帶有投資收益率和雙保費復合Poisson-Geometric風險模型的研究

收稿日期：2024-03-03

基金項目：廣西高校中青年教師科研基礎能力提升項目（2023KY0792）；廣西教育科學“十四五”規劃2023年度專項項目（2023ZJY846）;廣西民族師范學院科研經費資助項目（2022YB019）

作者簡介：覃利華（1987-），女，廣西來賓人，講師，碩士，研究方向為隨機過程在風險理論中的應用.E-mail：631898027@qq.com.

*通信作者：洪小萍（1982-），女，福建南安人，講師，碩士，研究方向為財務管理、金融管理、創新管理等.E-mail：106110923@qq.com.

文章編號：2095-6991（2024）04-0013-07

摘要：研究了保費收入為線性增長和隨機保費的風險模型，且隨機保費的保單數服從復合Poisson過程，理賠次數服從復合 Poisson-Geometric 過程.應用全概率公式和積分變換公式，推導了該模型Gerber-Shiu折現罰金函數滿足的更新方程，并當隨機保費、理賠過程均服從特定指數分布時，得到了該模型破產概率的解析解，最后通過數值模擬對理論進行了分析驗證.

關鍵詞：復合Poisson -Geometric過程；破產概率；更新方程；混合保費

中圖分類號：O211.5""" 文獻標志碼：A

Research on Compound Poisson-Geometric Risk Modelwith Investment Rate of Return and Double Premium

QIN Li-hua1，HUANG Hong-jun3，HONG Xiao-ping3*

（1.School of Mathematics，Physics and Electronic Information Engineering， Guangxi Minzu Normal University， Chongzuo 532200， Guangxi， China；

2.School of Education Science， Guangxi Minzu Normal University， Chongzuo 532200， Guangxi， China；

3.School of Economics and Management， Guangxi Minzu Normal University， Chongzuo 532200， Guangxi， China）

Abstract：The risk model of linear increase and random premium was studied， the numbers of policies with random premium followed the compound Poisson process and the claim numbers followed a compound Poisson-Geometric process. Defective renewal equation of the Gerber-Shiu discounted penalty function was given by the method of total expectation and integral transformation formula. At last， an example was given that the premium amounts and claim amounts follow exponential distribution， and the differential equation for the ruin probability was derived. Finally， numerical simulation was given to verify the theoretical analysis.

Key words：compound Poisson-Geometric process; ruin probability; renewal equation; mixed premium

0" 引言

近些年來，由于現實生活中各種不確定性，具有突發性和高賠付性等事件時有發生，

如新冠疫情的爆發、河南鄭州水災，紐約石油期貨跌入負值等.面臨突如其來的巨災或者特殊風險時，保險公司在短時間內要承擔巨大的理賠額.保險公司為了保證公司的正常運營或者收獲更多盈利，必須要懂得合理管理和度量自身的風險，將剩余的資金投資于金融市場來獲取更大的收益，進而提高賠付能力和增加財富，實現盈利最大化，所以公司在金融交易進行投資也成為破產理論研究的熱點.

在經典風險模型的研究中，假設索賠計數過程是服從均值與方差相等的Poisson分布，但實際上并不成立.現實中保險公司為了減少賠付成本，實行免賠額和無賠款折扣（NCD：No-Claim Discount）相關制度，在合同中規定事故損失金額低于規定某個金額時，保險公司不給予賠付，或者購買保險人因自身原因不報保險，此時風險事件數就大于賠付事件，即索賠次數就不服從Poisson分布.由于Poisson-Geometric過程更加貼合實際情況，文獻［1］提出了索賠次數服從復合Poisson-Geometric過程，描述的就是風險事件數不等于索賠事件數的情況.文獻［2-3］研究了復合Poisson-Geometric分布情況及破產概率的表達式.該模型受到了大量讀者不同程度的關注，逐漸成為風險理論研究的熱點.例如，文獻［4-8］運用全期望和積分變換公式從不同角度研究了該Poisson-Geometric風險模型的Gerber-Shiu函數，得到了該函數滿足的更新方程；文獻［9］用全期望和積分變換公式得到了復合Poisson-Geometric風險模型的生存概率.文獻［10］利用鞅方法和停時技巧，得到了關于破產概率的Lundberger不等式，調節系數方程和破產概率的表達式.文獻［11］利用全期望公式和積分變換的方法研究復合Poisson-Geometric風險模型的期望累積紅利現值函數滿足的積分-微分方程及解析解.文獻［12］研究了一類帶有再保險策略的復合Poisson-Geometric風險模型，得到了盈余過程的性質、調節系數方程、破產概率的上界和精確表達式以及盈余首達給定水平的拉普拉斯變換、期望和方差.

本文是在文獻［5-6］的研究基礎上，結合當前金融保險行業的實際問題，考慮建立保費收取為混合保費且帶有隨機投資干擾的復合Poisson-Geometric風險模型，其中固定保費服從線性增長過程，隨機保費服從復合Poisson過程，索賠計數過程服從復合Poisson-Geometric過程.利用全概率公式與積分變換公式研究該模型的Gerber-Shiu折現罰金函數及破產概率解析解，通過數值模擬分析幾個重要破產量對破產概率的影響.

1" 模型的建立及介紹

定義1［1］" 設λgt;0，0≤ρlt;1，若非負整數值隨機變量ζ的矩母函數為

G（t）=expλ（t－1）1－ρt，

則稱ζ為服從參數λ，ρ的復合Poisson-Geometric分布，記為PG（λ，ρ）.

注1" 在定義1中，當ρ=0時，復合Poisson-Geometric分布就退化為Poisson分布，ρ稱為偏離系數.

定義2［1］" 設λgt;0，0≤ρlt;1，如果隨機過程{N（t），t≥0}滿足

（1）N（0）=0；

（2）{N（t），t≥0}具有獨立平穩增量；

（3）對tgt;0，有N（t）～PG（λt，ρ），且

E［N（t）］=λt1－ρ，

Var［N（t）］=λt（1+ρ）（1－ρ）2；

（4）N（t）的矩母函數為

MN（t）（r）=expλt（er－1）1－ρer，

那么稱{N（t），t≥0}為服從參數λ，ρ的復合Poisson-Geometric過程.

定義3" 在完備概率空間（Ω，F，P）上，定義保險公司盈余過程為

U（t）=（u－F）+（1+tj）F+ct+

∑M（t）k=1Xk－∑N1（t）k=1Yk+aW（t），t≥0，（1）

盈利過程為

S（t）=tjF+ct+∑M（t）k=1Xk－

∑N1（t）k=1Yk+aW（t），t≥0，（2）

其中：u表示初始資本；F表示投資額;j表示投資額帶來的投資收益率；c表示0，" t時間內固定的保費收入；{W（t），t≥0}為干擾項，服從標準布朗運動；a為受到外界隨機干擾的系數；∑M（t）k=1Xk表示保險公司在0，" t時間內收到的隨機總保費額，M（t）表示收到的隨機保單數，服從參數為λ*t的復合Poisson過程；Xk表示第k次收到的隨機保費額；∑N1（t）k=1Yk表示在0，" t時間內發生事故的總索賠額；N1（t）表示發生索賠的總保單數，服從參數為λ1，ρ1（λ1gt;0，0≤ρ1lt;1）復合Poisson-Geometric過程，表示發生索賠的總保單數；Yk表示第k次理賠的理賠額.

隨機保費額Xk的分布函數記為F（x），密度函數記為f（x），存在一階矩E［Yk］=μ；理賠額Yk分布函數記為G（y），密度函數記為g（y），存在一階矩E［Yk］=μ1.

假設{Xk，k≥0}，{Yk，k≥0}，{M（t），t≥0}，{N1（t），t≥0}，{W（t），t≥0}之間是相互獨立的.

為了保證保險公司的正常運行，須保證總收入大于總支出，即

E［S（t）］=EtjF+ct+

∑M（t）k=1Xk－∑N1（t）k=1Yk+σW（t）=

tjF+ct+EM（t）EXk－

EN1（t）EYk=

jF+c+λ*μ－λ1μ11－ρ1tgt;0，

因為tgt;0，所以jF+c+λ*μ－λ1μ11－ρ1gt;0．

定義相對安全負荷系數為

θ=jF+c+λ*μλ1μ11－ρ1－1，

并且θgt;0，當θ≤0時，必然會發生破產．

定義4" 破產時刻為

T=inf{t≥0，U（t）lt;0}.

定義5" Gerber-Shiu折現罰金函數為

ψ（u，w，v）=

E［w（U（T－），U（T））vTI（Tlt;

）U（0）=u］，（3）

其中：w（X，Y）為懲罰函數，Xgt;0，Ygt;0；折現率為v，且0lt;v≤1；I（A）為示性函數；U（T－）為破產時刻前盈余；U（T）為破產赤字.

2" 主要結果的證明

引理1［1］" 假設式（1）的索賠計數{N1（t），t≥0}為服從參數λ，ρ的復合Poisson-Geometric過程，記α1=λ1（1－ρ1）ρ1（若ρ1=0，則α1=λ1）.當t→0時，有

Pr（N1（t）=0）=e－λ1t=1－λ1t+ο（t），

Pr（N1（t）=k）=

α1ρk1t+A1k（t）ο（t），k=1，2，…，

其中：A1k（t）=ρk1+（k－1）［ρ1（1+α1t）］k－2；ο（t）是關于t的高階無窮小；∑

k=0A1k（t）一致收斂.

為了簡便計算，記G*k（y）為G（y）的k重卷積，g*k（y）為g（y）的k重卷積，并記：

Gρ1（y）=∑

k=1（1－ρ1）ρk－11G*k（y），

gρ1（y）=∑

k=1（1－ρ1）ρk－11g*k（y）.

定理1" 假設ψ（u，w，v）關于u可微，則在模型（1）下的破產時刻前盈余與破產時刻赤字的折現罰金函數ψ（u，w，v）滿足的更新方程為

ψ（u，w，v）=λc+Fj∫

uψ（s，w，v）F-（u－s）ds+

λ1c+Fj∫u0ψ（s，w，v）G-ρ1（u－s）ds+

λ1c+Fj∫

u∫

0w（u，s）gρ1（u+s）dsdu.（4）

證明" 當時間dt足夠小時，在時間段（0，dt］內，當總索賠量ygt;u+cdt+Fjdt+aW（dt）時，破產一定會發生.為了證明方便，令

ζ=u+cdt+Fjdt+aW（dt），

因此有

ψ（ζ－y，w，v）=w（ζ，y－ζ）vdt.

由引理1及全概率公式，有下面的式子

ψ（u，w，v）=

［1－（λ+λ1）dt+ο（dt）］ψ（ζ，w，v）+

∑

k=1∫ζ0ψ（ζ－y，w，v）·

［α1ρk1dt+A1k（dt）ο（dt）］dG*k（y）+

∑

k=1∫

ζw（ζ，y－ζ）vdt·

［α1ρk1dt+A1k（dt）ο（dt）］dG*k（y）+

［λdt+ο（dt）］∫

0ψ（ζ+x，w，v）dF（x）+ο（dt）

成立.對此式移項并整理，可得

ψ（u，w，v）－ψ（ζ，w，v）=

－（λ+λ1）dtψ（ζ，w，v）+

∑

k=1∫ζ0ψ（ζ－y，w，v）·

［α1ρk1dt+A1k（dt）ο（dt）］dG*k（y）+

∑

k=1∫

ζw（ζ，y－ζ）vdt·

［α1ρk1dt+A1k（dt）ο（dt）］dG*k（y）+

λdt∫

0ψ（ζ+x，w，v）dF（x）+ο（dt）.

由引理1知∑

k=1ρk1gk（y），∑

k=1A1k（dt）gk（y）

均一致收斂，由此可得

ψ（u，w，v）－ψ（ζ，w，v）=

－（λ+λ1）dtψ（ζ，w，v） +

λ1dt∫ζ0ψ（ζ－y，w，v）gρ1（y）dy+

λ1dt∫

ζw（u+ζ，y－ζ）vdtgρ1（y）dy+

λdt∫

0ψ（ζ+x，w，v）dF（x）+ο（dt）.（5）

方程（5）兩端同時除以cdt+Fjdt+aW（dt），得

ψ（u，w，v）－ψ（ζ，w，v）ζ－u=

－（λ+λ1）dtζ－uψ（ζ，w，v）+

λ1dtζ－u∫ζ0ψ（ζ－y，w，v）gρ1（y）dy+

λ1dtζ－u∫

ζw（ζ，y－ζ）vdtgρ1（y）dy+

λdtζ－u∫

0ψ（ζ+x，w，v）dF（x）+ο（dt）.（6）

在式（6）中，令dt→0，得

ψ′（u，w，v）=λ+λ1c+Fjψ（u，w，v）－

λ1c+Fj∫u0ψ（u－y，w，v）gρ1（y）dy-

λ1c+Fj∫

uw（u，y－u）gρ1（y）dy－

λc+Fj∫

0ψ（u+x，w，v）dF（x）.（7）

對（7）兩端對u從0到η積分得

ψ（η，w，v）－ψ（0，w，v）=

λ+λ1c+Fj∫η0ψ（u，w，v）dη-

λ1c+Fj∫η0∫u0ψ（u－y，w，v）gρ1（y）dydη-

λ1c+Fj∫η0∫

uw（u，y－u）gρ1（y）dydη-

λc+Fj∫η0∫

0ψ（u+x，w，v）dF（x）dη.（8）

對式（8）調換積分順序，且換元并化簡得

ψ（η，w，v）－ψ（0，w，v）=

λc+Fj∫η0ψ（s，w，v）F-（s－η）ds+

λ1c+Fj∫η0ψ（s，w，v）G-ρ1（η－s）ds-

λ1c+Fj∫η0∫

0w（u，s）gρ1（u+s）dsdu.（9）

在式（9）中，令η→

，易知ψ（η，w，v）→0，G-ρ1（η－s）→0，因此，式（9）化簡為

－ψ（0，w，v）=λc+Fj∫

0ψ（s，w，v）F-（s）ds-

λ1c+Fj∫

0∫

0w（u，s）gρ1（u+s）dsdu-

λ2c+Fj∫

0∫

0w（u，s）hρ2（u+s）dsdu.（10）

把式（10）帶入到式（9），并化簡得

ψ（u，w，v）=λc+Fj∫

zψ（s，w，v）F-（η－s）ds+

λ1c+Fj∫η0ψ（s，w，v）G-ρ1（η－s）ds+

λ1c+Fj∫

η∫

0w（u，s）gρ1（u+s）dsdu.（11）

在式（11）中把η換成u，得

ψ（u，w，v）=λc+Fj∫

uψ（s，w，v）F-（u－s）ds+

λ1c+Fj∫u0ψ（s，w，v）G-ρ1（u－s）ds+

λ1c+Fj∫

u∫

0w（u，s）gρ1（u+s）dsdu.

定理1得證.

特別地，當式（3）中的w（U（T－），U（T））=1，v=1時，有ψ（u，w，v）=P［Tlt;

U（0）=u］，稱為破產概率ψ（u）.

推論" 破產概率ψ（u）滿足的更新方程為

ψ（u）=λc+Fj∫

uψ（s）F-（u－s）ds+

λ1c+Fj∫u0ψ（s）G-ρ1（u－s）ds+

λ1c+Fj∫

uG-ρ1（s）ds.（12）

特別的，當u=0時，有

ψ（0）=λc+Fj∫

0ψ（s）F-（－s）ds+

λ1c+Fj∫

0G-ρ1（s）ds.

證明過程跟定理1類似，在此略去.

定理2" 假設保費Xi服從參數為α的指數分布，索賠Yi服從參數為β1的指數分布，則破產概率滿足的微分方程為

（1－ρ1）β1α+（1－ρ1）β1λ－αλ1c+Fjψ′（u）+

α+（1－ρ1）β1+λ－λ1c+Fjψ″（u）+ψ（u）=0.

特別地，破產概率為

ψ（u）=

λ1（r1+α）（1－ρ1）β1［（c+Fj）（r1+α）+λ*］er1u，

其中，

r1=－［（Fj+c）α+λ－λ1+

（Fj+c）（1－ρ1）β1］－Δ/［2（Fj+c）］，

Δ=［（Fj+c）α+λ－λ1+

（Fj+c）（1－ρ1）β1］2+4（Fj+c）［αλ1－（Fj+c）（1－ρ1）β1α－

（1－ρ1）β1λ1］.

證明" 因為{Yi}∞i=1服從參數為β1的指數分布，則g*k（y）是服從參數為（k，β1）的Gamma分布，即g*k（y）=βk1yk-1（k-1）！，故gρ1（y）=（1－ρ1）β1e－（1－ρ1）β1y，E（Yi）=1β1，又因為{Xi}∞i=1服從參數為α的指數分布，即

f（x）=αe－αx，E（Xi）=1α1.

對式（12）兩端逐次求一階、二階、三階導數得

ψ′（u）=－λc+Fj∫

uψ（s）f（u－s）ds-

λ1c+Fj∫u0ψ（s）gρ1（u－s）ds-

λ－λ1c+Fjψ（u）－λ1c+FjG-ρ1（u）" ，（13）

ψ″（u）=－λc+Fj∫

uψ（s）f′（u－s）ds-

λ1c+Fj∫u0ψ（s）g′ρ1（u－s）ds-

λα－（1－ρ1）β1λ1c+Fjψ（u）-

λ－λ1c+Fjψ′（u）+λ1c+Fjgρ1（u），（14）

ψ（u）=－λc+Fj∫

uψ（s）f″（u－s）ds-

λ1c+Fj∫u0ψ（s）g″ρ1（u－s）ds-

λα2－（1－ρ1）2β21λ1c+Fjψ（u）+

λα－（1－ρ1）β1λ1c+Fjψ′（u）-

λ－λ1c+Fjψ″（u）+λ1c+Fjg′ρ1（u）.（15）

式（13）×α+式（14），并化簡得

α+λ－λ1c+Fjψ′（u）+ψ″（u）=

（1－ρ1）β1－αc+Fjλ1∫u0ψ（s）gρ1（u－s）ds+

［α－（1－ρ1）β1］λ1c+Fjψ（u）－λ1αc+FjG-ρ1（u）+

λ1c+Fjgρ1（u）.（16）

式（14）×α+式（15），并化簡得

［（1－ρ1）β1－α］λ1c+Fjψ′（u）+

α+λ－λ1c+Fjψ″（u）+ψ（u）=

（1－ρ1）β1－αc+Fjλ1∫u0ψ（s）g′ρ1（u－s）ds+

［（1－ρ1）2β21－（1－ρ1）β1α］λ1c+Fjψ（u）+

λ1αc+Fjgρ1（u）+λ1c+Fjg′ρ1（u）.（17）

式（16）×（1－ρ1）β1+式（17），并化簡得

（1－ρ1）β1α+（1－ρ1）β1λ－αλ1c+Fjψ′（u）+

α+（1－ρ1）β1+λ－λ1c+Fjψ″（u）+ψ（u）=0.（18）

式（18）的特征方程為

（Fj+c）r3+［（Fj+c）α+

（Fj+c）（1－ρ1）β1+λ－λ1］r2+

［（Fj+c）（1－ρ1）β1α+

（1－ρ1）β1λ－αλ1］r=0.（19）

解式（19）可得

r1=－［（Fj+c）α+λ－λ1+

（Fj+c）（1－ρ1）β1］－Δ/［2（Fj+c）］，

r2=－［（Fj+c）α+λ－λ1+

（Fj+c）（1－ρ1）β1］+Δ/［2（Fj+c）］，

r3=0.

其中

Δ=［（Fj+c）α+λ－λ1+

（Fj+c）（1－ρ1）β1］2+

4（Fj+c）［αλ1－（Fj+c）（1－ρ1）β1α－

（1－ρ1）β1λ1］.

方程式（18）的通解可設為

ψ（u）=C0+C1er1u+C2er2u，C0，C1，C2∈R.

根據邊界條件ψ（

）=0，可知C0=0，又因為r2gt;0，所以C2=0，則ψ（u）=C1er1u，且ψ（0）=C1.

因為f（x）=αe－αx，gρ1（y）=（1－ρ1）β1e－（1－ρ1）β1y，所以

C1=

λ1（r1+α）（1－ρ1）β1［（c+Fj）（r1+α）+λ*］.

因此破產概率的解析解為

ψ（u）=

λ1（r1+α）（1－ρ1）β1［（c+Fj）（r1+α）+λ*］er1u.

3" 數值實驗

在這一節，從實際應用角度用幾個例子分析第二節的結論.假設隨機保費額與索賠額均服從指數分布，利用Maltab軟件重點分析偏離系數、投資收益率、固定保費和初始資本對保險公司破產概率的影響，其他參數可參考文獻［6］的結論.

例1" 設j=0.001，c=200，λ*=20，α=1，λ1=0.01，β=0.001，F=100，用Matlab軟件得到初始資本、偏離系數與破產概率的關系，如表1所列.

從表1的數據可以看出，當其他參數不變時，初始資金越多，破產概率就越小，這與保險公司實際運營相符，說明充足初始資金可以降低保險公司的破產.當偏離系數越大，破產概率就越大，當偏離系數為零時，索賠次數服從復合Poisson過程的破產概率.

例2" 設ρ1=0.2，c=200，λ*=20，α=1，λ1=0.01，β=0.002，F=100，用Matlab軟件得到初始資本和投資收益率與破產概率的關系，如表2所列.

從表2的結果可知，當其他參數保持不變時，初始資金越多，破產概率就越小.同時破產概率是投資收益的減函數，風險投資越多，得到收益就越多，從而使初始資金就越多，保險公司發生破產的概率就越小，說明如果有多余的資金，可以選擇進行一些投資來增加初始資本.

例3" 設ρ1=0.2，j=0.001，λ*=20，α=1，λ1=0.01，β=0.002，F=100，用Matlab軟件得到初始資本和固定保費收入與破產概率的關系，如表3所列.

從表3中的結果可看出，破產概率隨初始資金的增大而減小，同時，破產概率也是隨固定保費收入的增大而減小，當固定保費為零時，破產概率明顯比有固定保費收入大好多.因此，保險公司在經營時應想辦法找一些固定的資源來增加固定的保費收入，從而減低公司破產的概率.

4" 結語

本文建立保費收取為固定保費和隨機保費的帶有投資收益復合Poisson-Geometric干擾風險模型，固定保費是服從線性增長過程，隨機保費是服從復合Poisson過程，索賠過程是服從復合Poisson-Geometric計數過程.利用全概率公式與積分變換公式，研究該模型的Gerber-Shiu罰金函數及破產概率解析解，通過數值模擬和算例分析幾個重要參數對保險公司破產概率的影響，驗證了文章結果的合理性.

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［責任編輯：趙慧霞］