基于量子壓縮的相干光計算系統

摘 要 相干光計算是一種基于量子光學的非馮諾依曼框架的專用計算方法，是有望在后摩爾時代突破計算性能與功耗瓶頸的熱門計算技術。相干光計算的核心思想是根據最小增益原理，通過從振蕩閾值以下逐漸增加簡并光學參量振蕩器中泵浦光的強度，使得振蕩器中最低能量的基態模式被激發，從而完成一種類似物理退火的過程。這種退火過程可被用于求解組合優化問題，并具備計算速度快、求解質量高和功耗低等優勢。相干光計算機也被稱為相干伊辛機（Coherent Ising Machines），可用于交通流分配、工業資源調度、金融投資組合等問題的快速高質量求解，是量子計算硬件的重要研究方向。本文作為“先進算力技術”專題的第二篇，介紹了相干光計算和相干伊辛機的基本原理、歷史發展以及實驗系統。本文不僅可以作為未來計算技術領域的一般性了解，本文附錄給出的PPT課件也可以作為大學物理等課程中“量子物理”相關篇章的有益補充。

關鍵詞 量子壓縮;相干伊辛機;組合優化問題

摩爾定律成功促進了集成電路的發展，加速了人類從信息時代跨向人工智能時代的前進腳步。但隨著晶體管尺寸微縮接近物理極限，傳統硅基溝道材料出現了嚴重的電學性能衰退，引起集成電路數據處理能力提升難、功耗急劇增加等問題，限制了傳統計算機的計算能力。相干光計算是一種將光波或光子作為載體，并利用光子的量子相干性進行信息處理的技術，其基于一種“傳輸即計算，結構即功能”的計算架構，脫離了傳統計算模式中的計算與存儲單元分離的馮諾依曼架構。相較于電子計算，光計算具有二維并行處理、高速度、大容量、空間傳輸、抗電磁干擾、低延時和低功耗等優點，是后摩爾時代突破性能與功耗瓶頸的一個重要研究方向。

大學物理的量子物理部分會對不確定性原理和其數學表達式———不確定關系進行介紹。1927年海森堡基于粒子的波粒二象性提出不確定性原理，其認為對于一維運動的粒子，我們無法同時測量它的位置和動量，用數學公式來表示，即ΔxΔpx ≥h，其中Δx 和Δpx 分別代表粒子x 方向上的位置和動量的測量誤差，h 為普朗克常量[1]。對于光子，不確定原理同樣適用。在量子光學中，光場的正交分量之間要滿足不確定性關系，也就是兩正交分量的不確定性（即漲落）的乘積要等于某一個確定值與普朗克常數的乘積。如果兩個正交分量的漲落相等，該漲落被稱為標準量子極限，相應的量子態被稱為是最小不確定度態。量子光學中，真空態|0gt;作為光子數算符的特殊本征態的（光子數n=0）是最小不確定度態，而光場湮滅算符的本征態———相干態也是最小不確定度態[2]。同時，還存在可使兩個分量漲落不同的最小測不準態，它的一分量漲落會小于相干態的標準量子極限，所以叫作壓縮態（Squeezedstate）。在相空間內，根據測不準原理畫出各分量的漲落，就會發現相干態是一個圓，而壓縮態是在某個方向上被壓縮的圓（即橢圓），所以其被稱為壓縮態[3]。壓縮真空態是指不確定性區域的中心（對應于平均振幅），位于坐標系的原點（x=0），且在某一方向漲落是被減小的光量子態，之所以被稱為壓縮真空態是因為平均振幅為0 （而平均光子數大于0）。實驗上壓縮真空態可由簡并的二階非線性參量振蕩過程得到[4，5]。簡并光參量振蕩器（Degenerate Optical Parametric Oscillators，DOPO）通過二階非線性光學相互作用（使用周期性極化的鈮酸鋰晶體，PPLN），可以將一個頻率為ωp =2ωs 輸入光子（所謂的泵浦光），轉換成兩個的頻率較低但都為ωs 的信號光子，如圖1（a）所示。一般情況下，晶體的非線性作用相對較弱，因此往往需要搭建諧振腔迫使信號光與非線性晶體多次作用，使信號光在諧振腔內振蕩進而保證增益大于損耗。所以，DOPO 的諧振腔在簡并信號光子波長處諧振，如圖1（a）所示。在簡并光參量振蕩器中，由于相位敏感放大，泵浦光強度在振蕩閾值以上時的振蕩器只能處于兩個可能的相位中的一個振蕩，這正好可以用來代表二進制的上下自旋狀態。

在泵浦光強度低于振蕩閾值時，DOPO 中的光場處于壓縮真空態，光脈沖在x 軸方向放大，同時在p 軸方向去放大，其相位是不確定的，如圖1（b）所示。當泵浦光強度高于振蕩閾值時，DOPO中發生參量放大，該脈沖在x 軸上可以有一個穩定的非零振幅，其中脈沖有50%概率處在0相位，50%概率處在π相位，如圖1（c）所示。此時脈沖處于壓縮相干態，這種現象被稱為集體對稱性破缺[6]。在測量過程中可以把集體對稱性破缺后的計算脈沖與未經過計算的本地脈沖束進行干涉，相位差為0的脈沖干涉結果為疊加，是一個高電平測量信號，可用于表示粒子的自旋向上的狀態|↑gt;;反之相位差為π的脈沖干涉結果為相消，是一個低電平測量信號，可用于表示自旋向下的粒子態 |↓gt;。這樣具有集體對稱性破缺的 DOPO的輸出脈沖可用來人工模擬粒子自旋，用作為光計算的計算比特。

不考慮相互耦合關系的勢函數V （μi）隨泵浦光強度變化情況如圖1（d）所示，當泵浦光強度超過閾值時，V （μi）是一個典型的雙穩態勢，集體對稱破缺發生，系統處于基態的自旋構型（高或低電平，對應于自旋狀態向上或向下）。相干光計算的核心思想是利用DOPO 網絡中的多模式之間存在增益競爭效應，通過最小增益原理[7]，將泵浦光強度從振蕩閾值以下逐漸增加，使得最低能量的基態模式被激發，從而完成基態模式的選擇。基于以上基本原理，將N 個DOPO 通過延時光路或者基于FPGA 的測量反饋系統連接起來就構成了可以模擬多自旋伊辛模型的相干光計算機，也稱為相干伊辛機，可用于求解伊辛問題。

組合優化問題是在眾多決策中找出最優解決方案的難題，隨著問題規模增加，其復雜度呈指數級增長。在日常生活中，存在許多急需解決的大規模組合優化問題，比如交通網絡優化、基礎設施配置、工業資源調度等，這些問題與社會正常運轉密切相關。伊辛問題是尋找伊辛模型基態的任務，而幾乎所有組合優化問題都可以轉化為伊辛問題。這使得相干伊辛機在解決這類問題時具有天然的適應性。伊辛模型描述了存在競爭相互作用的無序磁系統[11]。在伊辛系統中，粒子具備向上和向下兩種自旋態，即σi =±1。一個包含N個自旋的系統的哈密頓量可以表達為

其中，J'ij表示第i 個和第j 個自旋之間的耦合系數，其形式與式（3）相似。伊辛系統在演化過程中，趨向于維持最低能量狀態，即基態。組合優化問題的求解可以映射為尋找伊辛模型的基態，將其決策變量映射到伊辛變量σ 上，σ 取值為1或-1，對應決策選擇是或否，不同決策間的關系映射到伊辛模型的耦合系數J'ij。此外，組合優化問題中不同決策策略所對應的成本值用損失函數描述，可以將其映射到伊辛模型的哈密頓量上。伊辛系統演變到能量基態，對應著損失函數最小，此時伊辛變量的自旋態對應著組合優化問題中決策選擇。相干伊辛機正是基于這一原理被用來求解組合優化問題的。

最小增益原理的示意圖可以用圖2表示。相比模擬退火從高能量“下山”尋找低能量和量子退火使用量子隧穿“穿過”高能量態的方法，相干伊辛機選擇了最小增益原理，即選擇最小的泵浦光強度保證只能提供最低能量的基態自旋被激發。相比量子退火設備需要接近絕對零度的運行環境來滿足材料超導性，相干伊辛機可以在室溫下運行。

相干伊辛機是采用相干光網絡作為伊辛系統的物理載體[8，15，16]。此外，還可以選擇數字芯片[17，18]、空間光[19]、微波[20]、電振蕩器[21]等作為物理實現。相干伊辛機具備自旋間任意全連接的能力，具有良好的擴展性。在計算過程中，它還能夠利用量子效應[22]來加速計算，且隨著問題規模越增大，加速效應越顯著。因此，相干伊辛機在學術界備受關注，是當前光量子計算領域的研究熱點。

相干伊辛機的核心元件是簡并光參量振蕩器（DOPO），它的發展也與簡并參量振蕩器的進展緊密相連。實際上，早在20世紀50年代就已經有關于利用簡并參量振蕩器進行計算的研究。Goto曾提出一種由電路中的簡并參量振蕩器構成的“計算機”[23]。此后，Byer對簡并參量振蕩器的光學版本進行了研究，并通過實驗闡明了其特性[24，25]。然而，由于晶體管計算機的猛發展，這類研究沒有得到進一步的深入。直到2011年，美國斯坦福大學的Yoshihisa Yamamoto教授領導的研究團隊提出了相干伊辛機的初步構想，即注射同步激光伊辛機[26]，如圖3所示。但這個方案中的計算比特規模難以大規模增加，而且用光纖實現激光器間的任意耦合也較為困難。這限制了其只能用于計算最多為N =13的組合優化問題[27]，遠不能滿足實際應用需求。到了2013年，斯坦福Yamamoto教授研究團隊的王哲、文凱等人在注射同步激光伊辛機的基礎上進一步改進。他們采用非線性光學晶體代替激光器，從而提出了相干伊辛機的概念[28]，并在最大為N =24的三次圖最大割問題上進行了實驗驗證，初步證明了它在解決組合優化問題方面的潛力。自此，相干伊辛機正式問世，也推動了光量子計算領域的進一步發展。2021年，日本電報電話公司（NTT）的Honjo等人將自旋數目拓展到100000個[29]，足以解決各種大規模的組合優化問題，為解決大規模組合優化問題提供了強有力的解決方案。

根據DOPO 耦合的不同方式，相干伊辛機主要可以分為兩大類：光學延遲型（見圖4）和測量反饋型（見圖5）。光學延遲型相干伊辛機通過光學延遲線截取振蕩器輸出光的一部分脈沖，經過時間延遲和調制處理后，再注入到原有的光纖環路中，實現了輸出光之間的相互作用。輸出光之間的相互作用越多，所需要的光學延遲線就越多。測量反饋型相干伊辛機利用現場可編程門陣列（FPGA）來計算光脈沖之間的相互作用，然后通過調制器對反饋光脈沖的狀態進行調制，接著將調制后的反饋脈沖注入光纖環路，與原有的光脈沖進行相互作用，從而實現自旋之間的全連接相互作用。測量反饋方案實際上克服了光學延遲方案中需要大量光學延遲線問題。它具備實現DOPO間任意全連接的能力，因此在連接性方面表現更為強大，也是相干伊辛機發展的趨勢所在。

如今，相干光計算技術在最大割問題、旅行商問題、圖著色、圖聚類等典型的組合優化問題上的成功求解，為其在實際應用中的優越計算性能提供了有力的證明。它已經云計算、交通、金融、通信、醫藥等多個領域展開了場景驗證。下面，本文以最大割問題和云計算中的圖像渲染問題為例說明。

在 實際研究中，通常用解決最大割問題來驗證相干伊辛機的計算性能。最大割問題（Max-Cut problem）是一個典型的組合優化問題，其核心思想是尋找一種分割策略，將一個無向圖的節點集分為G1、G2 兩部分，使得分割后兩個節點集間被“割斷”的邊數達到最大。最大割問題的割數可以表示為

其中，wij 表示節點i 和節點j 之間的邊，gi=1表示節點i 屬于G1 部分，gi=-1表示節點i 屬于G2 部分。可見最大割問題的割數公式與伊辛哈密頓量形式相似，因此最大割問題適合用伊辛機來解決，并且可以用來衡量伊辛機的計算性能。

圖6展示了一臺測量反饋型相干伊辛機真機示意圖。它由三部分組成：DOPO、二次諧波發生（SHG）以及光纖環組成的主光路部分，注入光部分和測量部分。主光路是解決組合優化問題的核心，光纖環中儲存DOPO 脈沖。注入光部分則根據光電探測器的測量結果，調制反饋脈沖，并通過分束器注回光纖環，實現DOPO 脈沖間的耦合。最后，借助高靈敏度的平衡零差探測器，測量脈沖相位，以找到對應伊辛問題的最優策略。以下是利用這臺相干伊辛機計算具有100 個節點的Mobius圖對應的最大割問題的實驗結果[12]。這個問題解空間為2100，利用窮舉法可知其最大割數為148。實驗結果如圖7所示，其中（a）圖展示了這臺測量反饋型相干伊辛機真機給出的一種此最大個問題的最優解組合，節點用淺深兩色區分其屬于不同節點集;（b）圖顯示了伊辛機真機求解過程中，DOPO 振幅隨求解時間的演化，其中振幅為正對應測量信號高電平，即Mobius圖對應節點分到G1 部分，振幅為負則該節點被分到G2 部分;（c）圖是對100次相干伊辛機仿真算法（左側直方條）和真機（右側直方條）實驗結果的統計分布，可以看出真機在尋找割數為148的最優解時具有更高的成功率。另外，相干伊辛機真機穩定在最優解的運行時間僅為2.1毫秒，表明它具有高速、高質求解問題的優勢。

圖像渲染是將圖形數據轉化為可視化圖像或者動畫的過程，常常采用云服務器來處理，以實現并行計算，節省渲染時間。另外，云服務器還具備維護成本低、可擴展性強、高可訪問性等優點。在云服務器上，完成圖像渲染任務需要將一組圖像渲染任務快速且合理分配給多臺服務器，稱之為云計算的圖像渲染調度問題。該問題的目標是盡可能縮短圖像渲染任務整體渲染時間，等效于實現服務器負載均衡，可以建模為多路數字劃分問題。

多 路數字劃分問題是一種典型的組合優化問題，通常應用于資源調度計劃的制定。其目標是將給定的數集S 劃分為多個不相交的子集，力求使每個子集內的元素和相等。假設有N 個圖像渲染任務和M 臺服務器，將圖像渲染任務的運行時間視為數集S 中的“數”，承載圖像渲染任務的服務器視為待劃分的“子集”，那么便建立了圖像渲染問題和多路數字劃分問題的聯系。已知每個任務運行時間ti 和每臺服務器啟動時間sj，定義二值決策變量x，取值為0或1，其與伊辛自旋的關系是x=σ+1／2 。如果xij =1，表示任務i 分配到服務器j 上，若xij=0，則反之。尋求服務器負載均衡的分配方案，即尋找服務器任務運行時間與平均時間方差最小值的分配方案[30]

第一項是求方差最小值，第二項是滿足每個圖像渲染任務必須完成的約束項，其中t'是所有任務完成的平均時間，α 是一個較大的約束系數。f（x）整理后可得到與σ 有關的表達式，σ 的一次項可以添加輔助變量，將其轉化到二次項中，此時表達式形式便與伊辛哈密頓量相似的，可以用相干伊辛機來求解。

針 對云計算中的圖像渲染問題，聞經緯等人在2023年利用百比特的相干光計算系統進行了場景驗證[30]。實驗結果顯示，相干光計算系統在解決云計算圖像渲染調度問題時展現出更高的效率，其運行時間僅為毫秒級。在求解結果相近的情況下，相較于模擬退火和禁忌搜索等經典算法，相干光計算系統的計算時間減少了97%。這表明相干光計算已能夠解決現實場景中的問題，展現出在其他領域具有巨大潛力的可能性。

自從2013年相干伊辛機的概念被正式提出以來，相干光計算迅速成為研究的熱點。這種趨勢與迫切求解組合優化問題的需求和量子計算前景緊密相連。與現有機器相比，基于壓縮光技術開發的相干光計算系統，具備易于擴展的計算規模和高容錯率等優勢，有著在解決大規模組合優化問題方面巨大潛力。伊辛機是針對光的相位和幅度進行控制，編碼脈沖之間的相互作用，它可以比基于其他編碼方案（如原子或磁體）的計算速度快得多：能夠通過多個空間或頻率通道以光速并行處理數據。此外，光子伊辛機可對一個數學過程進行多次運算，但能量損耗卻保持不變。光子的量子特性給系統提供了一個本征的噪聲背景，可用來模擬系統熱漲落過程。這些都是光子伊辛機的計算優勢。

本文介紹了相干光計算系統的基本原理、歷史發展以及實驗系統，并通過最大割問題和真實場景下的云計算圖像渲染調度問題來展示相干光計算的性能。其中，一些涉及壓縮光、相干光以及兩個狀態之間的量子相變過程的知識，都可以作為大學物理中光學和量子力學篇章的有益補充。我們希望本文能夠引導讀者更深入地理解相干光計算領域，并為學生們開闊物理創新應用的視野。

附錄 教學課件案例及其文字說明

本課件給出了ppt教學案例及其文字說明。課件主要面向已經學習了量子物理中不確定原理或者不確定關系等內容的本科生。課件內容根據學生的知識基礎在正文基礎上做了一些調整和刪減。

P1：在量子物理部分，我們已經學習了不確定原理或者不確定關系的具體內容。回憶：對于微觀粒子不能同時用確定的位置和確定的動量來描述。用數學公式來表示就是不確定關系，即ΔxΔpx ≥h，其中Δx 和Δpx 分別代表粒子x 方向上的位置和動量的測量誤差，h 為普朗克常量。不確定原理是微觀粒子都會遵循的基本規律，但是在同一個粒子的不同的物理量之間，不確定關系的形式會有其他的形式。

P2：對于光子，不確定原理同樣適用。在量子光學中，光場的正交分量之間要滿足不確定性關系，ΔX1ΔX2≥1/4。其中X1 和X2 是一對描述電磁場的重要的共軛算符，而ΔX1 和ΔX2 分別是X1 和X2 算符的標準偏差，或者漲落，或者不確定性。如果ΔX1 和ΔX2 相等，該漲落被稱為標準量子極限，相應的量子態被稱為是最小不確定度態。量子光學中，真空態|0gt;作為光子數算符的特殊本征態的（光子數n=0）是最小不確定度態，而光場湮滅算符的本征態———相干態也是最小不確定度態[2]。在相空間內，根據測不準原理畫出各分量的漲落，就會發現真空態是一個圓，如PPT圖1所示。

P3：存在可使兩個分量漲落不同的最小測不準態，它的一分量漲落會小于相干態的標準量子極限，所以叫作壓縮態（Squeezed state）。在相空間內，壓縮態是指可以在某個方向上被壓縮的圓（即橢圓），所以其被稱為壓縮態[3]。壓縮真空態是指不確定性區域的中心（對應于平均振幅），位于坐標系的原點（x=0），且在某一方向漲落是被減小的光量子態，之所以被稱為壓縮真空態是因為平均振幅為0（而平均光子數大于0），如PPT圖2所示。

P4：實驗上壓縮真空態可由簡并的二階非線性參量振蕩過程得到[4，5]。簡并光參量振蕩器（DegenerateOptical Parametric Oscillators，DOPO）通過二階非線性光學相互作用（使用周期性極化的鈮酸鋰晶體，PPLN），可以將一個頻率為ωp =2ωs輸入光子（所謂的泵浦光），轉換成兩個的頻率較低但都為ωs 的信號光子，如圖PPT3（a）所示。一般情況下，晶體的非線性作用相對較弱，因此往往需要搭建諧振腔迫使信號光與非線性晶體多次作用，達到信號光在諧振腔內振蕩進而保證增益大于損耗。所以，DOPO 的諧振腔在簡并信號光子波長處諧振，如PPT圖3（a）所示。在簡并光參量振蕩器中，由于相位敏感放大，在泵浦光強度在振蕩閾值以上時的振蕩器只能處于兩個可能的相位中的一個振蕩，如PPT 圖3（b）所示，這正好可以用來代表二進制的上下自旋狀態，如PPT圖3（c）所示。從能量角度說，諧振腔中的勢能函數不會在閾值以下振蕩（紅色），雙穩態勢在閾值以上（藍線）。當泵浦能量上升時，脈沖隨機選擇了一個勢能較低的態，如PPT圖3（d）所示。此時脈沖處于壓縮相干態，這種現象被稱為集體對稱性破缺[6]。在測量過程中可以把集體對稱性破缺后的計算脈沖與未經過計算的本地脈沖束進行干涉，相位差為0的脈沖干涉結果為疊加，是一個高電平測量信號，可用于表示粒子的自旋向上的狀態 |↑gt;;反之相位差為π的脈沖干涉結果為相消，是一個低電平測量信號，可用于表示自旋向下的粒子態|↓gt;。這樣就用具有集體對稱性破缺的 DOPO的輸出脈沖可用來人工模擬粒子自旋，用作為光計算的計算比特。

P5：N 個DOPO 通過延時光路[7-9]或者基于FPGA 的測量反饋系統[10，11]連接起來，構成DOPO網絡。利用光學延遲或者測量反饋技術，可以將DOPO 中脈沖進行耦合，形成脈沖和脈沖之間的相互作用，從而實現自旋脈沖之間的全連接。

P6：DOPO 網絡中脈沖之間的相互作用可以模擬伊辛模型。自旋耦合項（DOPO 網絡勢函數的最后一部分的形式）與伊辛模型[14]描述的哈密頓量的形式幾乎完全相同，而伊辛系統在演化過程中，趨向于維持最低能量狀態，即基態。很多組合優化問題的求解可以映射為尋找伊辛模型的基態，將其決策變量映射到伊辛變量σ 上，σ 取值為1或-1，對應決策選擇是或否，不同決策間的關系映射到伊辛模型的耦合系數Jij。比如在處理最大切割問題時，σ 可以作為處在兩個不同節點集合的標記， σ 的值的求解就是伊辛模型，就是DOPO 網絡中脈沖的干涉后的高低電平測量信息所對應的結果。

P7：相比模擬退火從高能量“下山”尋找低能量和量子退火使用量子隧穿“穿過”高能量態的方法，相干伊辛機選擇了最小增益原理，即選擇最小的泵浦光強度保證只能提供最低能量的基態自旋被激發。相比量子退火設備需要接近絕對零度的運行環境來滿足材料超導性，相干伊辛機可以在室溫下運行。

P8：最后是一個利用相關伊辛機求解100個節點的Mobius圖最大割問題的例子和實驗結果展示。PPT圖7展示了一臺測量反饋型相干伊辛機真機示意圖。它由三部分組成：DOPO、二次諧波發生（SHG）以及光纖環組成的主光路部分，注入光部分和測量部分。主光路是解決組合優化問題的核心，光纖環中儲存DOPO 脈沖。注入光部分則根據光電探測器的測量結果，調制反饋脈沖，并通過分束器注回光纖環，實現DOPO 脈沖間的耦合。最后，借助高靈敏度的平衡零差探測器，測量脈沖相位，以找到對應伊辛問題的最優策略。

PPT圖8～圖10是利用這臺相干伊辛機計算具有100個節點的Mobius圖對應的最大割問題的實驗結果[12]。這個問題解空間為2100，利用窮舉法可知其最大割數為148。實驗結果如圖8～圖10所示，其中圖8展示了這臺測量反饋型相干伊辛機真機給出的一種此最大個問題的最優解組合，節點用紅藍兩色區分其屬于不同節點集;圖9顯示了伊辛機真機求解過程中，DOPO 振幅隨求解時間的演化，其中振幅為正對應測量信號高電平，即Mobius圖對應節點分到G1 部分，振幅為負則該節點被分到G2 部分;圖10是對100次相干伊辛機仿真算法（左側直方條）和真機（右側直方條）實驗結果的統計分布，可以看出真機在尋找割數為148 的最優解時具有更高的成功率。另外，伊辛機真機多次實驗迭代，穩定在伊辛問題基態的運行時間僅為2.1毫秒，顯示出其在計算速度方面的優勢。如今，相干光計算技術在最大割問題、旅行商問題、圖著色、圖聚類等典型的組合優化問題上的成功求解，為其在實際應用中的優越計算性能提供了有力的證明。它已在云計算、

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基金項目： 國家自然科學基金項目（62071064）;北京郵電大學研究生教育教學改革項目（2023Y033）。