超導量子計算門操作及其保真度測定的基本理論

摘 要 對于已有的超導量子比特器件，在進行系統標定之后構建相應的高保真度門操作是實現量子計算的關鍵步驟。作為“物理前沿介紹———超導量子計算”系列的第五篇，本文系統討論通過微波脈沖構建超導量子比特門操作的物理圖景以及基本方法，給出了一套單比特門操作的構建流程，并對門操作保真度的測定以及優化發展作延伸討論。本文旨在幫助廣大高校物理專業教師、高年級本科生、研究生以及對超導量子計算感興趣的理工科背景讀者系統了解超導量子比特門構建與門操作保真度測量與優化的整個基本過程。

關鍵詞 超導量子比特;門操作;保真度

超導量子比特的操控是通過微波工程實現的，目前通過設計一系列微波序列可以實現對超導量子比特的特定調控[1]。對于以Xmon為例的超導量子比特，其設計中起到接收微波序列的部分被稱為激勵線[2]。在本系列文章的第四篇[3]中著重討論了在超導量子比特中實現Rabi振蕩的方法，并確定了一個可將超導量子比特從|0gt;完全激發到|1gt;的微波脈沖，實際上，它可以看作是一個使超導量子比特的量子態繞著x 軸做旋轉的操控。在對超導量子比特進行系統的標定后，通過一100系列的門操作可以實現超導量子計算。2016年美國IBM 公司率先在互聯網上建立了簡明的超導量子計算云平臺Quantum Experience。實驗者登錄后能夠使用一臺5比特的超導量子計算機進行量子算法或量子模擬實驗，可以通過簡單的交互將各個量子門操作按實驗需求組成一個超導量子計算實驗。可以看到，近幾年發展起來的門操作是目前超導量子計算的關鍵要素，了解超導量子計算的門操作原理與門操作的保真度測量以及優化，對于超導量子計算整體的理解是必不可少的一步。

1 門操作的基本物理圖景

在詳細討論門操作微波脈沖構建的一般方法前，需要把各種門的定義與物理圖景做一個直觀說明，以下基于IBM 的qiskit程序包[4]進行討論。

如圖1所示，超導量子比特的量子態可以視為布洛赫球上的一個矢量。

單比特的門操作可以視為量子態在布洛赫球上繞特定軸特定角度的一個旋轉，定義一個繞任意軸任意角度旋轉為

其中，θ，φ 分別為旋轉軸的極角和方位角，φn 是繞旋轉軸旋轉的角度，由此我們就可以定義如X，Y，Z門的一些特定門操作。

在討論門操作前，將特定旋轉軸旋轉操作的數學表示給出，如表1所示。

X門操作的其定義是

因此，X門可視為繞y 軸旋轉π角度，再繞z 軸旋轉π角度組合而成。如圖2所示，從效果上看X門操作可以實現超導量子比特從|0gt;到|1gt;的過程，因此可將上述態矢量變換的操作與X 門操作相對應。由于在量子比特標定時對Rabi振蕩脈沖（X門操作）進行了詳細的校正[3]，因此X 門操作脈沖可以認為是可靠性較高的一種脈沖形式。

近年來隨著量子計算的不斷進展，RB理論也不斷得到優化，比如三能級粒子隨機標準測試（Qutrit Randomized Benchmarking）[20]講述多能級單比特RB 實驗擴展，多粒子同時標準測試（Simultaneous Randomized Benchmarking）[21]是有關同時多比特RB過程的擴展等，這里就不做展開了。圖11 DRAG 操作所用示意圖（a） 具有相同時域范圍的矩形和高斯脈沖; （b） 在頻域內，高斯脈沖的激發帶寬明顯窄于矩形脈沖的激發帶寬; （c）、（d） DRAG 操作后的高斯脈沖非諧性約為200MHz; （d） 從DRAG 操作后的傅里葉變換可見（Ωx and Ωy 曲線）由于非諧性分量被減小，從而抑制了高能級泄漏[22]

3 門操作DRAG 的優化

在單比特門操作中，除保真度外還有另一個重要的指標，那就是完成一個門操作所用的時間。實驗上，量子計算由復雜的門操作組成，由于量子比特退相干時間所限，實驗上需要在系統退相干前完成盡可能多的門操作，這就對門操作的時間提出了較高的要求，隨著量子計算的發展這個要求就顯得日益重要。矩形脈沖和高斯脈沖是兩種在超導量子計算中廣泛使用的微波脈沖。如圖11（a）、（b）所示，高斯脈沖的激發帶寬明顯窄于矩形脈沖，但由于高斯脈沖沒有明確定義的起始點和終點，在使用的時候需要增加截斷脈沖包絡線的操作。對于目前主流的傳輸子（Transnom）量子比特設計，由于高斯脈沖帶寬與典型Transnom的非諧性都在100MHz量級，所以高斯脈沖仍很難實現納秒量級的量子比特門操作，對二者進行傅里葉變換可以看到具有此帶寬的脈沖不僅可能引起在|0gt;和|1gt;之間的躍遷，甚至有可能引起在|1gt;和|2gt;之間的躍遷，從而導致所謂“高能級泄漏”問題，影響實驗質量[22，23]。

目前，抑制微波泄漏的方案被稱為絕熱門的導數約化（Derivative Reduction by Adiabatic Gate）[24]。DRAG方法是在原來的微波基礎上，附加一個與原微波脈沖項的導數有關的微波脈沖修正項，修正后的激勵微波對量子比特的作用項為

其中，Ωx（y）為微波脈沖在x 與y 軸上的幅度，α 是單比特的失諧量，Ωy （t）^σy／2是修正項，λ 為DRAG系數。通過DRAG操作后，如圖11（c）、（d）所示，再對微波函數做傅里葉變換可以看到這種可以引起高能級泄漏的頻率得到了抑制。

更直觀地，在圖12所示的布洛赫球上顯示DRAG效果，可以看到短脈沖微波高能級泄漏問題得到了較好的抑制，從而提高短脈沖下門操作的保真度[25]。在目前的超導量子計算系統中所實現的高保真門操作均基于DRAG脈沖及其改進方案。

4 結語

本文詳細地討論了如何通過微波實現對比特的門操作。門操作有兩個關鍵性的指標，一個是保真度，另一個是微波脈沖的時間。保真度的標定采用的RB標準流程，它能夠真實地反映出一個門操作的平均保真度大小，越短的脈沖越具有優勢，但會面臨微波泄露的問題，為了解決這個問題，需要采用DRAG 的方式，從而提高短脈沖的門操作保真度。

通過上面的討論，本文將本系列第四篇的器件表征基本流程圖擴充到了具備初步實驗能力的程度，如圖13所示。然而需要注意的是，這些都還是最基本的操作，在真正的量子計算實驗中，往往要面臨更多更復雜的問題，比如比特之間的磁通串擾[26]（Crosstalk），Z 波形失真[27，28]，二比特門的校準[29]等。

本系列的第六篇將重點放到超導量子比特器件的制備上，以期讓讀者對超導量子比特器件的實現與面臨的挑戰有一個直觀的認識。此外，由于原計劃在本文中討論的Single-shot（單光子模式）測量[30]方法與門操作關聯較小，故將在后續的文章中再進行討論。

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