立足教材尋找高考創新試題的生長點

摘" 要：2023年高考數學新課標Ⅰ卷第21題，融概率的相關概念和計算、數列求和等知識方法的考查于一體，突出體現了綜合性、應用性、創新性的命題特點，突出考查了數學建模、數學抽象、數學運算等核心素養. 圍繞該題的立意和題源進行探究，積極尋找該題創新命題的生長點，并就如何加強數學抽象和數學建模素養在數學教學中的正向和逆向運用提出了建議.

關鍵詞：立意分析；題源探究；問題情境；核心素養

中圖分類號：G633.6" " "文獻標識碼：A" " "文章編號：1673-8284（2024）06-0048-04

引用格式：徐樸. 立足教材尋找高考創新試題的生長點：2023年高考數學新課標Ⅰ卷第21題題源探究與教學建議［J］. 中國數學教育（高中版），2024（6）：48-51.

近年來，高考數學全國卷的試題力求實現由知識立意、能力立意向素養立意轉變，反題海、反刷題、反套路、反押題特點十分明顯，考教銜接取向更為突出，特別是在2023年和2024年的高考數學試卷中，多道試題能夠在人教A版《普通高中教科書·數學》（以下統稱“人教A版教材”）中找到基礎原型或原題，突出考查了數學抽象、數學建模和數學運算等核心素養. 下面以2023年高考數學新課標Ⅰ卷第21題為例進行說明.

一、試題解析

題目 （2023年新課標Ⅰ卷·21）甲、乙兩人投籃，每次由其中一人投籃，規則如下：若命中則此人繼續投籃，若未命中則換為對方投籃. 無論之前投籃情況如何，甲每次投籃的命中率均為0.6，乙每次投籃的命中率均為0.8. 由抽簽確定第1次投籃的人選，第1次投籃的人是甲、乙的概率各為0.5．

（1）求第2次投籃的人是乙的概率；

（2）求第[i]次投籃的人是甲的概率；

（3）已知：若隨機變量[Xi]服從兩點分布，且[PXi=1=1-PXi=0=qi，i=1，2，…，n，] 則[Ei=1nXi=][i=1nqi]. 記前[n]次（即從第1次到第[n]次）投籃中甲投籃的次數為[Y]，求[EY]．

解析：解題時，需要嚴格審視第[i]次投籃的人是甲（或乙）的概率與甲（或乙）每次投籃命中率的聯系與區別，切忌不明就里，張冠李戴，混為一談.

二、立意分析

該題以現實生活中的投籃問題為背景，融對概率與數列知識的考查于一體，是整份試卷中較為出彩的一題，體現了高考命題對基礎性、綜合性、應用性和創新性的要求.

從考查的知識點來看，第（1）小題是對條件概率和全概率公式的考查，要求學生能把復雜事件進行分解，運用互斥事件的概率加法公式和概率的乘法公式進行求解；第（2）小題是概率和數列的綜合，要求學生會用數列的眼光審視相關概率，通過構建遞推關系求出數列的通項公式；第（3）小題要求根據給出的新信息，求隨機變量的期望，涉及數列求和等知識.

從問題呈現的邏輯順序來看，三道小題由易到難，層層遞進，遵循學生的認知規律，按照人教A版教材知識的學習順序來設計問題，讓學生經歷知識的產生和發展過程. 例如，教材等差（比）數列部分，按照“依據具體實例—提煉遞推關系—推導等差（比）數列的通項公式—推導等差（比）數列的前[n]項和公式”這一學習路徑. 該題也是沿著這一路徑，先給出“投籃”這一生活情境，讓學生運用全概率公式探究獲得遞推關系，并通過構造等比數列求得通項公式，從而獲得概率表達式.

從考查能力、方法與素養來看，第（1）小題考查學生的分類討論能力；第（2）小題考查數學抽象、數學運算素養，以及從特殊到一般的歸納能力；第（3）小題由實際問題構造隨機變量，考查數學建模、數學運算等素養.

三、題源探究

該題是一道情境創新題，試題情境在教材的例題和習題中均有原型.

第（1）小題源自人教A版教材選擇性必修第三冊第50頁例4：“某學校有A，B兩家餐廳，王同學第1天午餐時隨機地選擇一家餐廳用餐. 如果第1天去A餐廳，那么第2天去A餐廳的概率為0.6；如果第1天去B餐廳，那么第2天去A餐廳的概率為0.8. 計算王同學第2天去A餐廳用餐的概率.”該題的背景只是將教材例題中的“選擇用餐地點”變成“選擇投籃人”，試題給出的概率數值和該題完全相同，考查知識點為全概率公式.

第（2）小題取材于人教A版教材選擇性必修第三冊復習參考題7的第10題：“甲、乙、丙三人相互做傳球訓練，第1次由甲將球傳出，每次傳球時，傳球者都等可能地將球傳給另外兩個人中的任何一人. 求[n]次傳球后球在甲手中的概率.”該題與教材習題的背景基本一致，都是從數列的角度思考，利用全概率公式構建遞推關系，再構造等比數列[pi-13]求通項公式. 這種利用構造法求通項公式的方法，源自人教A版教材選擇性必修第二冊第39頁的例12.

第（3）小題是一個新定義問題，兩點分布對應的原型正好是每一次投籃人是甲或乙，以及投籃命中與否. 第[i]次投籃甲投籃的次數是考查（隨機）變量，記為[Xi]. [Xi]的可能取值為0或1，即[Xi=1，第" i" 次投籃是甲，0，第" i" 次投籃是乙，] 所以[i=1nXi]表示前[n]次（即從第1次到第[n]次）投籃中甲投籃的總次數，即[Y=i=1nXi]，所以[EY=Ei=1nXi=][i=1nqi].

給隨機變量賦予實際意義或現實背景，對學生的應用意識和創新思維提出了很高的要求. 對于這一高含金量的問題，教材中有對應的原型嗎？答案是肯定的！人教A版教材必修第二冊第179頁的問題2就是它的原型：“眼睛是心靈的窗口，保護好視力非常重要. 樹人中學在‘全國愛眼日’前，想通過簡單隨機抽樣的方法，了解一下全校2 174名學生中視力不低于5.0的學生所占的比例，你覺得該怎么做？”在這個問題中，全校學生構成調查的總體，每一位學生是個體，學生的視力是考察的變量. 為了便于問題的描述，記“視力不低于5.0”為1，“視力低于5.0”為0，則第[i]個[i=1， 2， …， 2 174]學生的視力變量值為

此外，人教A版教材選擇性必修第三冊“7.2 離散型隨機變量及其分布列”通過多個生活實例讓學生分析概括，抽象出實際問題中的隨機變量. 例如，隨機抽取一件產品，“抽到次品”用1表示，“抽到正品”用0表示，即定義隨機變量[X=1，抽到次品，0，抽到正品;] 擲一枚硬幣，將試驗結果“正面朝上”用1表示，“反面朝上”用0表示，即定義隨機變量[X=1，正面朝上，0，反面朝上. ]這些變量都服從兩點分布. 這些問題都要求學生形成建立隨機變量和實際問題背景之間聯系的意識，是提升學生數學應用能力的最好抓手.

四、教學建議

以現實生活為背景的概率應用題，通常情境新穎，文字閱讀量大，內涵豐富，層次深入復雜. 若涉及概率與數列、不等式等相關知識的綜合題，如該題中隨機變量的期望與遞推數列的融合，則具有較強的應用性、綜合性和創新性，可能會出現在壓軸題的位置，具有一定的難度. 但其涉及的知識與方法仍然可以從教材中找到對應的原型. 正因為如此，筆者呼吁：無論是概率內容的新課教學還是高考復習，都應該以教材為抓手，立足教材，吃透典型例題、習題和基本方法，而不是把大量時間用在簡單重復練習和機械刷題上，切實避免脫離教材濫用教輔實施教學的現象，切不可本末倒置，丟棄根本（教材），努力將數學抽象、數學建模和數學運算等核心素養的培育落在實處. 因此，給出如下教學建議.

1. 要重視概念生成過程的教學

以概念教學為抓手，發展數學抽象素養. 以該題涉及的隨機變量和數列綜合題為例，在高考復習時，應該先回顧“數列”的學習過程，熟讀教材提供的豐富實例，讓學生用數學的眼光（抽象）觀察分析，用數學的語言（符號）表示描述，努力找出這些實例的共同點，抽象歸納出數列的概念. 在“隨機變量分布列”的學習中，教材同樣是先由幾個常見的實例抽象概括隨機變量的概念和特征. 讓學生切實經歷這些知識、概念的形成過程，經歷數學抽象和數學建模的實踐應用，進而有效提升他們的思維能力與核心素養.

在該題的解決過程中，僅僅掌握求等差（比）數列的通項公式及前[n]項和、會計算分布列和期望是不夠的，關鍵是讀懂題意，分析探究題中第[i]次投籃的人是甲（或乙）的概率，以及它與甲（或乙）每次投籃命中率的聯系與區別. 探究[pi+1]與[pi]的關系，通過構造求出遞推數列的通項公式. 根據給出的兩點分布定義，給隨機變量賦予實際意義和現實背景. 可見，解題過程環環相扣，逐步深入，體現了“實際問題—用數學觀點分析—用數學模型解釋—用數學方法解決—給出實際問題答案”這一知識發生發展和問題解決的過程. 其中，數學抽象、數學建模是最基本、最重要的素養和力量.

2. 要重視生活情境問題的教學

要積極引導學生自己尋找生活實例，培養學生的數學應用意識和創新意識. 在教學中，我們不僅要注重培養學生分析問題和解決問題的能力，還應該重視培養學生發現問題、提出問題的意識和能力.“發現問題和提出問題”之所以放在“四能”之首，主要是為了促進和發展學生的應用意識和創新意識. 我們應該充分地認識到這一點.

該題第（3）小題的解答，需要根據問題背景與新給出的隨機變量[Xi]服從兩點分布的特點，賦予隨機變量一個適合的實際意義. 對于“前[n]次（即從第1次到第[n]次）投籃中甲投籃的次數為[Y]”，要問一問：每一次投籃是甲投還是乙投？這是典型的兩點分布問題. 然后根據[Ei=1nXi=i=1nqi]很容易想到如何求[EY]. 因此，在實際教學時，不但要引導學生學會從實際情境中抽象概括出數學概念，構建數學模型解決問題，努力讓生活情境數學化，也要努力在現實生活中找出已知數學模型、數學工具對應的情境，努力實現數學生活化，為學生的數學學習創造更豐富的生活情境和實際場景. 例如，我們在隨機變量概念教學時，應該讓學生多舉一些隨機變量的實例. 在擲骰子試驗中，除了設計“擲一枚骰子所得的點數”這一隨機變量外，還應該問一問：這樣的背景，還可以構造或設定哪些隨機變量？進而讓學生體會到，還可以得到兩次點數之和、兩次點數之積等隨機變量. 在學習兩點分布時，還應該想到：學生的性別、電路的開關狀態、病毒檢查結果等都是符合兩點分布特點的隨機變量. 在課堂教學中，教師應該引導學生盡可能多地想象一些數學知識可能存在的各式各樣的情境、背景，實現雙向互逆對應轉化，讓他們感受到生活與數學密不可分，生活與數學相互交融，真正達成“用數學的眼光觀察現實世界，用數學的思維思考現實世界，用數學的語言表達現實世界”的目標.

參考文獻：

［1］中華人民共和國教育部. 普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）［M］. 北京：人民教育出版社，2020.

［2］史寧中，王尚志.《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》解讀［M］. 北京：高等教育出版社，2020.

［3］方亞斌. 高考數學命題探秘［M］. 杭州：浙江大學出版社，2019.

［4］教育部教育考試院. 高考試題分析·數學（2024年版）［M］. 北京：語文出版社，2023.

作者簡介：徐樸（1981— ），高級教師，主要從事高中數學課堂教學、命題和評價研究.