一維諧振子薛定諤方程含時演化非級數(shù)解析解

摘 要 1926年薛定諤找到了一個一維諧振子薛定諤方程含時演化解析解。這個解并不是能量本征態(tài)波函數(shù)級數(shù)求和形式。這可以讓我們從新的角度理解量子系統(tǒng)的隨時間演化行為。本文主要對該含時演化解析解進行了分析，給出了兩種推導方法，然后繼續(xù)推廣得到了更多的含時演化非級數(shù)解析解，找到了這些解析解的遞推關(guān)系，最后討論了這些解析解的教學意義及應用。

關(guān)鍵詞 薛定諤方程;諧振子;含時演化;解析解

一維簡諧振動是物理學中簡單卻極其重要的物理問題之一。這是因為在自然界中廣泛存在著簡諧振動。任何物體在平衡位置處的小振動，如分子振動、晶格振動等，在適當選擇坐標系之后，一般都可以分解為獨立的一維簡諧振動。簡諧振動還往往是復雜運動的初步近似，簡諧振動的解也是求解復雜問題的出發(fā)點。在量子力學中，由簡諧振子問題求解而產(chǎn)生的算子代數(shù)、產(chǎn)生和湮滅算符是量子力學形式體系的基本內(nèi)容，也是表述量子力學的重要手段，特別在相對論量子場論中，諧振子自由場的產(chǎn)生和湮滅是進一步表達場相互作用的基礎(chǔ)。諧振子系統(tǒng)也是物理學理論中少有的能夠有嚴格解析解的物理系統(tǒng)。經(jīng)典力學的簡諧振動方程，量子力學的諧振子波函數(shù)，以及路徑積分解析形式對理解諧振子及其相關(guān)物理機制有著重要意義，因此諧振子問題的探討是經(jīng)典力學、量子力學以及量子場論的重要內(nèi)容。