一類高階分數階非線性微分方程組多點邊值問題正解的存在性

收稿日期：2024-02-26

基金項目：甘肅開放大學重點科研項目（2022-ZD-01）

作者簡介：何希萍（1970-），女，甘肅民勤人，教授，碩士，研究方向為常微分方程.E-mail：694857980@qq.com.

文章編號：2095-6991（2024）04-0001-06

摘要：運用不動點指數理論，討論了一類高階分數階非線性微分方程組多點邊值問題，研究了該問題正解的存在性、多重性以及不存在準則，給出了保證正解存在的一些極限型條件，條件適用于更一般的非線性項.

關鍵詞：分數階微分方程組；多點邊值問題；正解；存在性；錐；不動點指數

中圖分類號：O175.7""" 文獻標志碼：A

Existence of Positive Solutions to Multi-point Boundary Value Problemfor Nonlinear High-order Fractional Differential Equations

HE Xi-ping

（Teaching Department， Gansu Open University， Lanzhou 730030， China）

Abstract：A multi-point boundary value problem of nonlinear high-order fractional differential equations is studied， applying fixed-point index theory， the existence， multiplicity and non-existence criteria of positive solutions to this problem are studied， and some limit type conditions guaranteeing the existence of positive solutions are given， which can be applied to more general nonlinearities.

Key words：fractional differential equation; multi-point boundary value problem; positive solution; existence; cone; fixed point index

0"" 引言

分數階微分方程是經典整數階微分方程的推廣，在應用數學的一個新分支中發揮了非常重要的作用，成為研究復雜機器、物理過程、流體動力學、金融和其他應用領域的數學建模的重要工具.近年來，分數階微分方程的理論及其應用的研究受到許多學者的關注，分數階微分方程出現在許多工程和科學研究中，作為物理、化學、空氣動力學、復雜介質的電動力學、聚合物流變學等領域的系統和過程的數學建模.分數階微分方程也是描述各種材料和過程的遺傳特性的一個很好的工具.因此，分數階微分方程的理論及其應用引起許多學者的極大研究興趣［1-14］.Mujeeb ur Rehman等在文獻［1］中運用Schauder不動點定理和Banach壓縮映像原理研究了一類分數階微分方程的非線性多點邊值問題解的存在唯一性；HENDERSON J等［2］基于Guo-Krasnosell’s skii不動點定理研究了分數階方程組的正解的存在性.

盡管人們對邊值問題的研究已經取得了一系列成果，但對分數階微分方程組多點邊值問題正解的多重性的研究文獻中還很少見到.本文研究如下α階Riemann-Liouville型分數階非線性微分方程組m點邊值問題

Dα0+ui（t）=

μwi（t）fi（u1（t），…，un（t）），t∈（0，1），

ui（0）=ui′（0）=…=ui（n－1）（0）=0，

ui′（1）=∑m－2j=1ajui′（ξj），i=1，…，n（1）

解的存在性，這里n≥2，nlt;α≤n+1，μgt;0，ajgt;0，j=1，2，…，m－2，0lt;ξ1lt;ξ2lt;…lt;ξm－2lt;1，

且M=1－∑m－2j=1ajξα－2j≠0，fi：［0，

）n→［0，

）連續，wi：（0，1）→［0，

）連續且在［ξ1，1］上不恒為零，Dα0+表示α階Riemann-Liouville分數階導數.借助于不動點指數理論，研究了該問題正解的存在性、多重性以及不存在準則，給出了保證正解存在的一些極限型條件，條件適用于更一般的非線性項，所得結果推廣了文獻［10］中問題（1.1），（1.2）單個正解的存在性結果，所用的方法也與以往不同.

1" 預備知識

定義1［9］" 假設β∈R+，函數u：（0，

）→R的β階Riemann-Liouville積分和β階Riemann-Liouville導數分別定義為

Iβ0+u（t）=1Γ（β）∫t0（t－s）β－1u（s）ds，

Dβ0+u（t）=dndtnIn－β0+u（t），

其中tgt;0，Γ（β）=∫

0e－ttβ－1dt，n是大于等于β的最小整數.

引理1［10］" 給定函數y∈C（0，1），則邊值問題

Dα0+u（t）+y（t）=0，t∈（0，1），

u（0）=u′（0）=…=u（n－1）（0）=0，

u′（1）=∑m－2j=1aju′（ξj）

有唯一解u（t）=∫10G（t，s）y（s）ds，其中

G（t，s）=G1（t，s）+tα－2g（s），（2）

G1（t，s）=

1Γ（α）tα－1（1－s）α－2－（t－s）α－1，

0≤s≤t≤1;

tα－1（1－s）α－2，0≤t≤s≤1，

g（s）=1MΓ（α）∑m－2j=1aj

［ξα－1j（1－s）α－2－（ξj－s）α－2χ［0，ξj］（s）］，

且存在常數0lt;λlt;1，使得

mint∈［ξj，1］G（t，s）≥

λk（s）≥λG（t，s）≥0，t，s∈［0，1］，（3）

其中，k（s）=（α－1）s（1－s）α－2Γ（α）+g（s）.

對問題（1）提出以下假設：

（H1）fi∈C（［0，

）n，［0，

））；

（H2）wi在［0，1］上非負連續，且在［ξ1，1］不恒等于零.

為敘述方便，給出以下記號［13］：

fi0=lim‖u‖→0+fi（u）‖u‖，

fi

=lim‖u‖→

fi（u）‖u‖，

u∈Rn+，i=1，…，n，

并定義：

iτ=0，1，2，" 若f0≠τ且f

≠τ;若f0=τ且f

≠τ

或f0≠τ且f

=τ;若f0=τ且f

=τ，

其中τ=0或

，且f0=∑ni=1f0i，f

=∑ni=1f

i，根據iτ的不同取值，對于適當的λgt;0，討論邊值問題（1）正解的存在性、多重性以及不存在準則.

為了方便，對正數r，記Pr={u∈P：‖u‖lt;r}，Pr={u∈P：‖u‖=r}.

本文的主要工具是下面的不動點指數理論.

引理2［15］" 設P是Banach空間E上的錐，對于rgt;0，令Pr={u∈P：‖u‖lt;r}，假定A：Pr→P全連續，且對任意的x∈Pr={u∈P：‖u‖=r}，有Ax≠x.

（1）如果對于任意的x∈Pr，有‖Ax‖≥‖x‖，則不動點指數i（A，Pr，P）=0.

（2）如果對于任意的x∈Pr，有‖Ax‖≤‖x‖，則不動點指數i（A，Pr，P）=1.

2" 主要結果

為了證明方便，引入下列常數

C=min1≤t≤nλ2∫1ξ1k（s）wi（s）ds，（4）

C∧=∑ni=1∫10k（s）wi（s）ds.（5）

對rgt;0，記

m∧（r）=min1≤i≤nminfi（u）：u∈Rn+，λr≤‖u‖≤r，（6）

M∧（r）=max1≤i≤nmaxfi（u）：u∈Rn+，‖u‖≤r.（7）

考慮Banach空間B={u=（u1，u2，…，un）|ui∈C（0，1），i=1，…，n}，其中范數

‖u‖=∑ni=1ui0，ui0=supt∈［0，1］ui（t），1≤i≤n，定義B上的錐P為

P=u∈B|ui（t）≥0，t∈［0，1］，

mint∈［ξ1，1］∑ni=1ui（t）≥λ‖u‖，1≤i≤n.

定義算子Aμ：P→B為Aiμu（t）=（A1μu（t），A2μu（t），…，Anμu（t）），其中

Aiμu（t）=μ∫10G（t，s）wi（s）fi（u（s））ds，

t∈［0，1］，1≤i≤n.（8）

顯然，算子Aμ的不動點是邊值問題（1）的解，由（3）和假設（H1）（H2）可知，Aμ：P→P.

事實上，若u∈P，由（3），（H1），（H2）知Aiμu（t）gt;0，i=1，…，n.繼而由（4）知

mint∈［ξ1，1］Aiμu（t）=

μmint∈［ξ1，1］∫10G（t，s）wi（s）fi（u（s））ds≥

μ∫10mint∈［ξ1，1］G（t，s）wi（s）fi（u（s））ds≥

μ∫10λk（s）wi（s）fi（u（s））ds≥

μλsupt∈［0，1］∫10G（t，s）wi（s）fi（u（s））ds=

λAiμu（t）0，

則mint∈［ξ1，1］∑ni=1Aiμu（t）≥λ‖Aμu‖，這表明Aμu∈P，繼而可證明Aμ：P→P全連續.

對i=1，…，n，定義函數f∧i：R+→R+為f∧i（x）=max{fi（u）：u∈Rn+，‖u‖≤x}.

引理3" 設u=（u1，…，un）∈P，ηgt;0，若存在f的分量fi0滿足fi0（u（t））≥η∑ni=1ui（t），t∈［ξ1，1］，則‖Aμu‖≥μCη‖u‖.

證明" 對t∈［ξ1，1］，由式（8），（3）和（4）知

Ai0μu（t）≥

μ∫1ξ1Gi0（t，s）wi0（s）fi0（u（s））ds≥

μλ∫1ξ1k（s）wi0（s）fi0（u（s））ds≥

μηλ∫1ξ1k（s）wi0（s）∑ni=1ui（s）ds=

μηλ2‖u‖∫1ξ1k（s）wi0（s）ds≥μηC‖u‖，

因此，‖Aμu‖=∑ni=1Aiμu0≥μηC‖u‖，證畢.

引理4" 如果存在εgt;0和rgt;0，使得f∧i（r）≤εr，i=1，…，n，則‖Aμu‖≤μεC∧‖u‖，u∈Pr.

證明" 由Aμ的定義和（3）知，對u∈Pr，有

‖Aμu‖=

μ∑ni=1supt∈［0，1］∫10G（t，s）wi（s）fi（u（s））ds≤

μ∑ni=1∫10supt∈［0，1］G（t，s）wi（s）fi（u（s））ds≤

μ∑ni=1f∧i（r）∫10k（s）wi（s）ds≤

μεr∑ni=1∫10k（s）wi（s）ds=μεC∧‖u‖.

證畢.

引理5" 設rgt;0，若u∈Pr，則‖Aμu‖≥μCm∧（r）/λ.

證明" 由（6）知，對u∈Pr，有fi（u（t））≥m∧（r），t∈［ξ1，1］，i=1，…，n，從而

‖Aμu‖=

μ∑ni=1supt∈［0，1］∫10G（t，s）wi（s）fi（u（s））ds≥

μ∑ni=1supt∈［ξ1，1］∫1ξ1G（t，s）wi（s）fi（u（s））ds≥

μm∧（r）λ∑ni=1supt∈［ξ1，1］∫1ξ1k（s）wi（s）ds≥

μCm∧（r）/λ.

證畢.

引理6" 設rgt;0，若u∈Pr，則‖Aμu‖≤μM∧（r）C∧.

證明" 對u∈Pr，由M∧（r）的定義有fi（u（t））≤M∧（r），t∈［0，1］，i=1，…，n，從而

‖Aμu‖=

μ∑ni=1supt∈［0，1］∫10G（t，s）wi（s）fi（u（s））ds≤

μ∑ni=1∫10supt∈［ξ1，1］G（t，s）wi（s）fi（u（s））ds≤

μM∧（r）∑ni=1∫10k（s）wi（s）ds=μM∧（r）C∧.

證畢.

定理1" 若i0=1或2，則對任意的μ∈（λ/（Cm∧（1）），+

），邊值問題（1）存在i0個正解.

證明" 若i0=1或2，對任意的μgt;λ/（Cm∧（1）），取r1=1，由引理5可得

‖Aμu‖gt;‖u‖，u∈Pr1.

若i0=1，則f0=0或f

=0.若f0=0，則有fi0=0，i=1，…，n.由此可選取r2∈（0，r1）使得

f∧i（r2）≤εr2，i=1，…，n，

其中，正數ε滿足μεC∧lt;1.由引理4可知

‖Aμu‖≤μεC∧‖u‖lt;‖u‖，u∈Pr2.

由引理2可得

i（Aμ，Pr2，P）=1，i（Aμ，Pr1，P）=0.

根據不動點指數的可加性得

i（Aμ，Pr1＼Pr2，P）=－1.

從而對任意的μgt;λ/（Cm∧（1）），Aμ在Pr1＼Pr2中有一個不動點u，該不動點u即為邊值問題（1）的正解.

若f

=0，則fi

=0和f∧i

=0，i=1，…，n，則存在r3gt;2r2，使得

f∧i（r3）≤εr3，i=1，…，n，

這里，ε仍滿足μεC∧lt;1.由引理4可得‖Aμu‖≤μεC∧‖u‖lt;‖u‖，u∈Pr3.同樣，由引理2知i（Aμ，Pr1，P）=0，i（Aμ，Pr3，P）=1，則i（Aμ，Pr3＼Pr1，P）=1.因此對任意的μgt;λ/Cm∧（1），Au在Pr1＼Pr2與Pr3＼Pr1中分別存在一個不動點u和u*，且滿足

r2lt;‖u‖lt;r1lt;‖u*‖lt;r3.

因此，不動點u和u*即為邊值問題（1）的兩個正解，證畢.

定理2" 若i

=1或2，則對任意的μ∈（0，（M∧（1）C∧）－1），邊值問題（1）存在i

個正解.

證明" 假定i

=1或2，且0lt;μlt;（M∧（1）C∧）－1，取r1=1，由引理6可知

‖Aμu‖lt;μM∧（1）C∧lt;‖u‖，u∈Pr1，

即‖Aμu‖lt;‖u‖，u∈Pr1.

若i

=1，則f0=

或f

=

.如果f0=

，則存在f的分量fi滿足fi0=

.因此，存在正數r2lt;r1，使得

fi（u）≥η‖u‖，u∈Rn+，‖u‖≤r2，

這里ηgt;0，滿足μηC∧gt;1.則對u∈Pr2，有

fi（u（t））≥η∑ni=1ui（t），t∈［0，1］.

由引理3可知

‖Aμu‖≥μCη‖u‖gt;‖u‖，u∈Pr2.

由引理2得i（Aμ，Pr2，P）=0，i（Aμ，Pr1，P）=1，則i（Aμ，Pr1＼Pr2，P）=－1.因此對任意的μ∈（0，（M∧（1）C∧）－1），Aμ在Pr1＼Pr2中有一個不動點u，該不動點u即為邊值問題（1）的正解.

若f

=

，存在f的分量fi滿足fi

=

，從而存在正數r，對u∈Rn+且‖u‖≥r有

fi（u）≥η‖u‖，

這里正數η足夠大，滿足μCηgt;1.

令r3=max1≤i≤12r1，r/λ.若u∈Pr3，則

mint∈［ξ1，1］∑ni=1ui（t）≥λ‖u‖=λr3≥r，

從而fi（u（t））≥η∑ni=1ui（t），t∈［0，1］.由引理3可知

‖Aμu‖≥μCη‖u‖gt;‖u‖，u∈Pr3.

由引理2知i（Aμ，Pr1，P）=1，i（Aμ，Pr3，P）=0，則i（Aμ，Pr3＼Pr1，P）=－1.因此，對任意的0lt;μlt;（M∧（1）C∧）－1，Aμ在Pr3＼Pr1中存在一個不動點u，該不動點u即為邊值問題（1）的正解.

若i

=2，則f0=f

=

.由上述證明易知Aμ分別在Pr1＼Pr2與Pr3＼Pr1中有不動點u和u*，且滿足

r2lt;‖u*‖lt;r1lt;‖u‖lt;r3.

因此，對任意的0lt;μlt;（M∧（1）C∧）－1，式（1）在Pr1＼Pr2與Pr3＼Pr1中分別有一個正解.證畢.

定理3" 若i0=0或i

=0，則分別對充分大或充分小的μgt;0，邊值問題（1）沒有正解.

證明" 若i0=0，則f0gt;0且f

gt;0，從而存在f的兩個分量fi和fj使得fi0gt;0和fj0gt;0，故存在正數η1，η2，r1lt;r2，使得

fi（u）≥η1‖u‖，u∈Rn+，‖u‖≤r1，

fj（u）≥η2‖u‖，u∈Rn+，‖u‖≤r2.

設η3=minη1，η2，minfj（u）‖u‖：u∈Rn+，λr1≤‖u‖≤r2gt;0，則

fi（u）≥η3‖u‖，u∈Rn+，‖u‖≤r1，（9）

fi（u）≥η3‖u‖，u∈Rn+，‖u‖≥λr1.（10）

假設v=（v1，…，vn）是邊值問題（1）的正解，將證明它與μgt;（Cη3）－1矛盾.

事實上，若‖v‖≤r1，則由（9）知

fi（v（t））≥η3‖v‖，t∈［0，1］.

另一方面，若‖v‖gt;r1，則

mint∈［ξ1，1］∑ni=1vi（t）≥λ‖v‖≥λr1，

結合（10）得

fj（v（t））≥η3‖v‖，t∈［ξ1，1］.

由于Aμv（t）=v（t），t∈［0，1］，從而對μgt;（Cη3）－1，‖v‖=‖Aμv‖≥μCη3‖v‖gt;‖v‖，矛盾.

若i

=0，則f0lt;

和f

lt;

，從而fi0lt;

和fi

lt;

，i=1，…，n，則存在正數εi1，εi2，ri1lt;ri2，使得

fi（u）≤εi1‖u‖，u∈Rn+，‖u‖≤ri1，

fi（u）≤εi2‖u‖，u∈Rn+，‖u‖≥ri2.

設正數εi=minεi1，εi2，minfj（u）‖u‖：

u∈Rn+，ri1≤‖u‖≤ri2gt;0，ε=max1≤i≤n εi，

因此，有

fi（u）≤ε‖u‖，u∈Rn+，i=1，…，n.

假設v是邊值問題（1）的正解，若0lt;μlt;（εC∧）－1，由于Aμv（t）=v（t），t∈［0，1］，則

‖v‖=‖Aμv‖≤

μ∑ni=1∫10k（s）wi（s）fi（v（s））ds≤

με‖v‖∑ni=1∫10k（s）wi（s）ds≤‖v‖.

矛盾.證畢.

3" 舉例

考慮如下5/2階方程組

D520+u1（t）=μw1（t）f1（u1（t），u2（t）），

D520+u2（t）=

μw2（t）f2（u1（t），u2（t）），t∈（0，1），

ui（0）=ui′（0）=0，

ui′（1）=ui′（14），i=1，2，（11）

其中：f1（u1，u2）=a（u1+u2）p，f2（u1，u2）=b（u1+u2）q，a，b，p，q為正常數，

G1（t，s）=43π

t32（1－s）12－（t－s）32，0≤s≤t≤1；

t32（1－s）12，0≤t≤s≤1，

g（s）=13π（1－s）12－

83π14－s12χ［0，14］（s），

k（s）=2πs（1－s）12+32g（s），

C∧=16π15π，C=23π5πλ2，λ=1019，

M=12，M∧（1）=max{a，b}，

m∧（1）=min{aλp，bλq}.

（1）若p，q∈（0，1），則f01=f02=

，f

1=f

2=0，f0=

，f

=0，從而i0=1，i

=1.由定理2知μ∈0，15π16M∧（1），邊值問題（11）存在一個正解.

（2）若p∈（0，1），q∈（1，+

），則f01=

，f02=0，f

1=0，f

2=

，f

1=f

2=0，從而f0=

，f

=

，i

=2，由定理2對μ∈0，15π16M∧（1），邊值問題（11）有兩個正解.

（3）若p，q∈（1，

），則f01=f02=0f

1=f

2=+

，f0=0，f

=

，i0=1，i

=1，從而分別由定理1知，分別對μ∈3π12m∧（1），+

和μ∈0，15π16M∧（1），邊值問題（11）有一個正解.

4 "結語

文章借助于不動點指數理論，研究了一類α階Riemann-Liouville型分數階非線性微分方程組m點邊值問題正解的存在性、多重性以及不存在準則，證明了若假設（H1）（H2）成立，根據i0和i

的不同取值，對不同范圍內的μ，該類分數階非線性微分方程組多點邊值問題存在一個或兩個正解以及沒有正解.

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［責任編輯：趙慧霞］