狹義相對論時空觀的圖像解譯

摘 要 狹義相對論的時空觀之所以抽象且難以理解，一方面是因為狹義相對論所涉及的時空效應，如同時性的相對性、長度收縮和時間延緩等，在實際中都很難被觀測到;另一方面是因為我們很難將這些時空效應同時直觀形象地描述出來，并且給出不同參考系各自觀測到的時空效應之間的對應關系。本文針對這一問題，利用圖示法將兩個參考系在不同時刻觀測到的時空圖像表示出來，并結合具體數值對他們間的對應關系進行討論。在圖示法中同時考慮了同時性的相對性、長度收縮和時間延緩這三個狹義相對論重要的時空效應，這樣可直觀形象地看到在一個參考系中得到的觀測結果會被另一個參考系所認同，正是這些彼此認同的觀測結果構成了狹義相對論的時空觀。通過對不同參考系中觀察到的時空圖像及其相互聯系的討論，可以加深學生對狹義相對論時空效應及洛倫茲變換的物理意義的理解。

關鍵詞 狹義相對論;時間延緩;長度收縮;同時性的相對性;洛倫茲變換;時空圖像

在論文“洛倫茲變換的引入及其時空圖像討論”[1]中，作者通過對三個思想實驗的定量討論得到了時間延緩、長度收縮和同時性的相對性這三個時空效應的數學表達式，并在此基礎上推導出洛倫茲變換式。為了使學生更加直觀清晰地認識到洛倫茲變換的時空圖像，加深學生對洛倫茲變換及相對論時空觀的理解，本文將通過具體數值下的實例，利用圖示法分別描述兩個參考系在不同時刻觀察到的時空圖像，并對在兩個參考系中分別得到的觀測結果間的對應關系進行討論。

圖示法經常被用于定性描述狹義相對論中的時空效應[2-7]，但通常是被用于單獨描述狹義相對論三個重要的時空效應（同時性的相對性、長度收縮和時間延緩）中的某一個時空效應，例如圖1就是利用圖示法生動形象地展示了“同時性的相對性”，即每個參考系的觀測者都會認為自己參考系不同位置處的時鐘是對齊同步的，而相對于自己運動的其他參考系的時鐘卻都沒有對齊。由于沒有給出相對運動速度的具體數值，所以也不便通過坐標數值及時鐘讀數的對比來同時展示出長度收縮和時間延緩效應。由于沒有利用圖示法同時展示出相對論的三個時空效應，僅是文字上的說明又較為抽象，因此學生很難把分別在兩個參考系中觀測到的時空圖像彼此對應起來，這也是狹義相對論時空觀抽象難懂的原因。

為了更好地表示出在兩個參考系中分別觀察到的時空圖像，并對其對應關系進行討論，本文將結合具體數值利用圖示法同時表示出同時性的相對性、時間延緩和長度收縮這三個時空效應，描述在兩個參考系中分別觀察到的時空圖像，并對不同參考系所得時空圖像之間的對應關系進行討論。為了結合具體數值進行計算，這里首先給出之前利用思想實驗得到的描述時間延緩、長度收縮和同時性的相對性的三個關系式[1]

1 不同參考系中觀測到的時空圖像及其對應關系

為了更好地理解狹義相對論幾個重要的時空效應，這里選取特定的相對運動速度u=0.866c，此時可得根號下（1-u2/c2） ≈0.5或γ ≈2，這樣由關系式（1）、式（2）和式（3）可得Δt=2Δt'、l=0.5l'和Δt'=0.866l'/c。Δt=2Δt'意味著在S 系中觀圖2 S 系觀測者分別在0s、3.4s和6.8s這三個時刻觀測到的S'系x'軸的位置及其上不同坐標處時鐘讀數的時空圖像（S'系以u=0.866c 的速度相對于S 系沿x 軸正向運動，此時γ≈2）測，S'系中的每個時鐘相較于S 系中的時鐘都走慢了一半;l=0.5l'意味著S'系中的一段固有長度在S 系中觀測變短為一半，即S 系測得S'系x'軸上任一坐標刻度到原點O'的距離比起其坐標值都小了一半;Δt'=0.866l'/c 意味著在S 系中觀測S'系中不同位置的時鐘都沒有對齊，當l'=4ls時，Δt'≈3.4s，即S'系中每相距4ls的時鐘都相差3.4s。這里，為了突出同時性的相對性，我們選取了光秒（ls）作為距離的單位，1ls=1c×1s=3.0×108m。由于0.866c·3.4s≈3ls，即S'系相對于S系在3.4s時間內向前運動了3ls的距離，因此我們選取在S 系的0s、3.4s和6.8s這三個時刻來進行觀測，這樣時間延緩、長度收縮和同時性的相對性這三個時空效應都能較為方便直觀地呈現出來。

圖2為分別在S 系的0s、3.4s和6.8s這三個時刻觀察到的S'系x'軸的位置及其上不同坐標處時鐘讀數的時空圖像。為了便于比較，圖中選取S 系x 軸為橫軸、t 軸為縱軸，x 軸上標出了x=0，1，2，…，10ls的坐標刻度及其位置處時鐘的讀數，t 軸上則標出0s、3.4s和6.8s這三個時刻并畫出相應的x 軸上不同坐標刻度處的時鐘。另外圖中還畫出了S 系觀察者分別在0s、3.4s和6.8s這三個時刻觀察到的S'系x'軸的位置及其上不同坐標處時鐘的讀數，這樣就可以通過x 軸和x'軸上坐標刻度及時鐘讀數的對比來表示出狹義相對論三個重要的時空效應。

S 系t=0s時刻觀測到的時空圖像：此時S系中x 軸上不同坐標刻度處的時鐘都對齊并指向0s時刻，但S'系中不同坐標處的時鐘都沒有對齊，由于兩個參考系的原點鐘（O 點處時鐘和O'點處時鐘）在0s時刻相遇為已知條件，所以此時S'系中只有位于原點O'處的這一只時鐘指向0s時刻，其他位置的時鐘都沒有指向0s時刻，相對運動方向后方（x'坐標值較小）的時鐘超前，每相距4ls的時鐘相差3.4s;S'系不同x'坐標之間的距離為其坐標刻度差值的一半，即x'軸上刻度值相差2ls的2個坐標間的距離在S 系中觀測只有1ls。從這個時空圖像我們可以清楚地看出同時性的相對性和長度收縮這兩個時空效應。

S 系t=3.4s時刻觀測到的時空圖像：此時S系x 軸上不同坐標刻度處的時鐘都指向3.4s，并與t=0s時刻觀測到的時空圖像相類似地呈現出同時性的相對性和長度收縮這兩個時空效應;另外相對于0s時刻的S 系，S'系x'軸向前運動了3ls的距離，S'系坐標原點O'運動到x=3ls位置處，原點O'處時鐘向前走了1.7s指向t'=1.7s處，另外S'系中的每一個時鐘都向前走了1.7s，僅為S 系中時鐘所走時間的一半，這就是時間延緩效應，即S 系的觀察者發現S'系中的每一個時鐘都走慢一半。

S 系t=6.8s時刻觀測到的時空圖像：此時S系x 軸上不同坐標刻度處的時鐘都指向6.8s;相對于0s時刻的S 系，S'系x'軸向前運動了6ls的距離，S'系坐標原點O'運動到x=6ls位置處，原點O' 處時鐘往前走了3.4s指向t' =3.4s處，另外S'系中的每一個時鐘都往前走了3.4s，也為S系中的每一個時鐘所走時間的一半。

通過圖2中S 系觀察者分別在0s、3.4s和6.8s這三個時刻觀察到的時空圖像的對比，可以直觀形象地看到狹義相對論中三個重要的時空效應：同時性的相對性、長度收縮和時間延緩。同時性的相對性意味著在S 系的任一時刻觀測，S'系中不同x' 坐標處的時鐘都沒有對齊，每相距4ls的時鐘都相差3.4s;長度收縮效應意味著在S 系中觀測S'系的x'軸的長度整體被壓縮為一半，即x'軸上相距2ls的2個坐標間的距離在S 系中觀測只有1ls;時間延緩效應意味著在S 系中觀測S'系中的任一只時鐘相較于S 系時鐘都走慢了一半。注意這些時空效應都是S 系的觀測者在觀察S'系的x'坐標位置及其時鐘讀數時得到的，但S'系的觀測者并不會認為自己參考系中的坐標及時鐘會有什么問題，他們會認為自己參考系內的時鐘都是對齊同步的，x'坐標間的距離及時鐘的運行是同樣的標準和精確。但由于運動的相對性，S'系的觀測者會觀察到S 系中不同位置的時鐘都沒有對齊，每相距4ls的時鐘都相差3.4s，x 軸的長度整體被壓縮為一半，S 系的任一只時鐘相較于S'系時鐘都變慢了一半。

狹義相對論的時空效應之所以抽象，是因為兩個參考系各自對觀察到的時空圖像的描述似乎彼此矛盾，而這些不同觀測結果又很難簡單地相互對應上，其中最主要的原因是同時性的相對性引起的“彼此觀察到對方參考系的時鐘都沒有對齊”。兩個參考系在相對運動的過程中，他們的坐標及其時鐘在不停地相遇并進行比對，圖2中已給出了S 系分別在0s、3.4s和6.8s這三個時刻觀察到的與S'系的x'坐標及其時鐘的比對結果。如果這些比對結果同樣能被S'系的觀測者觀察到，即被S'系的觀測者所認同，那么兩個參考系中分別觀察到的時空效應就都是正確的，不會產生相互矛盾。

由于在S 系中會觀察S'系不同位置的時鐘都沒有對齊，所以S 系在某一時刻t 一定可以觀察到S'系中有且只有一只指向某一時刻t' 的時鐘，即S 系某位置處的t 時刻鐘會與S'系某位置處的t'時刻鐘相遇并進行比對;反過來在S'系中觀察，S 系不同位置的時鐘也沒有對齊，S'系在t'時刻也一定可以觀察到S 系中有且只有一只指向時刻t 的時鐘，即S'系某位置處的t' 時刻鐘會與S 系某位置處的t 時刻鐘相遇并進行比對。那么，分別在兩個參考系中觀察到的相遇并進行比對的t 時刻鐘和t'時刻鐘是否是同一對時鐘呢？ 我們在圖2所示的S 系分別在0s、3.4s和6.8s這三個時刻觀察到的時空圖像中均標出S'系中0s、-1.7s和-3.4s的時鐘，這樣就得到了S 系中觀測到的兩個參考系相遇的3×3=9對時鐘的比對結果。為了驗證這些比對結果是否被S'系的觀測者所確認，圖3中分別給出S'系在0s、-1.7s和-3.4s這三個時刻觀測到的S 系x 軸的位置及其上時鐘讀數的時空圖像，圖中也標出了S 系中讀數為0s、3.4s和6.8s的時鐘。 圖中選取S'系x'軸為橫軸、t'軸為縱軸，x'軸上標出了x' =0，1，2，…，9ls的坐標刻度及其位置處時鐘的讀數，t'軸上則標出0s、-1.7s和-3.4s這三個時刻并畫出相應的x'軸上不同坐標處的時鐘。另外圖中還畫出了S'系觀察者分別在0s、-1.7s和-3.4s這三個時刻觀察到的S 系x 軸的位置及其上不同坐標處時鐘的讀數，這樣通過對比就可以驗證在S系中得到的觀測結果能否在S'系中同樣被觀測到。

從圖3中可以同樣清楚地看出同時性的相對性、長度收縮和時間延緩這三個時空效應：在S'系中觀測，S'系不同位置的時鐘是對齊同步的，在S'系的t'=0s時刻，S 系中只有位于原點O 處的一只時鐘指向0s時刻（這同樣滿足已知條件：在兩個參考系的0s時刻兩原點鐘相遇），但S 系其他位置的時鐘都沒有指向0s時刻，相對運動方向后方（x 坐標值較大）的時鐘超前，每相距4ls的時鐘相差3.4s;S 系中x 軸的長度整體被壓縮為一半;S 系的任一只時鐘相較于S'系時鐘也都走慢了一半。這里，S'系的t'=-1.7s和t'=-3.4s時刻是相對于t'=0s時刻分別往回退了1.7s和3.4s的時間，所以S 系x 軸相對于t'=0s的S'系分別往后退0.866c·1.7s≈1.5ls和0.866c·3.4s≈3ls的距離。

為了便于比較圖上標出的兩個參考系9對時鐘的比對結果，表1給出了S'系在0s、-1.7s和-3.4s這三個時刻分別觀察到的與S 系的0s、3.4s和6.8s三個時刻鐘的比對結果。

從表1可以看出，S'系在0s、-1.7s和-3.4s三個時刻能分別觀察到S 系中位于0ls、1ls和2ls處的0s時刻鐘（分別與S'系中位于0ls、2ls和4ls的時鐘相遇）、位于4ls、5ls和6ls處的3.4s時刻鐘（分別與S'系中位于=2ls、4ls和6ls的時鐘相遇），以及位于8ls、9ls和10ls處的6.8s時刻鐘（分別與S'系中位于4ls、6ls和8ls的時鐘相遇）。再與圖2所示的9對時鐘的比對情況進行比較，可以發現這是同樣的9對時鐘，即兩個參考系的觀測者觀察到的這9對時鐘的比對結果是完全一致的。由于在一個參考系中某一時刻觀察到的某一對鐘的比對結果，只能在另一參考系中的相應時刻來進行驗證，而且通過這種方式只能驗證這一對鐘的比對結果，所以通過在圖2和圖3分別給出的在兩個參考系的3個時刻觀察到的時空圖像，就只能驗證9對時鐘的比對結果。但通過同樣的方式可以驗證兩個參考系在任意時刻的任意一對鐘的比對結果是否彼此一致，其結論也一定會是在一個參考系中觀測到的比對結果會被另一個參考系的觀測者所認同。

2 結語

本文利用圖示法直觀形象地描述了在兩個參考系中不同時刻分別觀察到的時空圖像，并對這些時空圖像進行了對比。可以看出一個參考系中得到的觀測結果會被另外一個參考系的觀測者所認同，正是這些彼此認同的觀測結果在兩個參考系中分別呈現出各自認為的同時性的相對性，即彼此認為對方參考系中的時鐘都沒有對齊，并最終導致了對方參考系的坐標軸都變短了、時鐘都變慢了這些時空效應。這說明在不同參考系中觀察到的這些時空效應是彼此符合的，不會產生矛盾的結果。

由于這些時空效應是在一個參考系中觀測另外一個參考系的坐標及時鐘時才會表現出來的，說明這只是一種測量效應，我們在自己的參考系中進行測量時不要誤認為自己的坐標刻度或時鐘出現了問題。當我們在自己參考系中進行事件時空坐標的測量時，用的一定會是具有標準刻度的坐標系和彼此對齊同步的標準鐘，這與是否存在別的參考系，或者別的參考系是否也對同一事件的時空坐標進行了觀測沒有絲毫關系。但是，如果存在別的參考系，這些參考系正好也對同一事件的時空坐標進行了觀測，兩個參考系的觀察者會發現他們各自得到的觀測結果不一致，而這些不同觀測結果之間的對應關系就是洛倫茲變換。

本文我們通過討論彼此間相對運動速度為0.866c 的兩個參考系中分別觀察到的時空圖像，直觀形象地展示了在兩個參考系中分別觀察到的時空效應（同時性的相對性、時間延緩和長度收縮）以及這些時空效應在兩個參考系間的對應關系。結果表明在兩個參考系中分別觀察到的時空效應是彼此一致的，并不會帶來相互矛盾。所有這些時空效應都是在與其他參考系測得的事件時空坐標進行比較時才會顯示出來，而一個觀測者在自己的參考系里進行測量時并不會出現這些時空效應。雖然兩個參考系得到的對同一事件的觀測結果不一致，但由于彼此認為對方參考系中的時鐘沒有對齊、坐標軸變短了、時鐘都變慢了是有規律地呈現出來的，所以可以通過對坐標和時間的修正將兩個參考系的不同觀測結果彼此對應起來，這就是洛倫茲變換所做的工作。事實上，在論文“洛倫茲變換的引入及其時空圖像討論”[1]中就是通過狹義相對論的時空效應推導得到了洛倫茲變換。這里通過對分別在兩個參考系中觀察到的時空圖像的討論，可以讓我們更加深刻地理解狹義相對論中三個重要的時空效應以及洛倫茲變換的物理意義。

參 考 文 獻

[1] 繆勁松，胡海云. 洛倫茲變換的引入及其時空圖像討論[J].物理與工程，2016，26（Z1）：10-16.

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基金項目： 教育部高等學校大學物理教指委的2021年高等學校教學研究立項項目（DWJZW202113hb）：以專題討論為導向的《大學物理》線上/線下混合式教學體系的構建。