

A=2110012.3150103220016101019.

取α=12， 通過(guò)計(jì)算可得N0（α）={1}， N1（α）={2，3}， N2（α）={4，5}， r=27， s=14-2.314， δ=14-2.314， P4，r（A）=4.088 940 931 782 2， P5，r（A）

=2.013 040 287 947 1， h=0.691 204 174 769 0. 故

a22M2（A）-a22M2（

A）= "0.886 188 030 283 2gt;0.879 259 615 852 9=

δ·a21+a23M3（A）

-a33M3（A）+h·a24

P4，r（A）a441/α+a25P5，r（A）a

551/αα× "C2（A）M2（A）-a

22M2（A）1-α，

a33M3（A）-a33M3（

A）= "0.676 209 992 275 5gt;0.624 460 601 870 8= "δ·a31+a32M2（A）-a22M2（A）+h·a34P4，r（A）a441/α+a35P5，r（A）a551/αα× "C3（A）M3（A）-a

33M3（A） 1-α.

矩陣A滿(mǎn)足定理1的條件， 所以A是一個(gè)非奇異H-矩陣.

采用文獻(xiàn)［7］中的記號(hào)和公式， 通過(guò)計(jì)算有

a22Λ2（A）-a22Λ2（A）=

1.124 444 444 444 4lt;1.196 794 871 794 7= "αδ·a21+a23Λ3（A）-a33

Λ3（A）+h·a24P4，r（A）a44+

a25P5，r（A）a55+ "（1-α）C2（A）Λ2（A）-a22Λ2（A），

顯然矩陣A不滿(mǎn)足文獻(xiàn)［7］中定理的條件， 故不能判定A是一個(gè)非奇異H-矩陣. 采用文獻(xiàn)［8］中的記號(hào)和公式， 通過(guò)計(jì)算得

a22=2.3lt;Λ2（A）a22a21a11Λ1（

A）+a23a33Λ3（A）+

Λ4（A）a44+Λ5（A）a55=7.371 980 676 328 5，

顯然矩陣A不滿(mǎn)足文獻(xiàn)［8］中定理的條件， 故不能判定A是一個(gè)非奇異H-矩陣. 采用文獻(xiàn)［9］中的記號(hào)和公式， 通過(guò)計(jì)算得

a22= "2.3lt;Λ2（A）Λ2（A）-a22

a21+a23Λ3（A）-a33Λ3（A）+a24Λ4（A）a44

+a25Λ5（A）a55= "4.567 375 886 524 8，

顯然矩陣A不滿(mǎn)足文獻(xiàn)［9］中定理的條件， 故不能判定A是一個(gè)非奇異H-矩陣. 采用文獻(xiàn)［10］中的記號(hào)和公式， 通過(guò)計(jì)算得

r=15， P4（A）=65， P5（A）=65，

a33= "3lt;Λ3（A）Λ3（A）-a33

a31+a32Λ2（A）-a22Λ2（A）+a34P4（A）a44+a35P5（A）a55= "5.845 238 095 238 0，

顯然矩陣A不滿(mǎn)足文獻(xiàn)［10］中定理的條件， 故不能判定A是一個(gè)非奇異H-矩陣.

采用文獻(xiàn)＼中的記號(hào)和公式，通過(guò)計(jì)算有

a22=2.3lt;3.423 820 004 891 1=1σ2a21 σ1+a23 σ3+a24

kR4（A）a44 +a25 kR5（A）a55 ，

顯然矩陣A不滿(mǎn)足文獻(xiàn)＼中定理的條件， 故不能判定A是一個(gè)非奇異H＼|矩陣.

參考文獻(xiàn)

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（責(zé)任編輯： 趙立芹）