相對于對偶對的Cartan-Eilenberg復(fù)形

摘要： 設(shè)（A，B）是模范疇中的對偶對. 首先， 引入Cartan-Eilenberg-A復(fù)形和Cartan-Eilenberg-B復(fù)形的概念; 其次， 證明（C-E（A），C-E（B））是復(fù)形范疇中的對偶對， 其中C-E（A），C-E（B）分別表示所有Cartan-Eilenberg-A復(fù)形和Cartan-Eilenberg-B復(fù)形構(gòu)成的類; 最后， 給出對偶對在復(fù)形上的應(yīng)用.

關(guān)鍵詞： 對偶對; Cartan-Eilenberg-A復(fù)形; Cartan-Eilenberg-B復(fù)形

中圖分類號： O154.2" 文獻(xiàn)標(biāo)志碼： A" 文章編號： 1671-5489（2024）04-0787-06

Cartan-Eilenberg Complexes Relative to Duality Pairs

GUAN Jia’ai， LU Bo

（College of Mathematics and Computer Science， Northwest Minzu University， Lanzhou 730030， China）

Abstract： Let （A，B） be a duality pair in the category of modules. Firstly， the concepts of Cartan

-Eilenberg-A and Cartan-Eilenberg-B complexes are introduced. Secondly， it is proven that （C-E（A），C-E（

B）） is a duality pair in the category of complexes， where C-E（A） and C-E（B） denote the class of Cartan-Eilenberg-A complexes and Cartan-Eilenberg-B complexes， respectively. Finally， the application of duality pairs to complexes is given.

Keywords： duality pair; Cartan-Eilenberg-A complex; Cartan-Eilenberg-B complex

1 引言與預(yù)備知識

Holm等［1］在模范疇中引入了對偶對的概念. 對偶對與純性、 覆蓋和包絡(luò)的存在性以及完備余撓對的存在性均有密切聯(lián)系. 文獻(xiàn)［2］研究表明， 模范疇中存在多對偶對. 特別地， 平坦模類和內(nèi)射模類構(gòu)成一對偶對.

Cartan和Eilenberg［3］討論了模的復(fù)形的投射分解和內(nèi)射分解； Verdier［4］將復(fù)形的這兩種分解分別稱為復(fù)形的Cartan-Eilenberg（C-E）投射分解和Cartan-Eilenberg內(nèi)射分解， 并引入了C-E-內(nèi)射復(fù)形和C-E-投射復(fù)形的概念; Enochs［5］進(jìn)一步研究了C-E-投射復(fù)形、 C-E-內(nèi)射復(fù)形以及C-E＼|平坦復(fù)形， 并證明了每個復(fù)形都有C-E-投射預(yù)覆蓋、 C-E-內(nèi)射包絡(luò)和C-E-平坦覆蓋， 且復(fù)形的C-E-投射（C-E-內(nèi)射）分解即為由復(fù)形的C-E-投射預(yù)覆蓋（C-E-內(nèi)射包絡(luò)）給出的復(fù)形的C-E正合序列.

投射覆蓋和內(nèi)射包絡(luò)是經(jīng)典同調(diào)代數(shù)中的重要內(nèi)容， 每個模都有投射預(yù)覆蓋和內(nèi)射包絡(luò). 而模的預(yù)覆蓋和預(yù)包絡(luò)［6］構(gòu)成相對同調(diào)代數(shù)的重要內(nèi)

容. 受上述研究工作的啟發(fā)， 本文討論復(fù)形中預(yù)覆蓋和預(yù)包絡(luò)與對偶對之間的關(guān)系.

設(shè)A是一左R-模類， B是一右R-模類. 定義

A⊥={MExt1R（A，M）=0， A∈A}，

⊥A={NExt1R（N，A）=0， A∈A}.

若A⊥=B， ⊥B=A， 則稱（A，B）是余撓對. 如果對任意模M， A，A′∈A， B，B′∈B， 存在正合列0→

M→B→A→0 和0→B′→A′→M→0， 則稱余撓對（A，B）是完備的. 如果任意模都有A-覆蓋和B-

包絡(luò)， 則稱余撓對（A，B）是完全的. 由定義可知， 完全余撓對是完備的， 反之一般不成立. 用M+表示R-模M的示性模， 即M+=HomR（M，

如果A∈A， 且對任意模A′∈A， 誘導(dǎo)的同態(tài)HomR（A′，f）： HomR（A′，A）→HomR（A′，M）是滿同態(tài)， 則稱同態(tài)f： A→

M是M的A-預(yù)覆蓋. 如果對任意自同態(tài)g： A→A， 使得fg=f是自同構(gòu)， 則稱M的A-預(yù)覆蓋f： A→M是A-覆蓋. 如果

任意模都有一個A-預(yù)覆蓋（覆蓋）， 則稱模類A是預(yù)覆蓋類（覆蓋類）. 對偶地， 可定義M的A-預(yù)包絡(luò)（包絡(luò)）和A-預(yù)包絡(luò)類（包絡(luò)類）.

定義1［1］ 設(shè)X是左R-模類， Y是右R-模類. 如果（X，Y）滿足下列條件：

1） X∈X當(dāng)且僅當(dāng)X+∈Y;

2） Y關(guān)于直和項(xiàng)和有限直和封閉.則稱（X，Y）是模范疇中的對偶對.

如果正則模RR∈X， 且X關(guān)于直和和擴(kuò)張封閉， 則稱對偶對（X，Y）是完全的［2］.

引理1［1］ 設(shè)（X，Y）是對偶對， 則下列結(jié)論成立：

1） X關(guān)于純子模、 純商模和純擴(kuò)張封閉;

2） 若（X，Y）是完全的， 則（X，X⊥）是一個完全余撓對.

將R-模的復(fù)形

…δ2C1δ1C0δ0C-1δ-1…

記為（C，δ）， 簡記為C. Ker（δn）稱為復(fù)形C的第n個循環(huán)， 記作Zn（C）. Im（δn+1）稱為復(fù)形C的第n個邊緣， 記作Bn（C）. 將Hn（C）=Zn（

C）/Bn（C）記為復(fù)形C的第n個同調(diào)模. Z（C），B（C），H（C）分別表示C的循環(huán)、 邊緣、 同調(diào)復(fù)形. 如果n∈瘙綄， Hn（C）=0， 則稱復(fù)形C是正合的.

C（R-Mod）為左R-模的復(fù)形構(gòu)成的范疇. 對任意的復(fù)形X∈C（R-Mod）， X的

n次平移記為ΣnX， 其中（ΣnX）k=Xk-n且δΣnXk=（-1）nδXk-n， 并將Σ1X簡記為ΣX.

本文用右上標(biāo)和右下標(biāo)區(qū)分復(fù)形和模. 例如， 若{Ci}i∈I是一簇復(fù)形， 則Ci表示為

Ci∶=…δ2Ci1δ1Ci0δ0Ci-1δ-1….

給定一個左R-模M， 用記號表示復(fù)形

…→0→MidM→0→…，

其中M位于第0和-1的位置; 用記號M表示復(fù)形

…→0→M→0→0→…，

其中M位于第0的位置， 其他位置均為0.

設(shè)C和D是R-模的復(fù)形. 用HomR（C，D）表示Abel群的復(fù)形， 其中第n層的Abel群為

HomR（C，D）n=∏t∈瘙綄HomR（Ct，Dn+t），

且對f∈HomR（C，D）n，

（dn（f））t=dDt+nft-（-1）nft-1dCt，

其中ft： Ct→Dn+t. 用Hom（C，D）表示從C到D態(tài)射的Abel群， Exti中i≥0表示由Hom的右導(dǎo)出函子得到的群.

設(shè)X，Y是復(fù)形. 令Hom（X，Y）=Z（Hom（X，Y））， 則Hom（X，Y）構(gòu)成復(fù)形， 其中Hom（X，Y）m=Zm（Hom（X，Y））， 且邊緣算子定義為

δm（f）： X→Y［m+1］， δm（f）n=（-1）mδYfn， n∈瘙綄， f∈Hom（X，Y）m.

復(fù)形X的示性為X+=Hom（X，Q/Z）=Z（HomR（X，Q/Z））.

設(shè)X是左R-模復(fù)形構(gòu)成的類， Y是右R-模復(fù)形構(gòu)成的類， X，Y關(guān)于同構(gòu)是封閉的.

定義2［7］ 如果（X，Y）滿足下列條件：

1） 復(fù)形X∈X當(dāng)且僅當(dāng)X+∈Y;

2） 復(fù)形Y關(guān)于直和項(xiàng)和有限直和封閉.

則稱（X，Y）是復(fù)形范疇上的對偶對.

如果X在所有復(fù)形范疇中關(guān)于直積（余積）封閉， 則稱（X，Y）關(guān)于直積（余積）封閉. 如果X關(guān)于擴(kuò)張封閉， 復(fù)形屬于X， 則稱（X，Y）是完全的.

定義3［5］ 如果復(fù)形的序列

…→C-1→C0→C1→…

滿足下列條件：

1） …→C-1→C0→C1→…;

2） …→Z（C-1）→Z（C0）→Z（C1）→…;

3） …→B（C-1）→B（C-1）→ B（C1）→…;

4） …→C-1/Z（C-1）→C0/Z（C0）→C1/Z（C1）→…;

5） …→C-1/B（C-1）→ C0/B（C-1）→ C1/B（C1）→…;

6） …→H（C-1）→H（C0）→H（C1）→….

其中1）～6）都是正合的， 則稱該復(fù)形序列是C-E正合的.

2 主要結(jié)果

對于環(huán)R， 本文用R-Proj表示投射左R-模的范疇， 類似地， R-Inj和R＼|Flat分別表示內(nèi)射左R-模的范疇和平坦左R-模的范疇. 用C

（R-Inj）表示每個層次都是內(nèi)射模的復(fù)形范疇.

定義4［5］ 如果I，Z（I），B（I），H（I）∈C（R-Inj）， 則稱復(fù)形I

是C-E-內(nèi)射復(fù)形. 如果F，Z（F），B（F），H（F）∈C（R-Flat）， 則稱復(fù)數(shù)F是C-E-平坦復(fù)形.

定義5［8］ 設(shè)R是左強(qiáng)X-凝聚環(huán)， 對任意的正合序列0→K→P→

X→0， 如果X∈X， X是有限表示左R-模類， P是有限生成投射的， 則稱K是X-投射的.

下面用R-Gorflat表示Gorenstein平坦左R-模類.

引理2［9］ 設(shè)R是右凝聚環(huán)， G是C（R-Mod）中的復(fù)形， 則下列敘述等價：

1） G，G/B（G）∈C（R-GorFlat）；

2） G是C-E-Gorenstein平坦復(fù)形.

引理3［5］ 設(shè)復(fù)形G∈C（R-Mod）， 則下列敘述等價：

1） G使得B（G），H（G）∈C（R-GorInj）;

2） G是C-E-Gorenstein內(nèi)射復(fù)形.

引理4［10］ 設(shè)R是強(qiáng)X-凝聚環(huán)， 則對任意的C∈C（Rop-Mod）， 下列敘述等價：

1） C是C-E-X-平坦復(fù)形;

2） 對任意的i∈瘙綄， Ci，Ci/Bi（C）是X-平坦模.

引理5［10］ 若R是強(qiáng)X-凝聚環(huán)， 則下列敘述等價：

1） C是C-E-X-內(nèi)射復(fù)形;

2） 對任意的i∈瘙綄， Ci，Zi（C）是X-內(nèi)射模.

定義6 設(shè)（A，B）是模范疇上的對偶對， X是復(fù)形， n∈瘙綄.

1） 如果Xn和Xn/Bn（X）屬于A， 則X稱為Carten-Eilenberg-A復(fù)形， 簡稱為C-E-A復(fù)形;

2） 如果Xn和Zn（X）屬于B， 則X稱為Carten-Eilenberg-B復(fù)形， 簡稱為C-E-B復(fù)形.

本文用C-E（A）表示C-E-A復(fù)形所構(gòu)成的類， 用C-E（B）表示C-E-B復(fù)形所構(gòu)成的類.

注1 當(dāng)A是平坦左R-模類時， C-E-A

復(fù)形是C-E-平坦復(fù)形. 當(dāng)B是內(nèi)射右R-模類時， C-E-B復(fù)形是C-E-內(nèi)射復(fù)形. 用C-E（Flat）和C-E（Inj）分別表示C-E-平坦復(fù)形和C-

E-內(nèi)射復(fù)形構(gòu)成的類， 這里C-E-平坦（內(nèi)射）復(fù)形與定義4中的C-E-平坦（內(nèi)射）復(fù)形一致.

注2 當(dāng)A是Gorenstein平坦左R-模類時， C-E-A復(fù)形是C-E-Gorenstein平坦復(fù)形. 當(dāng)B是Gore

nstein內(nèi)射右R-模類時， C-E-B復(fù)形是C-E-Gorenstein內(nèi)射復(fù)形.

用C-E（GorFlat）和C-E（GorInj）分別表示C-E-Gorenstein平坦復(fù)形和C-E-Gorenstein內(nèi)射復(fù)形構(gòu)成的類，

這里C-E-Gorenstein平坦（內(nèi)射）復(fù)形與引理2和引理3的C-E-Gorenstein平坦（內(nèi)射）復(fù)形一致.

注3 當(dāng)A是X-平坦左R-模類時， C-E-A復(fù)形是C-E-X-平坦復(fù)形. 當(dāng)B是X-內(nèi)射右R-模類時， C-E-B復(fù)形是C-E-X-內(nèi)射

復(fù)形. 用C-E（XFlat）和C-E（XInj）分別表示C-E-X-平坦復(fù)形和C-E-X-內(nèi)射復(fù)形構(gòu)成的類，

這里C-E-X-平坦（內(nèi)射）復(fù)形與引理4和引理5中定義的C-E-X-平坦（內(nèi)射）復(fù)形一致.

定理1 若（A，B）是模范疇中的對偶對， 則（C-E（A），C-E（B））是復(fù)形范疇中的對偶對.

證明： 設(shè)X是復(fù)形， 由文獻(xiàn)［11］中命題4.4.10可知， 復(fù)形X的示性可表示為

X+∶=…→Hom瘙綄（X-n-1，瘙綅/瘙綄）dX+-nHom瘙綄（X-n，瘙綅/瘙綄）dX+-n+1Hom

瘙綄（X-n+1，瘙綅/瘙綄）→…，

其邊緣算子的公式為dX+n=（-1）n-1Hom瘙綄（dX-n，瘙綅/瘙綄）.

若X是C-E（A）復(fù)形， 則由定義知Xn和Xn/Bn（X）屬于A. 又因?yàn)椋ˋ，B）是模范

疇中的對偶對， 所以（Xn）+和（Xn/Bn（X））+屬于B. 由于（X+）-n=（Xn）+， 因此（X+）n∈B.

根據(jù)文獻(xiàn)［9］中引理2.2可知

（Xn/Bn（X））+=Hom瘙綄（Xn/Bn（X），瘙綅/瘙綄）Z-n（X+），

因此Zn（X+）∈B.

當(dāng)X+是C-E（B）復(fù)形時， 由定義知（X+）n和Zn（X+）屬于B. 由于（X+）n=（X-n）+，

因此（X-n）+∈B， 由模范疇中對偶對的定義可知Xn∈A. 根據(jù)文獻(xiàn)［9］中引理2.2可知，

Zn（X+）Hom瘙綄（X-n/B-n（X），瘙綅/瘙綄）=（X-n/B-n（X））+.

又因?yàn)椋╔-n/B-n（X））+∈B， 所以Xn/Bn（X）∈A.

設(shè)A，B，C是復(fù)形， 且AB=C. 設(shè)C∈C-E（B）， 則

Cn=AnBn∈B，" Zn（C）=Zn（AB）=Zn（A）Zn（B）∈B.

因?yàn)锽關(guān)于直和項(xiàng)封閉， 所以An，Bn∈B

， Zn（A），Zn（B）∈B. 綜上可知A，B∈C-E（B）， C-E（B）關(guān)于直和項(xiàng)封閉.

設(shè){Ai}i∈I是一簇C-E（B）復(fù)形， 其中I=1，2，…，n， 記A=A1A2…An. 則有A1n，A2n，…，Ann∈B， Zn（A1），

Zn（A2），Zn（An）∈B. 因?yàn)锽關(guān)于有限直和封閉， 所以

An=A1nA2n…Ann∈B，Zn（A）=Zn

（A1A2…An）=Zn（A1）Zn（A2）…Zn（An）∈B.

綜上可知A∈C-E（B）， C-E（B）關(guān)于有限直和封閉. 證畢.

由定理1可知， 當(dāng)（A，B）取特殊模類時有如下推論.

推論1 1） （C-E（Flat），C-E（Inj））是復(fù)形范疇中的對偶對；

2） 在Gorensrein環(huán)上， （C-E（GorFlat），C-E（GorInj））是復(fù)形范疇中的對偶對;

3） 在強(qiáng)X-凝聚環(huán)上， （C-E（XFlat），C-E（XInj））是復(fù)形范疇中的對偶對.

命題1 設(shè)（A，B）是復(fù)形范疇上的對偶對， 則A關(guān)于純子復(fù)形、 純商復(fù)形、 純擴(kuò)張封閉. 此外， 下列結(jié)論成立：

1） 若（A，B）關(guān)于直積封閉， 則A是預(yù)包絡(luò)類；

2） 若（A，B）關(guān)于直和封閉， 則A是覆蓋類；

3） 若（A，B）是完全的對偶對， 則（A，B⊥）是完全的余撓對.

證明： 利用定理1， 類似文獻(xiàn)［7］中定理3.2的證明可得結(jié)論.

由命題1可得下列推論.

推論2 C-E（Flat）關(guān)于純子復(fù)形、 純商復(fù)形、 純擴(kuò)張封閉， 則下列結(jié)論成立：

1） 若（C-E（Flat），C-E（Inj））關(guān)于直積封閉， 則C-E（Flat）是預(yù)包絡(luò)類；

2） 若（C-E（Flat），C-E（Inj））關(guān)于直和封閉， 則C-E（Flat）是覆蓋類；

3） 若（C-E（Flat），C-E（Inj））是完全的對偶對， 則（C-E（Flat），C-E（Inj）⊥）是完全的余撓對.

推論3 在Gorenstein環(huán)上， C-E（GorFlat）關(guān)于純子復(fù)形、 純商復(fù)形、 純擴(kuò)張封閉， 則下列結(jié)論成立：

1） 若（C-E（GorFlat），C-E（GorInj））關(guān)于直積封閉， 則（C-E（GorFlat）是預(yù)包絡(luò)類；

2） 若（C-E（GorFlat），C-E（GorInj））關(guān)于直和封閉， 則（C-E（GorFlat）是覆蓋類；

3） 若（C-E（GorFlat），C-E（GorInj））是完全的對偶對， 則（C-E（GorFlat），C-E（GorInj）⊥）是完全的余撓對.

推論4 在強(qiáng)X-凝聚環(huán)上， C-E（XFlat）關(guān)于純子復(fù)形、 純商復(fù)形、 純擴(kuò)張封閉， 則下列結(jié)論成立：

1） 若（C-E（XFlat），C-E（XInj））關(guān)于直積封閉， 則C-E（XFlat）是預(yù)包絡(luò)類；

2） 若（C-E（XFlat），C-E（XInj））關(guān)于直和封閉， 則C-E（XFlat）是覆蓋類；

3） 若（C-E（XFlat），C-E（XInj））是完全的對偶對， 則（C-E（XFlat），C-E（XInj）⊥）是完全的余撓對.

定理2 設(shè)X是C（R-Mod）中的一個復(fù)形.

1） 如果f： H→X是X的一個C-E-Gorenstein內(nèi)射預(yù)覆蓋， 則對任意的n∈瘙綄， fn： Hn→Xn是Xn的一個Gorenstein內(nèi)射預(yù)覆蓋;

2） 如果g： X→U是X的一個C-E-Gorenstein內(nèi)射預(yù)包絡(luò)， 則對任意的n∈瘙綄， gn： Xn→Un是Xn的一個Gorenstein內(nèi)射預(yù)包絡(luò).

證明： 1） 設(shè)E是Gorenstein內(nèi)射模， h： E→Xn是模同態(tài)， 則有復(fù)形范疇中的態(tài)射h： Σn→X：

因?yàn)棣瞡是C-E-Gorenstein內(nèi)射復(fù)形， 所以存在態(tài)射α： Σn→H， 使得fα=h. 故有如下交換圖：

因此fn： Hn→Xn是Xn的一個Gorenstein內(nèi)射預(yù)覆蓋.

2） 設(shè)E是Gorenstein內(nèi)射模， φ： Xn→E是模同態(tài)， 則有復(fù)形范疇中的態(tài)射φ： X→Σn+1：

因?yàn)棣瞡+1是C-E-Gorenstein內(nèi)射復(fù)形， 所以存在態(tài)射β： U→Σn+1， 使得βg=φ. 故有如下交換圖：

因此gn： Xn→Un是Xn的一個Gorenstein內(nèi)射預(yù)包絡(luò).

定理3 設(shè)X是C（Rop-Mod）中的一個復(fù)形.

1） 如果f： H→X是X的一個C-E-Gorenstein平坦預(yù)覆蓋， 則對任意的n∈瘙綄， fn： Hn→Xn是Xn的一個Gorenstein平坦預(yù)覆蓋;

2） 如果g： X→U是X的一個C-E-Gorenstein平坦預(yù)包絡(luò)， 則對任意的n∈瘙綄， gn： Xn→Un是Xn的一個Gorenstein平坦預(yù)包絡(luò).

證明類似定理2， 故略.

參考文獻(xiàn)

［1］ HOLM H， JRGENSEN P. Cotorsion Pairs Induced by Duality Pairs ［J］. Journal of Commutative Algebra， 2009， 1（4）： 621-633.

［2］ GILLESPIE J. Duality Pairs and Stable Module Categories ［J］. Journal of Pure and Applied Algebra， 2019， 223（8）： 3425-3435.

［3］ CARTAN H， EILENBERG S. Homological Agebra ［M］. Princeton， NJ： Princeton University Press， 1956： 362-365.

［4］ VERDIER J L. Des Catégories Dérivées Des Catégories Abéliennes ［J］. Astérisque， 1996， 239： 227-229.

［5］ ENOCHS E E. Cartan-Eilenberg Complexes and Resolutions ［J］. Journal of Algebra， 2011， 342： 16-39.

［6］ ENOCHS E E. Injective and Flat Covers， Envelopes and Resolvents ［J］. Israel Journal of Mathematics， 1981， 39（3）： 189-209.

［7］ YANG X Y. Cotorsion Pairs of Complexes ［C］//Proceedings of the International Conference on Algebra 2010.

Hackensack， NJ： World Scientific Publishing Company， 2012： 697-703.

［8］ ZHU Z M. Strongly C-Coherent Rings ［J］. Mathematical Reports， 2017， 19（4）： 367-380.

［9］ YANG G， LIANG L. Cartan-Eilenberg Gorenstein Flat Complexes ［J］. Mathematica Scandinavica， 2014， 114（1）： 5-25.

［10］ 王亞麗. Cartan-Eilenberg X-內(nèi)射和X-平坦復(fù)形 ［J］. 理論數(shù)學(xué)， 2022， 12（3）： 354-367. （

WANG Y L. Cartan-Eilenberg X-Injective and X-Flat Complexes ［J］. Pure Mathematics， 2022， 12（3）： 354-367.）

［11］ BULLONES M A P. Introduction to Abelian Model Struc

tures and Gorenstein Homological Dimensions ［M］. Boca Raton： CRC Press， 2016： 77-91.

（責(zé)任編輯： 李 琦）