分析高考試題 把握教學方向

摘" 要：以2024年高考數學新課標Ⅰ卷和新課標Ⅱ卷中的解析幾何題為例，分析高考解析幾何試題的命題意圖及其對學生能力的層次要求，提出高中數學和復習備考的教學策略，即真正研究高考試題、課程標準、教材，把握方向；真正落實課程標準要求，積累研究解析幾何問題的活動經驗，提升學生的運算能力和數學思維.

關鍵詞：高考試題；解析幾何；運算能力；數學思維

中圖分類號：G633.6" " "文獻標識碼：A" " "文章編號：1673-8284（2024）06-0038-05

引用格式：田晨曦，李瓊，劉暢. 分析高考試題" 把握教學方向：2024年高考數學新課標Ⅰ卷和新課標Ⅱ卷解析幾何試題的教學啟示［J］. 中國數學教育（高中版），2024（6）：38-42.

分析2024年高考數學新課標Ⅰ卷和新課標Ⅱ卷，發現如下兩個突出特點：第一，高考試題結構發生了改變. 2024年高考數學新課標Ⅰ卷和新課標Ⅱ卷的解答題由原來的6道且每個模塊對應的試題位置相對固定，調整為5道且每個模塊對應的試題位置不固定；第二，考查內容去模式化，試題去題型化，解答方法去套路化. 自2020年至2023年，共有全國新高考試卷或新課標試卷8份（每年兩份，分為Ⅰ卷和Ⅱ卷），這些試卷中的試題較同年其他高考數學試卷有了重大改變. 而2024年新課標Ⅰ卷和新課標Ⅱ卷在此基礎上，加大了改革力度，可以說是一次從量到質的改變. 變化的核心圍繞著“回歸課程標準、重視教材”.

綜觀2024年新課標Ⅰ卷和新課標Ⅱ卷，共考查了6道解析幾何試題，筆者認為可以將這6道試題劃分為四個層次，具體如表1所示.

一、試題再現

1. 層次一 ——注重考查數學基礎知識

二、高考命題趨勢分析

高考解析幾何試題涵蓋選擇題、填空題和解答題三種題型. 其中，選擇題和填空題主要考查學生對基本概念和性質的掌握情況，解答題主要考查學生的計算和綜合運用能力. 整體而言，高考解析幾何試題可以分為以下三類.

第一類的特點是簡單，即以對基本概念和性質的考查為主的選擇題和填空題，解答題大多數在聯立直線方程和曲線方程后，利用根與系數的關系，再通過步數不多的計算即可求解.

第二類的特點是復雜，即選擇題和填空題的命制背景都是解析幾何中的二級結論，解答題的命制背景都是平面幾何和射影幾何中的復雜定理. 例如，橢圓和雙曲線的第三定義、中點弦定理、蒙日圓、蝴蝶定理、坎迪定理、極點極線、調和點列、圓錐曲線的圓冪定理等.

第三類的特點是靈活，即選擇題和填空題中基本沒有二級結論的內容，轉變為考查圓錐曲線的幾何性質，或新方程和新曲線. 例如，前面提到的2024年新課標Ⅰ卷第11題. 解答題中雖然涉及平面幾何和射影幾何背景的定理，但破解題目的落腳點為教材范圍內的基礎知識、基本思想和基本方法. 例如，2022年新課標Ⅱ卷第21題，2023年新課標Ⅰ卷第22題和2024年新課標Ⅱ卷第19題.

對于第二類題目，教師的應對辦法往往是給學生大量補充相關知識內容，使學生每天疲于背會和練熟這些遠超出教材的內容. 長此以往，學生能否解出高考解析幾何題取決于是否知道相關二級結論和定理，是否見過類似的題目. 把數學這樣一個需要思維的純理科，當成了需要大量記憶的文科來學. 那么，這是第二類題目的考查目的嗎？答案顯然不是. 這類試題的命制初衷不是考查學生的知識量，而是要求學生注重思維量，考查學生運用數學思維和數學方法解決問題的能力.

遺憾的是，廣大教師并沒有意識到這一點. 2024年1月普通高等學校招生全國統一考試適應性測試（以下統稱“九省聯考”）數學試卷公布后，為了應對最后的“新定義”問題，又掀起了以高等數學為背景的“新定義”壓軸題的風潮，各地的模擬試卷中充斥著大量有關微積分、行列式、數論、隨機過程的內容，再次把學生推向了“新定義”的深淵. 而2024年新課標Ⅰ卷的第19題公布后，這些教師才發現讓學生學習超綱內容是多么的荒謬. 這與前面提到的應對第二類解析幾何試題的方式是何其相似. 長此以往，學生被迫學習大量遠超課程標準要求的高難度內容，最終的結果就是大量學生失去對數學的興趣，對數學的學習被動“躺平”.

筆者認為，正是高考命題人注意到了這樣的現象，所以才有了第三類高考題目，2024年新課標Ⅰ卷和新課標Ⅱ卷的命題風格也是以此類題目為主. 避免教師補充超出教材范圍的內容，避免學生大量刷題，避免解題方法套路化. 取而代之的，是靈活運用教材中研究一類數學問題的一般過程和一般方法，重點考查數學結論的推導過程，以及在其過程中所培養的數學思維，而非結論本身. 所以破解這類高考試題，根本無須用到任何解析幾何的二級結論和平面幾何、射影幾何的復雜定理. 這與第二類高考試題的命題初衷是一致的. 命題人通過第三類題目進一步去二級結論化、去復雜定理化，達到了真正的“靈活”.

高考試題發展到現在，再對比2024年的九省聯考數學試卷、新課標Ⅰ卷和新課標Ⅱ卷，對廣大教師應該起到了一定的警醒作用. 試圖通過超綱、超量補充知識，讓學生機械記憶相關內容和題型，靠混知識和題型的臉熟去應對高考試題的日子，已經一去不復返了. 因此，如何開展高中數學的教學和高考數學的復習，是值得探索的.

三、探索高中數學教學和高考數學復習正途

經過十余年探索，教育部教育考試院確定了高考命題的基本要求：考查內容限定在課程標準范圍之內，既注重考查內容的全面性，又突出對主干知識和重點內容的考查；考查要求依據學業質量標準，深度不超過其規定的層次，注重考查對基礎知識、基本技能和基本方法的深刻理解，引導教學把精力放在講透課程重點內容上. 強調在深刻理解基礎上的融會貫通、靈活運用，不考死記硬背，不出偏題怪題，平和中有新意，靈活中見潛力，實踐中出真知，引導中學把教學重點從總結解題技巧轉向培養學生的學科核心素養，提升課堂效率和作業效率. 章建躍博士指出：如此明確的命題要求，就是要引導教學回歸課程標準、回歸教材的正道.

對此，筆者認為應該從以下幾個方面正確進行高中數學教學和高考數學復習.

1. 真正研究高考試題，把握試題考查方向

每年高考結束后，對高考數學評價最多的就是兩個字——“難”和“活”. 如前所述，“難點”在于不直接考查數學結論，而是考查數學方法和思維；“靈活”在于不考查固定題型，而是考查對知識、方法、技能、思維的靈活運用. 因此，教師需要真正研究高考試題，看清考查的本質，才能正確把握方向. 所謂真正研究，即結合課程標準、教材、高考評價體系認真分析高考試題的立意和考向.

2. 重視課程標準要求，重視教材、教參內容

章建躍博士指出：課程標準是教材編寫、課堂教學、學業評價和高考命題的依據，教材是教學的核心資源，教學應該遵循課程標準，根據學情、利用教材進行創造性設計與實施. 以教輔資料替代教材的做法是違背常識的，照搬教輔資料內容更是誤人子弟.

教材中的例題和習題，全面覆蓋了學生所需掌握的基礎知識、基本方法和基本思想，并且由淺入深、有梯度地呈現了對學生數學思維的發展要求. 人教A版教材中的“探究與發現”“閱讀與思考”欄目，是對教學主體內容的拓展延伸，能更好地培養學生的數學思維. 如前所述，2024年新課標Ⅰ卷第5題就源于教材中的例題和習題.

3. 重視知識研究過程，重視發展數學思維

在教學中，教師要注重數學知識的推導過程，并通過這一過程培養學生的數學思維能力，使學生在學習過程中積累基本活動經驗. 解析幾何的學科特點就在于它的綜合性，但對學生而言，綜合解決問題的能力需要逐步培養. 某些問題的綜合性和聯系性較強，求解過程中對思想方法的要求較高，伴隨著的是對學生思維能力的高要求. 因此，只注重結論，不注重結論產生的過程，不利于學生思維能力的發展和提高. 教師要避免只講結論、不講推導、盲目刷題.

對解析幾何中圓錐曲線的研究，一般都是按照如圖2所示的過程進行的.

如前所述，2024年新課標Ⅰ卷第11題的4個選項就是按照這一順序設置的.

教師要將這一過程展示給學生，尤其是圓錐曲線方程的推導過程. 在得到圓錐曲線的方程之后，對其進行適當變換，又可以產生新的結論. 以橢圓方程為例：[x2a2+y2b2=1 x≠0?y2-b2b2=-x2a2 x≠0?y2-b2x2=]

這說明，在平面直角坐標系中，動點[Px，y]與定點[A0，-b]和[B0，b]的連線的斜率之積是[-b2a2].

因為代數變形可以有不同途徑，通過考察不同途徑下代數運算的幾何意義，也可以發現幾何性質，這對于學生深化理解教學內容有好處. 例如，在推導橢圓的標準方程時，中間一步是[ax-c2+y2=a2-cx]. 用“距離”的眼光看待，可以把它變形為[x-c2+y2a2c-x=][ca]，這說明動點[Px，y]到定點[Fc，0]的距離與到定直線[x=a2c]的距離之比是[ca].

上述兩個過程，在人教A版教材選擇性必修第一冊第108頁例3和第113頁例6中也有體現. 帶領學生在經歷這一過程后，可以引發學生對過程性成果的深度思考和探究，激發學生的學習興趣和探索欲望. 這樣，學生在應對2024年新課標Ⅰ卷第11題時，才能游刃有余.

4. 重視幾何圖形分析，轉化減少代數計算

解析幾何的學習對學生運算能力的要求較高，必要的運算是不可避免的，這是由解析幾何的學科特點決定的. 關鍵是要把握解析幾何中運算的特點. 解析幾何中的運算是建立在幾何背景下的代數運算，所以要先用幾何眼光觀察，分析清楚幾何圖形的要素及其之間的基本關系，再用代數語言表達，而且在運算過程中要時刻注意利用圖形的幾何特征及圖形間的關系來簡化運算，這是解析幾何教學中突破運算難點的關鍵舉措. 然而，在解析幾何教學中，提高運算能力不僅要從代數角度入手，還要努力提高學生的幾何圖形分析能力，也就是要在落實數形結合思想上下功夫. 上述關于2024年新課標Ⅱ卷第19題的解答，就很好地說明了這一點.

高中數學如何教，高考數學如何復習，如何利用高考指導教學，是值得深入研究的. 教師只有真正讀懂了高考試題的考查內容，才能更好地開展教學工作，培養學生對數學的熱愛，從而提高學生的綜合能力.

參考文獻：

［1］中華人民共和國教育部. 普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）［M］. 北京：人民教育出版社，2020.

［2］章建躍. 數學教學中的一些常識［J］. 中國數學教育（高中版），2024（1）：3-5.

作者簡介：田晨曦（1982— ），男，中小學二級教師，主要從事高中數學教學和高中數學競賽教學研究；

李瓊（1982— ），女，中小學一級教師，主要從事高中數學教學研究；

劉暢（1994— ），男，中小學二級教師，主要從事高中數學教學研究.