多元表征視域下培養學生數學認知策略的途徑

摘" 要：培養學生的數學認知策略有利于數學問題的解決，多元表征能夠對知識進行不同形式的呈現，有助于學生多角度地理解問題. 因此，可以借助圖示表征、表格表征和模型表征等培養學生的數學認知策略.

關鍵詞：認知策略；多元表征；圖示表征；表格表征；模型表征

中圖分類號：G633.6" " "文獻標識碼：A" " "文章編號：1673-8284（2024）06-0021-05

引用格式：陳姍姍. 多元表征視域下培養學生數學認知策略的途徑［J］. 中國數學教育（高中版），2024（6）：21-25.

美國心理學家加涅認為，認知策略指運用有關人們如何學習、記憶、思維的規則支配人的學習、記憶或認知行為，并提高其學習、記憶或認知效率的能力. 數學認知策略是學習者在進行數學學習時，為更加高效長久地獲取并靈活運用數學知識，完成數學學習任務而采取的所有正向積極行為，既包含內部的信息加工，又包含外顯的舉動. 可見，培養學生的數學認知策略有利于提高學生的學習效率. 由于對同一個數學對象用不同的表征，可以幫助學生從不同的角度處理信息，因此多元表征在培養學生數學認知策略方面有著重要的地位.

一、圖示表征：解釋信息

當學生能夠將信息從一種表征形式轉化為另一種表征形式時，解釋就產生了. 學生在表征轉化中最能夠直觀接受的就是圖示表征，尤其是對于抽象或復雜的數學對象，可以用適切的表征為學生提供多種認知策略，讓不同認知風格的學生都能理解.

例1" 某中學高二年級進行籃球比賽，甲、乙、丙、丁四個班級進入半決賽. 規定首先甲與乙比、丙與丁比，這兩場比賽的勝利者再爭奪冠軍. 通過小組賽獲獎統計估計出他們之間相互獲勝的概率如表1所示，則甲奪冠的概率為（" " ）.

（A）0.15 （B）0.162

（C）0.3 （D）0.25

此題是一道概率題，與兩人對抗賽不同的是，情境中涉及四個班級. 題目以表格的形式給出四個班級相應的獲勝的概率值，除了考查學生概率知識外，還考查學生的數據分析能力，即對表中的數據進行解釋，難度較小. 然而，表1中的信息未能直接呈現數據與待求目標之間的關系. 那么，該如何用表1中的數據對問題進行分析呢？從題意可知，輪流賽可以類比球類比賽畫出對陣圖，如圖1所示.

由圖1可以很清晰地看出甲奪冠的情況有兩種，即在甲贏了乙的情況下，一是甲贏了“獲勝的丁”，二是甲贏了“獲勝的丙”，用獨立事件的乘法公式和全概率公式即可求解. 圖1把表1中的文字信息和數據信息都解釋清楚了，更加簡潔、直觀. 可見，圖示表征對理解數學問題是有優勢的，借助圖示表征可以使抽象的問題具體化，復雜的問題簡單化.

例2" 根據以往的臨床記錄，某種診斷癌癥的試驗具有如下效果：若以[A]表示事件“試驗反應為陽性”，以[C]表示事件“被診斷者患有癌癥”，則[PAC=]

對于初學全概率公式和貝葉斯公式的學生來說，此題中的信息還是比較抽象的，所有的數據都以符號的形式給出，學生難以捋順事件之間的關系. 概率問題中常用集合語言解釋各個信息，尤其是韋恩圖可以很好地解釋隨機事件發生的可能性，以及事件之間的關系，如圖2所示.

圖2很好地解釋了題干中各個事件之間的關系，結合全概率公式可以先求出[PA]，即[PA=PAC+]

[PAC=PCPAC+PCPAC]. 對照這個式子學生便可以知道要依據已知條件求出哪些信息，如根據[PC=0.005]求出[PC=0.995]，最后利用貝葉斯公式即可求解. 每學習一個新公式，學生的認知水平都需要不斷引導才能進步，而如何引導學生是值得教師思考的問題. 基于數學對象抽象、復雜等特點，采用多元化表征是科學的，也是必要的，尤其是圖示表征. 它不僅直觀，而且能夠很好地解釋文字語言與符號語言之間的對應關系，以及分析數據的優勢. 因此，教師要注重培養學生圖示表征的意識，提高學生的認知水平.

例3" 已知某家庭有甲和乙兩種遺傳病，該家庭成員[A]患甲病的概率為[415]，患乙病的概率為[215]，甲、乙兩種病都不患的概率為[710]. 則家庭成員[A]在患甲病的條件下，患乙病的概是" " " " .

記事件[M=]“A患甲病”，事件[N=]“A患乙病”，則[PM=415，PN=215]，且[PMN=710]. 因為[PMN=][PM+N]，所以[PM+N=1-PMN=310]. 由[PM+N=]

[PM+PN-PMN]，得[PMN=110]. 所以家庭成員[A]在患甲病的條件下患乙病的概率為[PNM=][P（MN）P（M）=110415=38].

由此可知，此題的求解需要根據題意把文字語言轉化為符號語言，然后再進行概率運算. 然而，學生對

[PMN=P（M+N）]與[PM+N=1-PMN]的理解是有難度的，未必能夠直觀地理解事件之間的關系，也就不能順利進行概率運算. 因此，韋恩圖的作用就凸顯出來了.

結合題意，可以得到如圖3所示的韋恩圖，幾個事件之間的關系得以清晰呈現. 陰影部分表示事件“家庭成員A既患甲種病，又患乙種病”，即“[M?N]”；圓外空白區域則表示事件“家庭成員A甲、乙兩種病都不患”，即“[MN]”，其概率是[PMN=710]. 因此，[PM?N=310]. 所以根據容斥原理，得[PMN=][PM+PN-PM+N]. 解釋清楚事件之間的關系后，概率的求解便較為容易.

其實，概率問題就是集合問題，用集合的語言解釋事件的關系是一種很好的途徑，而韋恩圖是集合語言最直觀的體現.

二、表格表征：提取信息

數學試題中的信息呈現有多種表征，如符號、文字和圖形等，學生在審題時常常難以提取有效信息，尤其是面對關系復雜、數據繁多的題目時更是感到束手無策，這時就需要用一種適切的表征對信息進行梳理. 表格是一種常見的數學語言，在數學解題中起著重要的作用. 其直觀性是不言而喻的. 尤其是在數據梳理方面，通過表格表征可以把數據之間的關系直觀地呈現出來.

例4" 2023年6月，某市地鐵1號線全線開通，在一定程度上緩解了市內交通的擁堵狀況. 為了解市民對地鐵1號線開通的關注情況，某調查機構在地鐵開通后的某兩天抽取了部分乘坐地鐵的市民作為樣本，分析其年齡和性別結構，并制作出如圖4所示的等高條形圖.

根據圖中（35歲以上含35歲）的信息，下列結論中一定正確的是（ " ）.

（A）樣本中男性比女性更關注地鐵1號線全線開通

（B）樣本中多數女性是35歲以上

（C）樣本中35歲以下的男性人數比35歲以上的女性人數多

（D）樣本中35歲以上的人對地鐵1號線的開通關注度更高

此題是一道應用題，考查學生的數據處理能力，培養學生的數據分析素養. 學生雖然比較容易理解題中給出的兩個等高條形圖，但是難以直接根據條形圖中的信息對4個選項的正誤進行辨別. 以選項A為例，“樣本中男性比女性更關注地鐵1號線全線開通”比較的是男性人數和女性人數的多少，而條形圖中的信息是每個數據所占比例，所以不能據此直接推斷出男性人數和女性人數. 這時，不妨把條形圖中的信息以表格的形式呈現，這樣就可以更直觀地呈現數據之間的關系. 設35歲以上的男性有[a]人、女性有[b]人，35歲以下的男性有[c]人、女性有[d]人. 為了更清晰地分析數據，可以在條形圖中的相應位置標注出a，b，c，d，如圖5所示. 再借助2[×]2列聯表便可以分析數據之間的大小關系，如表2所示.

由圖5（a）可知[agt;b，cgt;d]，由圖5（b）可知[agt;c，][bgt;d]. 得到這4個數之間的大小關系后，便可以根據不等式的性質對各個選項的正誤進行判斷. 選項A是比較[a+c與b+d]之間的大小關系，選項B是比較[b與d]之間的大小關系，選項C是比較[c與b]之間的大小關系，選項D是比較[a+b與c+d]之間的大小關系. 顯然，借助表格可以把數據之間的關系非常直觀地呈現出來，有利于對信息進行進一步加工處理.

例5" 長時間玩手機可能影響視力. 據調查，某校大約有20%的學生近視，而該校大約有10%的學生每天玩手機超過1小時，這些學生的近視率約為60%. 現從每天玩手機不超過1小時的學生中任意調查一名學生，則他近視的概率為" " " " .

概率知識對于高中數學教學來說是一個難點，尤其是對于新增加的全概率公式的教學，教師對教材的分析和對學情的把握都有難度. 學生對概率問題也有一定的畏懼心理，由于文字、數據等信息較多，其難以通過題中的信息對復雜事件的樣本空間進行準確劃分，即把復雜事件表示為互斥的事件的并. 例5的解題難點不僅在于對全概率公式的直接應用，更在于通過全概率公式列出式子后還要求解出“近視的概率”. 顯然，這是對全概率公式的逆用. 而學生對全概率公式的應用大多數是用概率的加法和乘法公式求出概率. 全概率公式的特點是“由因找果，多因一果”. 其中，“果”就是待求概率，而“因”則是對樣本空間的劃分. 因為數學公式都是符號化的表達，所以解決此類問題需要把題目中的文字信息和數據用符號表達，這樣才能代入全概率公式. 依據題意，設[A1=]“玩手機時間超過1小時的學生”，[A2=]“玩手機時間不超過1小時的學生”，[B=]“任意調查一人，此人近視”. 根據題意把數據和信息符號化，即[PA1=0.1，PA2=0.9]，[PBA1=0.6，PB=0.2]. 由全概率公式[PB=PA1 ·]

[PBA1+PA2PBA2]，得[PBA2=745]. 在這個過程中，學生的難點有兩個：一是對樣本空間的劃分；二是對文字信息和數據信息的符號化表達. 但是，如果把題中的信息以表格的形式呈現則會清晰得多，并且能夠把每個數據對應的實際意義也表示出來，如表3所示.

從表3中的已知信息和待求目標可以知道如何完善該表格，其中兩個“合計”欄是比較容易的，而根據信息“該校大約有10%的學生每天玩手機超過1小時，這些學生的近視率約為60%”可以完成表3第一行數據的填寫，而后可以完善第二行數據，如表4所示.

由表4可以直接得到從每天玩手機不超過1小時的學生中任意調查一名學生，則他近視的概率為[14%90%=][745]. 可見，通過表格表征可以讓學生很直觀地理解樣本空間的劃分，明確事件之間的獨立性與互斥性. 表格表征在數據分析上具有較大的優勢，它可以把題干中抽象、復雜的信息提取出來并直觀呈現. 其實，分析數據的過程就是對信息提取的過程，只有把題干中的有效信息都提取出來，才能進一步加工信息、解決問題.

三、模型表征：加工信息

大腦對信息的加工很大程度上取決于學生已有的認知圖式，而模型表征則是促進學生構建認知圖式的一種方式. 模型表征是對一系列知識的提煉與抽象，把看不見的思維可視化. 模型意識有助于學生快速構建解題思路，如對于常見的函數模型[y=xex，] [y=exx，]

含參函數的零點問題常常采用參變分離法求解. 但是在分離參數的過程中，學生會出現分離不恰當的現象，即弄不清分離的原則. 最常見的策略是把參數獨立出來，將原函數變成“一動一靜”的兩個函數，隨后研究兩個函數的交點.

對于例6，可以將函數[fx=3x-tlnx]存在兩個零點轉化為方程[3x=tlnx]有兩個正根，再進一步把求方程的根轉化為兩個函數圖象的交點，這時就會出現多種求解思路，如[y=3t]與[gx=lnxx]，或者[y=t3]與[hx=xlnx]，只需要確保等價變形即可. 但是為了減少運算量，應該盡量變形為熟悉且簡單的函數模型. 因此，可以變形為“函數[y=3t]與函數[gx=lnxx]”，理由是[gx=lnxx]的圖象比[hx=xlnx]的圖象更簡單.

例7也是參變分離問題，在分離的過程中，得到[aex≥1x]之后，模型意識單薄的學生可能直接分離參數得到“[a≥1xex]”，而模型意識較強的學生則會得到“[xex≥1a]”. 顯然，后一種分離方式可以將問題轉化為熟悉的函數模型[y=xex]，有利于快速且正確地解題.

上述6種函數模型除了在分離參數的過程中運用較多外，在不等式的證明中也經常用到. 例8為不等式證明問題，需要對不等式進行變形. 可以嘗試把一個復雜的函數變為兩個簡單的函數，分別求出它們的最值，借助最值進行證明. 一般情況下，先把指數函數和對數函數分離兩邊，再根據不等式的結構特點，結合函數模型進行變形，即可得到[elnx-exlt;exx-2e]. 變形后的不等式簡單許多，不等式兩邊的最值也很容易求出，從而快速得證.

證明不等式的關鍵是對不等式進行適當地變形，即通過變形對一些較為復雜的不等式進行適當地簡化，把不熟悉或不常見的函數變為簡單或熟悉的函數. 這就要求教師在教學中要引導學生儲存一些非初等函數模型，尤其是與指數、對數和三角有關的函數模型.

可見，在信息加工的過程中，學生對已有知識的儲存方式是很重要的. 零散的儲存方式不僅會增加記憶的負擔，而且難以提取，要想學生快速提取已有的知識解決問題，必須對知識進行梳理、編碼等，把不同的知識聯結起來. 聯結得越緊密，記憶就越牢固. 而模型表征就是整合不同知識的一種方式. 因此，培養學生的數學認知策略要注重模型表征意識.

總之，培養學生的數學認知策略是教學中的關鍵環節，只要學生的認知水平提高了，其解決數學問題的能力自然也會提升.

參考文獻：

［1］吳紅耘，皮連生. 學與教的心理學［M］. 上海：華東師范大學出版社，2020.

［2］郇青霞. 初中生數學認知策略的現狀與優化途徑研究［D］. 甘肅：西北師范大學，2021.

［3］安德森. 學習、教學和評估的分類學［M］. 皮連生，譯. 上海：華東師范大學出版社，2008.

基金項目：廣東省教育科學規劃2022年度中小學教師教育科研能力提升計劃項目一般課題——基于數學表征的高中生運算素養培養實踐研究（2022YQJK554）.

作者簡介：陳姍姍（1982— ），女，高級教師，主要從事高中數學教育教學研究.