平凡環擴張上的強Ding投射模

摘要： 設RM是平凡環擴張， 其中R是環， M是（R，R）-雙模. 在特定條件下， 證明（X，α）是強Ding投射左RM-模當且僅當序列MRMRXMαMRXαX正合， 并且coker（α）是強Ding投射左R-模.

關鍵詞： 平凡擴張; Ding投射模; 強Ding投射模

中圖分類號： O153.3" 文獻標志碼： A" 文章編號： 1671-5489（2024）04-0781-06

Strongly Ding Projective Modules over Trivial Ring Extensions

LI Runhua， ZHANG Cuiping

（College of Mathematics and Statistics， Northwest Normal University， Lanzhou 730070， China）

Abstract： Let RM be a trivial ring extension， where R be a ring， M be a

n （R，R）-bimodule. We prove that （X，α） is a strongly Ding projective left RM-module if and only

if the sequence MR MRXMαMRXαX is exact and coker（α） is a strongly Ding projective left R-module under certain conditions.

Keywords： trivial extension; Ding projective module; strongly Ding projective module

0 引 言

目前， 關于Gorenstein投射模的研究已有很多結果： Enochs等［1］引入了Gorenstein投射（內射， 平坦）模的概念， 并研究了其

性質； Ding等［2］研究了Gorenstein投射模的特殊情形， 即強Gorenstein平坦模， 證明了左R-模M是強Gorenstein平坦模當且僅當M有右正合的平坦

分解， 并且對任意平坦左R-模F， ExtiR（M，F）=0; Gillespie［3］將強Gorenstein平坦模稱為Ding投射模， 并利用這些模

在模范疇中構造了新的模類； Huang等［4］引入了強Ding投射（內射）模， 證明了任意Ding投（內）射模都是強Ding投（內）模的直和項;

Fossum等［5］給出了平凡環擴張上模范疇的等價刻畫; Holm等［6］研究了平凡環擴張上的Gorenstein投射（內射， 平坦）模; Mao

研究了平凡環擴張上模的同調性質［7］， 并進一步研究了平凡環擴張上的Ding投射模和Ding內射模， 證明了在特定條件下， （X，α）是Ding投射左R

M-模當且僅當序列MRMRXMαMRXαX正合， 并且coker（α）是Ding投射左R-模［8］. 受上述研究工作的啟發， 本文研究

平凡環擴張上的強Ding投射模. 本文中環均指有單位元的非零結合環， 模指酉模. 對于環R， R-Mod表示左R-模范疇， RX表示左R-模， fd（X）表示R-模X的平坦維數.

設R是環， M是（R，R）-雙模. 在笛卡爾積R×M上定義乘法為

（r1，m1）（r2，m2）=（r1r2，r1m2+m1r2）.

其中r1，r2∈R， m1，m2∈M， 則R×M按普通坐標的加法

和上述定義的乘法構成一個環. 文獻［5］將該環稱為R關于M的平凡擴張， 記為RM.

RM-Mod的對象為（X，α）， 其中X是左R-模， α： MRX→X， 并滿足α（Mα）=0. 設（X，α），（Y，β）是左RM-模， 則（X，α）

到（Y，β）的態射為f， 其中f： X→Y是左R-模同態， 并且滿足如下交換圖：

左RM-模序列0→（X，α）→（Y，β）→（Z，δ）→0正合當且僅當左R-模序列0→X→Y→Z→0正合［5］.

R-Mod和RM-Mod之間存在以下函子：

1） T： R-Mod→RM-Mod， T（X）=（X（MRX），μ），

其中X∈R-Mod， μ=0010： （MRX）（MRMRX）→X（MRX）; T（f）=

f00Mf， 其中f： X→Y是左R-模同態;

2） U： RM-Mod→R-Mod， U（X，α）=X， U（f）=f， 其中（X，α）∈RM-Mod， f： （X，α）→（Y，β）是左RM-模同態;

3） Z： R-Mod→RM-Mod， Z（X）=（X，0）， Z（f）=f， 其中X∈R-Mod

， f： X→Y是左R-模同態;

4） C： RM-Mod→R-Mod， C（X，α）=coker（α）， C（f）為誘

導同態， 其中（X，α）∈RM-Mod， f： （X，α）→（Y，β）是左RM-模同態.

由文獻［5］知， （T，U），（C，Z）是伴

隨對， CT=idR-Mod， UZ=idR-Mod.

1 預備知識及主要結果

定義1［4］ 若存在投射左R-模的正合列

P： …→PfPfPfP→…，（1）

使得MKer f， 并且對任意平坦模F， 序列HomR（P，F）正合， 則稱左R-模M是強Ding投射模.

引理1［7］ 設（X，α）是左RM-模， 則：

1） （X，α）是投射左RM-模當且僅當（X，α）T（P）， 其中P是投射左R-模;

2） （X，α）是平坦左RM-模當且僅當（X，α）T（N）， 其中N是平坦左R-模.

引理2［9］ 設（X，α）是左RM-模， ρ： X→coker（α）是滿同態， 則：

1） Z（W）RMT（P）WRP;

2） HomRM（T（P），Z（N））HomR（P，N）;

3） 存在短正合列0→Z（Im（α））→（X，α）→Z（coker（α））→0;

4） 存在δ： MRcoker（α）→X， 使得δ（Mρ）=α.

引理3［10］ 設R是環， U是有有限平坦維數的右R-模，

F： …→Fn-1→Fn→Fn+1→…

是平坦左R-模正合列， 則URF正合.

下面討論平凡環擴張RM上模的強Ding投射性質.

引理4［11］ 設X是左R-模， 則以下條件等價：

1） X是強Ding投射左R-模;

2） 存在投射左R-模正合列（1）， 使得對任意平坦維數有限的左R-模G， HomR（-，G）作用上述序列后仍正合.

定理1 設（X，α）是左RM-模. 如果fd（MR）lt;∞， fd（RM）lt;∞， 序列M

RMRXMαMRX αX正合， 并且coker（α）是強Ding投射左R-模， 則（X，α）是強Ding投射左RM-模.

證明： 因為coker（α）是強Ding投射左R-模， 所以存在投射左R-模正合列（1）， 使得coker（α）Ker（f）， 對任意平坦左R-模F， HomR（

P，F）正合. 因為fd（MR）lt;∞， 因此由引理3可知，

MRP…→MRPMfMRPMfMRP→…

正合， 并有MRcoker（α）Ker（Mf）.

令ρ： X→coker（α）是滿同態， 則有正合列

MRXαXρcoker（α）→0，

進而有正合列

MRMRXMαMRXMρMRcoker（α）→0.

因為MRMRXMαMRXαXρcoker（α）→0

是正合的， 因此由引理2易得以下正合列：

0→MRcoker（α）δXρcoker（α）→0，

并且δ（Mρ）=α. 因為fd（RM）lt;∞， 故由文獻［11］中引理3.2可知fd（MRP）lt;∞， 再由引理4知HomR（P，M

RP）正合， 從而有Ext1R（Ker（f），MRP）=0. 設ι： coker（α）→P是單同態， π： P→coker（α）是滿同態， 滿足ιπ=f， 則有單同態

Mι： MRcoker（α）→MRP， 從而存在ψ： X→MRP， 使得ψδ=Mι， 存在η： P→X， 使得ρη=π. 定義λ=

ιρψ： X→P（MRP）， ξ=（η，δ（Mπ））： P（MRP）→X， 則有如下行列正合的交換圖：

和

所以有正合列

…→P（MRP）gP（MRP）gP（MRP）→…，

其中g=λξ， XKer（g）. 因為下圖交換：

故可得左RM-模正合列

0→（X，α）→（P（MRP），μ）→（P（MRP），μ）→…

和

…→（P（MRP），μ）→（P（MRP），μ）→（X，α）→0，

即有左RM-模正合序列

P*： …→T（P）gT（P）gT（P）gT（P）→….（2）

由引理1可知T（P）為投射模， 并有（X，α）Ker（g）.

下證HomRM（P*，（Y，β））正合， 其中（Y，β）是任意平坦左RM-模.

設（Y，β）是平坦左RM-模， 由引理1知， 存在平坦左R-模N， 使得（Y，β）T（N）. 由引理2知， 存在左RM-模正合列

0→Z（MRN）→T（N）→Z（N）→0，

因此有復形的正合列

0→HomRM（P*，Z（MRN））→

HomRM（P*，T（N））→

HomRM（P*，Z（N））→0.

因為HomRM（T（P），Z（N））HomR（P，N）， 故Hom

RM（P*，Z（N））HomR（P，N）正合.

因為fd（RM） lt;∞， 由文獻［11］中引理3.2可知， fd（MRN）lt;∞， 故由引理4知HomR（P，MRN）正合. 又因為

HomRM（T（P），Z（MRN））HomR（P，MRN）， 故HomR（P*，Z（MRN））HomR（P，MRN）正合. 由文獻［12］中定理147知， HomRM（P*，

T（N））正合， 即HomRM（P*，（Y，β））正合. 從而（X，α）是強Ding投射左RM-模. 證畢.

定理2 設（X，α）是左RM-模， fd（Z（R）RM）lt;∞， fd

（RMZ（R））lt;∞. 如果（X，α）是強Ding投射左RM-模， 則序列MRMRXM

αMRXαX正合， 并且coker（α）是強Ding投射左R-模.

證明： 因為（X，α）是強Ding投射左RM-模， 故由其定義知， 存在投射左RM-模正合列（2）， 使得（X，α）

Ker（g）， 并對任意平坦左RM-模（Y，β）， 有HomRM（P*，（Y，β））正合.

因為fd（Z（R）RM）lt;∞， 由引理3知Z（R）RMP*正合， 而Z（R）RMT（P）RRPP， 故可得投射左R-模正合列

C（P*）： …→P→PC（g）P→P→…，

并有coker（α）Ker（C（g））.

設F是平坦左R-模， 則由文獻［12］注記2.1.9可知F=lim Ni， 其中Ni是自由模. Z（F）=Z（lim Ni）=

lim Z（Ni）. 因為fd（RMZ

（R））lt;∞， 故fd（RMZ（F））lt;∞， 因此有HomR（C（P

*），F）HomRM（P*，Z（F））正合. 從而coker（α）是強Ding投射左R-模.

因為（X，α）是強Ding投射左RM-模， 所以（X，α）是Ding投射左RM-模， 由文獻［8］中定理2.1可知， 序列MRM

RXMαMRXαX正合. 證畢.

推論1 設（X，α）是左RM-模， fd（MR）lt;∞， fd（R M）lt;∞， fd

（Z（R）RM）lt;∞， fd（RMZ（R））lt;∞， 則：

1） （X，α）是強Ding投射左RM-模， 當且僅當序列M

RXMαMRXαX正合， 并且coker（α）是強Ding投射左R-模;

2） T（X）是強Ding投射左RM-模， 當且僅當X是強Ding投射左R-模;

3） Z（X）是強Ding投射左RM-模， 當且僅當MRX=0， 并且X是強Ding投射左R-模.

證明： 1） 由定理1和定理2可得.

2） 因為序列MRMR（X（MRP））MuMR（X（MRX））uP（MRX）正合， coker（u）=X， 故結論成立.

3） 因為序列MRMRXM0MRX0 X正合當且僅當MRX=0， coker（0）=X， 故結論成立. 證畢.

2 應 用

下面將定理1和定理2的結論應用到一類特殊的平凡環擴張上， 即具有零雙模同態的Morita環. 設A，B為兩個環， V是（A，B）-雙模， U是（B，A）-雙模， ： U

AV→B和ψ： VBU→A為雙模同態， 如果Λ（，ψ）=AVUB（，ψ）中元素的加法為對應位置元素相加， 乘法為

a1v1u1b1a2v2u2b2

=a1a2+ψ（v1u2）a1v2+v1b2u1a2+b1u2b1b2+（u1v2），

則Λ（，ψ）稱為Morita環＼. 總假設

（u1v1）u2=u1ψ（v1u2），" v1（u1v2）=ψ（v1u1）v2，

其中u1，u2∈U， v1，v2∈V， 這個條件保證了Λ（，ψ）是一個結合環. 為方便， 記一個Morita環為Λ（，ψ）.

Morita環Λ（，ψ）上的模結構是已知的［14］. Λ（，ψ）-Mod等價于范疇Ω， 其對象為四元組（X，Y，f，g）， 其中X∈A-Mod， Y∈B-Mod

， f∈HomB（UAX，Y）， g∈HomA（VBY，X）， 且滿足如下交換圖：

設（X1，Y1，f1，g1）和（X2，Y2，f2，g2）是范疇Ω中的對象， 則（X1，Y1，f1，g1）到（X2，Y2，f2，g2）的態射為（α，β）， 其中α

∈HomA（X1，X2）， β∈HomB（Y1，Y2）， 且滿足如下交換圖：

特別地， 如果=ψ=0， 則Λ（0，0）=AVUB（0，0）稱為具有零雙模同態的Morita環.

注意到UV具有（A×B，A×B）-雙模結構， 而左A×B-模是一個元素對（X，Y）， 其中X∈A-Mod，" Y∈B-Mod， 因此（UV）A×B（X，Y）（VBY，UAX

）. 由文獻［5］知， Λ（0，0）=AVUB（0，0）在對應運算avub

→（（a，b），（u，v））下同構于平凡環擴張（A×B）（UV）， 因此Λ（0，0）-Mod在函子Θ： Λ（0，0）-Mod→（A×B）

（UV）-Mod作用下同構于（A×B）（UV）-Mod， 其中Θ（X，Y，f，g）=（（X，Y），（g，f））.

定理3 設Λ（0，0）=AVUB（0，0）為Morita環， （X，Y，f，g）是左Λ（0，0）-模， 則：

1） 如果fd（UA）lt;∞， fd（BU）lt;∞， fd（AV）lt;∞， fd（VB）lt;∞， 序列VBUAXVf

VBYgX和UAVBYUgUAXfY正合， 并且coker（f）是強Ding投射左B-模，

coker（g）是強Ding投射左A-模， 則（X，Y，f，g）是強Ding投射左Λ（0，0）-模;

2） 如果fd（（A，B，0，0）Λ（0，0））lt;∞， fd（Λ（0，0）（A，B，0，0））lt;∞， 且（X，Y，f，g）是強Ding投射左Λ（0，0）-模， 則序列VBUAX

VfVBYgX和UAVBYUgUAXfY正合， 并且coker（f）是強Ding投射左B-模， coker（g）是強Ding投射左A-模.

證明： 1） 由序列VBUAXVfVBYgX和UAVBYUgUAXfY正合可知， 序列

（UV）A×B（UV）A×B（X，Y）（UV）（g，f）（UV）A×B（X，Y）（g，f）（X，Y）（3）

正合. 又因為coker（g）是強Ding投射左A-模， coker（f）是強Ding投射左B-模， 所以coker（g，f）=（coker（g），coker（f））是強Ding投射左A×B-模. 再由定理1可知

， （（X，Y），（g，f））是強Ding投射左（A×B）（UV）-模， 故可得（X，Y，f，g）是強Ding投射左Λ（0，0）-模.

2） 因為fd（（A，B，0，0）Λ（0，0））lt;∞， fd（Λ（0，0）（A，B，0，0））lt;∞， 所以fd（Z（A×B）（A×B）（UV））lt;∞

， fd（（A×B）（UV）Z（A×B））lt;∞. 由（X，Y，f，g）是強Ding投射左Λ（0，0）-模可知，

（（X，Y），（g，f））是強Ding投射左（A×B）（UV）-模. 再由定理2可知， 序列（3）正合且

coker（g，f）=（coker（g），coker（f））是強Ding投射左A×B-模， 因此可得序列VBUAXVfVBYgX和UA

VBYUgUAXfY正合， 并且coker（f）是強Ding投射左B-模， coker（g）是強Ding投射左A-模. 證畢.

參考文獻

［1］ ENOCHS E E， JENDA O M G. Gorenstein Injective and Projective Modules ［J］. Mathematische Zeitschrift， 1995， 220（4）： 611-633.

［2］ DING N Q， LI Y L， MAO L X. Strongly Gorenstein Flat Modules ［J］. Journal of the Australian Mathematical Society， 2009， 86（3）： 323-338.

［3］ GILLESPIE J. Model Structures on Modules over Ding-Chen Rings ［J］. Homology， Homotopy and Applications， 2010， 12（1）： 61-73.

［4］ HUANG C L， WU T S. Ding Projective and Ding In

jective Dimensions ［J］. International Electronic Journal of Algebra， 2015， 18： 1-20.

［5］ FOSSUM R M， GRIFFITH P A， REITEN I. Trivial Extensions

of Abelian Categories： Homological Algebra of Trivial Extensions of Abelian Categories with Applications to Ring Theory ［M］. Berlin： Springer-Verlag， 1975： 1-122.

［6］ HOLM H， JRGENSEN P. Semi-dualizing Modules and Rel

ated Gorenstein Homological Dimensions ［J］. Journal of Pure and Applied Algebra， 2006， 205（2）： 423-445.

［7］ MAO L X. Homological Properties of Trivial Ring Exte

nsions ［J］. Journal of Algebra and Its Applications， 2023， 22（12）： 2350265-1-2350265-23.

［8］ MAO L X. Ding Projective and Ding Injective Modules over Trivia

l Ring Extensions ［J］. Czechoslovak Mathematical Journal， 2023， 73（3）： 903-919.

［9］ MAO L X. Gorenstein Projective， Injective and Flat Modules over Trivi

al Ring Extensions ［J/OL］. Journal of Algebra and Its Applications， （2023-09-23）［2023-11-03］. https：//arxiv.org/abs/2305.15656.

［10］ ENOCHS E E， CORTS-IZURDIAGA M， TORRECILLAS B. Gor

enstein Conditions over Triangular Matrix Rings ［J］. Journal of Pure and Applied Algebra， 2014， 218（8）： 1544-1554.

［11］ MAO L X. Ding Modules and Dimensions over Formal Tr

iangular Matrix Rings ［J］. Rendiconti del Seminario Matematico Della Universit di Padova， 2022， 148： 1-22.

［12］ ENOCHS E E， JENDA O M G. Relative Homological Algebra ［M］. Berlin： Walter de Gruyter， 2000： 28.

［13］ MORITA K. Duality for Modules and Its Applications to the Theory of R

ings with Minimun Condition ［J］. Science Reports of the Tokyo Kyoiku Daigaku： Section A， 1958， 6： 83-142.

［14］ GREEN E L. On the Representation Theory of Rings in Matrix Form ［J］. Pacific Journal of Mathematics， 1982， 100（1）： 123-138.

（責任編輯： 趙立芹）