具有媒體效應的分數階SAIQR傳染病模型

摘要： 為探究Omicron新冠病毒的傳播機理，預測疫情發展趨勢，建立一類具有媒體效應的Caputo-conformable分數階SAIQR新冠肺炎傳染病模型。分析模型的基本再生數、平衡點、穩定性等動力學行為，利用真實數據和非線性最小二乘方法擬合模型參數，并對參數進行敏感性分析。仿真結果表明，媒體效應參數對感染人數的降低起重要作用，調節兩個分數參數相比于調節單個參數使模型數值解擁有更大的自由度。

關鍵詞： SAIQR傳染病模型；Caputo-conformable分數階；媒體效應；敏感性分析

中圖分類號：O175.13；O29文獻標識碼： A

A Fractional-order SAIQR Epidemic Model with Media Effects

HU Xinghua， LIU Yingyue

（College of Science， Liaoning Technical University， Fuxin 123000， China）

Abstract：In order to explore the transmission mechanism of Omicron COVID19 and predict the epidemic trend， a Caputo-conformable fractional-order SAIQR epidemic model with media effects is established. The basic reproduction number， equilibrium points， stability and other dynamic behaviors of the model are analyzed. The model parameters are fitted by nonlinear least squares with real data and we performed sensitivity analysis of parameters. The numerical simulation results indicate that the media effects parameters play an important role in reducing the number of infected individuals. Adjusting two fractional parameters gives the model numerical solution greater freedom compared to adjusting a single parameter.

Keywords： SAIQR epidemic model; caputo-conformable fractional-order; media effects; sensitivity analysis

0 引言

截至2022年11月10日，全球新型冠狀病毒確診病例超過6.30億，死亡病例超過658萬［1］。在當今信息化時代，媒體影響著公眾對傳染病的認識和防范。新冠疫情流行期間，大眾媒體每天都會對感染者數量、死亡病例數量、感染者行程軌跡、疾病的癥狀和預防措施等進行大量報道。通過媒體的宣傳，人們主動戴口罩、使用消毒液、非必要不前往中高風險地區等來預防感染，與此同時媒體報道的感染者行程軌跡可以幫助公眾判斷自己是否為密切接觸者并及時報備隔離，這些措施都能有效減緩傳染病的傳播與蔓延。在傳染病模型的研究中媒體效應對政府及個人預防和控制疾病傳播發揮著重要作用。

近年來，已有大量研究人員從不同角度將媒體效應引入經典傳染病模型中，如Kar等［2］以參數M代表媒體效應，使易感者中有意識進行防控措施的群體直接變為恢復者嵌入SEIR傳染病模型中；Li等［3］將媒體效應嵌入SIS模型的非線性發生率（β1－β2I/（m+I））SI中，通過媒體報道控制傳染病的傳播；Huo等［4］將媒體報道的信息量作為一個變量整合到模型中建立SEIM模型，并討論模型的穩定性和分岔特征，結果表明媒體信息是控制傳染病傳播的重要指標。這些模型均間接地通過媒體報道量反映個體行為改變對傳染病的影響。對于當下COVID19動力學模型，根據其傳播特點Chang等［5］將媒體報道的信息作為一個變量融入到SIHRM模型中，討論新冠肺炎的傳播特點并建議復工后保持媒體報道的信息量和執行率是非常必要的預防措施；Feng等［6］構建一個新的具有媒體覆蓋和隔離的新冠肺炎傳染病模型，并根據媒體報道將易感者分為有意識和無意識兩個倉室建立S1S2EIQR模型；張鈺倩等［7］建立一類具有媒體效應和追蹤隔離的SIQR時滯傳染病模型，模型中媒體效應不僅作用于有效接觸率，還對新冠陽性病例及其密切接觸者追蹤隔離的準確率發揮重要作用。Li等［8］在具有媒體效應單獨變量的SIEM模型的接觸傳播率中嵌入指數型媒體函數，在雙重媒體效應下討論COVID19的傳播規律。以上文獻全部使用整數階傳染病模型來理解媒體效應對疾病的感染動態，而現實中病毒傳播過程具有記憶和遺傳特性，這與分數階導數刻畫記憶和遺傳性質相一致。

目前，已有許多科研人員認為將整數階模型擴展到分數階是對自然和現實的系統化表示［910］。近年來分數階傳染病動力學模型的研究備受關注，如Rajagopal等［11］研究Caputo分數階SEIRD新冠肺炎傳染病模型；Boudaoui等［12］使用具有非奇異核的Caputo-Fabrizio分數階導數研究新冠病毒的動力學模型；Baleanu等［13］對具有隔離和檢疫效應的新冠肺炎不同分數階算子的分數階模型進行比較研究；Salman［14］提出一種結合記憶和媒體報道效應的新型HIV/AIDS感染模型；Maji［15］建立并分析考慮媒體效應的Caputo分數階SIR傳染病模型。分數階動力學模型的理論發展也促進各種不同類型的分數階微積分算子的提出，其中Caputo非局部微分算子憑借其不限制系統初始條件的優勢應用最為廣泛，但Caputo算子卻不滿足整數階導數的許多基本性質，如鏈式法則、指數函數的導數、分部積分、泰勒冪級數展開等。為解決這一問題，Khalil等［16］提出的conformable局部分數階微分算子保留了諸多整數階導數的良好性質，并在生物學領域得到廣泛應用［1718］。為擴大分數階算子的應用范圍，將非局部算子與局部算子相結合更有利于模型的動力學分析。Khan等［19］建立Caputo意義下具有conformable算子的分數階肺結核傳染病模型，通過與經典模型的比較，作者證明在該分數階導數意義下肺結核動力系統的優越性；文獻［20］使用Caputo意義下的conformable導數研究不同類型的logistic模型的穩定性和解的唯一性；Sania［21］考慮在β階Liouville-Caputo算子的意義下，借助α階conformable導數研究疫苗接種對麻疹動力學的影響。將Caputo非局部算子與conformable局部算子相結合得到的Caputo-conformable分數階算子，更好地在病毒傳播的記憶方面發揮重要作用。

鑒于此，在豐富理論研究和應用價值的雙重驅動下，本文提出一類具有媒體效應的Caputo-conformable分數階（以下簡稱CC分數階）SAIQR新冠肺炎模型?；贠micron毒株感染力強、致病力弱等傳播特征，將媒體效應嵌入無癥狀感染者感染率中建立整數階SAIQR傳染病模型，并將整數階SAIQR模型推廣到CC分數階傳染病模型。計算出模型的基本再生數和無病平衡點，證明地方病平衡點的存在唯一性和無病平衡點的局部漸進穩定性。利用南非新冠肺炎真實數據對模型部分參數進行非線性最小二乘擬合，借助擬合參數對基本再生數進行敏感性分析。最后，使用分數階Adams-Moulton方法對媒體效應參數和模型不同分數參數進行數值模擬，基于模擬結果給出合理化建議。

1 預備知識

定義1［9］ 設α為正實數（αgt;0），且n－1≤αlt;n，n∈Z+，函數f（t）定義在閉區間［a，b］上，稱

CaDαtf（t）=1Γ（n-α）∫ta（t-τ）n-α-1f（n）（τ）dτ

為函數f（t）的α階Caputo分數階導數，其中t∈［a，b］，Γ（·）是Gamma函數，Γ（s）=∫+∞0ts－1e－tdt。

定義2［16］ 假設函數f：［0，∞）→R，其Conformable分數階導數的定義為

KDβtf（t）=limχ→0f（t+χt1-β）-f（t）χ，tgt;0

其中，β∈（0，1）。若f在區間（0，a）上可導數，agt;0且limt→0+f（β）（t）存在，則定義fβ（0）=limt→0+f（β）（t）。

引理1［16］ Conformable分數階導數與局部經典整數階導數相關的一個重要性質

KDβa，tf（t）=（t-a）1-βf′（t）

定義3［22］ 假設Re（α）≥0，n=［Re（α）］+1，f∈Cnβ，a（［a，b］），f∈Cnβ，b（［a，b］）。Caputo意義下的Conformable導數的定義為

αCDβa，tf（t）=1Γ（n-α）∫ta（t-a）β-（τ-a）βαn-α-1nDβa，τf（τ）（τ-a）1-αdτ=n-αCJβa，tnDβa，tf（t）

2 CC分數階SAIQR模型的構建

鑒于感染Omicron株者以無癥狀及輕癥為主，傳播力、免疫逃逸力增強與致病力減弱的特點，將某一區域t時刻的總人口數N（t）分為易感者S（t），無癥狀感染者A（t），有癥狀感染者I（t），隔離者Q（t）和恢復者R（t）5類，且滿足N（t）=S（t）+A（t）+I（t）+Q（t）+R（t）。假設每一類人群自然死亡率均為μ，鑒于Omicron毒株致病力減弱，在此忽略因病死亡率。

Omicron的主要傳播方式是飛沫傳播，即與感染者的近距離接觸將有一定概率被感染。單位時間內一個病人與他人接觸的次數稱為接觸率k，若被接觸者為易感者，每次接觸傳染的概率為β0，β0k稱為有效接觸率（或稱為感染率）。媒體報道的作用則是降低接觸率，尤其對于一些未檢測出陽性的無癥狀感染者，通過媒體宣傳可降低其感染他人的風險。本文模型中只考慮媒體效應作用于易感者與無癥狀感染者，而對于有癥狀感染者則假設其自身會主動遠離人群，故媒體效應不考慮有癥狀感染者與易感者的關系。文獻［14］中媒體效應非線性函數為g（A）=β1－β2A/（m+A），將其嵌入本文模型無癥狀感染者感染率中，其中β1表示媒體報道之前易感者與無癥狀感染者的接觸率，β2A/（m+A）是衡量媒體報道無癥狀感染者數量后接觸率降低的效果，β2表示媒體報道可達到的對接觸率的最大削減作用，由于媒體不可能完全阻止疾病傳播，因此β1gt;β2gt;0；半飽和常數mgt;0表示媒體報道對接觸傳播影響的程度；函數A/（m+A）是一個考慮感染者數量飽和度或媒體對個體心理影響的連續有界函數［14］。

基于以上情況，SAIQR模型的傳播過程如圖1所示，模型中各方程的具體解釋如下：

1）模型考慮人口流動，假設單位時間內輸入總體的新個體數為θ，且全部為易感者；媒體效應作用于易感者S（t）與無癥狀感染者A（t），假設每次接觸傳染的概率為βA；假設一些有癥狀未及時自我隔離的感染者的感染率為βI；假設恢復者經過一段時間后自身抗體消失又轉化為易感者。易感者動力學方程為

S′（t）=θ－g（A）βAAS/N－βIIS/N－μS+γR（1）

2）無癥狀感染者A（t）指自身帶有病毒但無癥狀的患者，考慮到感染和癥狀發生之間有一段延遲，假設所有易感者一旦被感染，都會進入無癥狀狀態［23］，無癥狀人群包括永遠不會出現癥狀的無癥狀感染者和最終會出現癥狀的有癥狀感染者。假設單位時間內無癥狀感染者轉化為有癥狀感染者的概率為ε；δA為無癥狀感染者恢復率;經過檢測的陽性無癥狀感染者隔離率為n。無癥狀感染者動力學方程為

A′（t）=g（A）βAAS/N+βIIS/N－（μ+δA+ε+n）A（2）

3）有癥狀感染者I（t）指具有新冠肺炎癥狀的患者；δI為有癥狀感染者恢復率；經過檢測有癥狀感染者隔離率為n。有癥狀感染者動力學方程為

I′（t）=εA－（μ+δI+n）I（3）

4）隔離者Q（t）包括經過檢測被隔離的無癥狀感染者和有癥狀感染者；δQ為隔離者恢復率。隔離者動力學方程為

Q′（t）=n（A+I）－（δQ+μ）Q（4）

5）恢復者R（t）為感染者康復群體。由于實際新冠恢復者有二次感染的病例，故假設恢復者失去免疫再次變為易感者的概率為γ，其動力學方程如式（5）所示：

R′（t）=δAA+δII+δQQ－（γ+μ）R（5）

考慮記憶和遺傳效應對新冠病毒傳播的影響，結合conformable分數階導數的良好性質，將整數階微分方程（1）～（5）推廣到CC分數階新冠肺炎傳染病模型：

Cα0DβtS（t）=θ-（β1-β2A/（m+A））（βAAS/N）-βIIS/N-μS+γRCα0DβtA（t）=（β1-β2A/（m+A））（βAAS/N）+βIIS/N-（μ+δA+ε+n）ACα0DβtI（t）=εA-（μ+δI+n）ICα0DβtQ（t）=n（A+I）-（δQ+μ）QCα0DβtR（t）=δAA+δII+δQQ-（γ+μ）R（6）

其中，α∈（0，1）對應Caputo分數階次，β∈（0，1）對應conformable分數階次，S（0）≥0，A（0）≥0，I（0）≥0，Q（0）≥0和R（0）≥0是模型（6）的初始條件。

3 CC分數階SAIQR模型的理論分析

3.1 模型的正不變集

定理1 α階Caputo意義下的β階conformable分數階SAIQR新冠肺炎模型（6）的正不變集為

Φ=（S（t），A（t），I（t），Q（t），R（t））∈R5+：0≤S（t）+A（t）+I（t）+Q（t）+R（t）≤θ/μ，t≥0

證明：由實際情況可知，S（t），A（t），I（t），Q（t），R（t） 5個群體皆為正實數，將模型（6）中5個方程相加可得Cα0DβtN（t）=θ-μN（t），根據引理1，有t1－βN′（t）=θ－μN（t），分離變量得N（t）=（1/μ）（θ-e-μtβ/α），因此可推出不等式limt→∞supN（t）≤θ/μ，故模型（6）的正不變集為Φ={（S（t），A（t），I（t），Q（t），R（t））∈R5+：0≤S（t）+A（t）+I（t）+Q（t）+R（t）≤θ/μ，t≥0}。由于Φ為模型（6）的正不變集，因此S（t），A（t），I（t），Q（t），R（t）在不變集內有界。

3.2 無病平衡點和基本再生數

由模型（6）可得系統的無病平衡點E0=（θ/μ，0，0，0，0）。利用下一代矩陣方法［24］計算模型（6）的基本再生數R0。由于基本再生數只與感染者有關，故模型（6）在無病平衡點E0處的感染矩陣F與轉移矩陣V分別為

F=β1βAβI00，V=μ+δA+ε+n0－εμ+δI+n

因此，模型（6）的基本再生數為FV－1矩陣的譜半徑，即

R0=ρ（FV－1）=β1βA（μ+δI+n）+βIε（μ+δA+ε+n）（μ+δI+n）

3.3 地方病平衡點的存在性

由模型（6）可得系統的地方病平衡點為E*=（S*，A*，I*，Q*，R*）。

A*=q1εI*， Q*=nq2εq4I*， R*=δAq1q4+δIεq4+δQnq2εq4q5I*， S*=θμ+γ（δAq1q4+δIεq4+δQnq2）μεq4q5I*－q3q1μεI*，

其中，q1=μ+δI+n，q2=μ+δI+n+ε，q3=μ+δA+n+ε，q4=δQ+μ，q5=γ+μ。

由模型（6）的第二個方程可得p1I*2+p2I*+p3=0，其中p1=q1q8（εγq6－q1q3）/ε－μq21q3q7，p2=m（εγq6－q1q3）（R0－1）q1q3+q1q8θ－μq1q3εmq7，p3=εmθq1q3（R0－1），q6=（δAq1q4+δIεq4+δQnq2）/εq4q5，q7=（μq1q4+μεq4+μnq2+μεq4q6）/μεq4，q8=（R0－1）q1q3－β2βAq1。由正不變集Φ的取值范圍，可得S*=θ/μ+γq6I*/μ－q3q1I*/μεlt;θ/μ，因此εγq6－q1q3lt;0，故有以下結論：

1）若R0gt;1，q8gt;0，有p3gt;0，p1lt;0，模型（6）存在唯一的地方病平衡點；2）若R0gt;1，q8lt;0，有p3gt;0，p2lt;0，且p1gt;0時，模型（6）存在兩個的地方病平衡點；3）若R0lt;1，有p3lt;0，q8lt;0，且p1lt;0，p2gt;0時，模型（6）存在兩個的地方病平衡點；4）若R0lt;1，有p3lt;0，q8lt;0，且p1gt;0時，模型（6）存在唯一的地方病平衡點；5）若R0=1，有p3=0，q8lt;0，p2lt;0，且p1gt;0時，模型（6）存在唯一的地方病平衡點；6）其他情況不存在地方病平衡點。

3.4 無病平衡點的局部漸進穩定性

定理2 若R0lt;1，a1gt;0，則模型（6）的無病平衡點E0局部漸進穩定；若R0gt;1，無病平衡點E0不穩定。

證明：當模型無感染者，即A=I=0時，模型（6）在無病平衡點E0=（θ/μ，0，0，0，0）處的Jacobian矩陣為

J（E0）=－μ－βAβ1－βI0γ0βAβ1－（μ+δA+ε+n）βI000ε－（μ+δI+n）000nn－（δQ+μ）00δAδIδQ－（γ+μ）

則模型（6）在E0處的特征方程為（μ+λ）（μ+γ+λ）（δQ+μ+λ）（λ2+λa1+a2）=0，其中a1=－βAβ1+2（μ+n）+δA+δI+ε，a2=（1－R0）（μ+δA+ε+n）（μ+δI+n），特征根λ1=－μ，λ2=－（μ+γ），λ3=－（μ+δQ）和λ4，5，其中λ4+λ5=－a1，λ4λ5=a2，當R0lt;1時，a2gt;0，此時λ4與λ5同號，若滿足λ4，5具有負實部，只需a1gt;0，故當R0lt;1，且a1gt;0時，模型所有特征值均小于0，模型（6）的無病平衡點E0是局部漸進穩定的。當R0gt;1時，a2lt;0，此時λ4與λ5異號，故無病平衡點E0不穩定。

4 參數估計

由于本文模型是在有媒體效應和隔離措施的條件下建立的，因此真實數據的來源也應具有媒體影響和防疫措施的背景，本文研究Omicron毒株的傳播，故選擇Omicron毒株的源頭南非作為真實數據來源地。Omicron毒株于2021年11月24日在南非首次報道，該階段疫情于2021年12月13日確診人數達到頂峰，基于該情況和真實數據存在一定的滯后性，本文使用南非2021年12月11日到2022年2月8日60天的確診病例［1］數據進行模型的參數估計，模型（6）中部分參數參考已有文獻，其余參數使用非線性最小二乘方法擬合得到，結果見表1。確診病例的數據擬合曲線見圖2。

在誤差分析方面，本文采用平均相對誤差（MRE）對模型（6）進行評價，令I為實際值，為估計值。MRE定義如式（7）所示：

MRE=1N∑Ni=1i－IiIi， i=（1，2，…，N）（7）

表2給出南非2021年12月11日到2022年2月8日60天模型（6）不同分數階次的擬合平均相對誤差，由擬合結果得到最佳分數階次α=0.97，β=0.96，利用模型最佳分數階次預測2022年2月9日到2022年2月28日20天的確診人數，如圖3所示，預測結果與實際數據的平均相對誤差為2.24%。對比整數階模型預測這20天的確診人數的相對誤差4.89%，本文分數階SAIQR模型具有較好的預測效果。

5 參數的敏感性分析

本節對模型的基本再生數R0進行敏感性分析，借助已有參數值確定基本再生數R0中各參數對它的影響程度，進而采取相應措施改變參數使得R0趨近于1，降低感染人數從而減緩傳染病傳播。根據文獻［27］中的歸一化正向敏感性指數計算方法獲得基本再生數中各參數的敏感性指數，具體公式如式（8）所示：

φR0ρ=R0ρρR0（8）

其中，ρ代表與R0相關的參數，利用式（8），對每個參數的敏感性指數進行計算：

φR0δA=－δAb2，φR0δI=－βIεδIb1（β1βAb1+βIε），φR0β1=β1βAb1β1βAb1+βIε，φR0βA=β1βAb1β1βAb1+βIε，φR0βI=βIεβ1βAb1+βIε，

φR0ε=βIεb2－β1βAεb1－βIε2b2（β1βAb1+βIε），φR0n=－n（β1βAb21+βIεb1+βIεb2）b1b2（β1βAb1+βIε），φR0μ=－μ（β1βAb21+βIεb1+βIεb2）b1b2（β1βAb1+βIε）

其中，b1=μ+δI+n，b2=μ+δA+ε+n。

基本再生數R0各參數的敏感性指數見表3。敏感性指數為負，表示該參數與R0是負相關關系；敏感性指數為正，表示該參數與R0是正相關關系。其中對基本再生數影響較大的4個參數是βI，n，βA和β1，因此，對應減少新冠傳播的有效方法為：1）降低有癥狀感染者對易感者的感染率βI，即政府嚴格及時執行有癥狀感染者的隔離治療，同時易感者盡量避免接觸有癥狀感染者；2）通過全面及時的核酸檢測篩查出感染者，并盡量提高隔離率n；3）控制βA每次接觸傳染的概率使其減小，即加強對易感者的疫苗接種、出門佩戴口罩、注意個人衛生等方法降低被感染的可能性；4）由于β1表示媒體報道之前易感者與無癥狀感染者的接觸率，該參數的大小與不同地區人口密度相關，若沒有媒體報道關于疫情的傳播情況及相關防控措施，處于正常生活狀態β1降低的可能性非常小。由此可以發現，通過媒體宣傳提醒公眾減少外出做好防護是降低接觸率的有效方法。

綜上所述，通過采取相應干預措施調節基本再生數R0的敏感參數可有效控制疫情傳播。

6 數值仿真

本節討論分數階SAIQR模型在α階Caputo意義下的β階conformable導數的數值模擬，根據Pérez和Gómez在先前研究中［28］提出的分數階Adams-Moulton方法對模型（6）進行數值仿真，模型初始值根據南非2021年人口總數假設為N（0）=60 140 000，S（0）=60 050 000，A（0）=51 000，I（0）=19 000，Q（0）=20 000，R（0）=0，參數見表1。

6.1 媒體效應對模型的影響分析

對于非線性媒體效應函數，雖然只有β1（媒體報道之前的接觸率）影響基本再生數的值，但參數β2（對接觸率的最大削減作用）在模型中也起到重要作用，本文固定分數階次α=0.97，β=0.96，令β1不變，比較β2大小對無癥狀感染者和有癥狀感染者的影響。由圖4可知存在媒體效應（β1=0.3，β2=0.1;β2=1;β2=5）的模型中感染者趨于0的速度大于不存在媒體效應（β1=0.3，β2=0）的模型，并且有癥狀感染者達到峰值的人數也隨著媒體效應對接觸率的最大削減作用的加強逐漸減少，說明媒體報道疾病的防護措施以及提高個人對疾病的認知等方法可以有效減少感染者數量，并縮短疾病傳播時間。

媒體已經成為當今信息時代不可缺少的一部分，媒體的報道關系到整個社會有秩序的發展和人民健康積極的生活，媒體對公眾的提醒可以有效安撫民心，并引導公眾共同努力抗疫，也只有通過媒體信息傳播速度快、范圍廣的特點，使新冠病毒的傳播在最短時間內得到控制。因此在分數階SAIQR新冠模型中嵌入媒體效應函數既豐富了傳染病模型的理論研究，又對社會、政府和公眾對抗病毒具有重要的實際意義。

6.2 兩個分數參數對模型的影響分析

本文討論模型（6）中兩個分數參數的變化對模型感染者數值解的影響，模型（6）參數除n=1/3，其他見表1，此時R0=0.698 1lt;1。令β=1，改變α的大小，圖5得到Caputo定義下的分數階新冠模型數值解；令α=1，改變β大小，圖6得到Conformable分數階新冠模型數值解。對比圖5與圖6發現，單一參數β對模型的收斂性強于單一參數α，但差異較小，當分別減小α，β分數階次，模型解的收斂性均減弱。

圖7同時改變α和β值，且令β分數階次低于α分數階次，得到CC分數階新冠模型數值解，結果驗證CC分數階SAIQR模型無病平衡點的局部漸進穩定性。對比圖57發現兩個分數參數同時變化對模型的收斂性要遠大于單一分數參數的變化。因此，相比于整數階和單一分數階算子模型，CC分數階新冠模型數值解擁有更大的自由度且更加貼合實際疫情傳播機理。

由以上媒體與分數階的數值仿真結果可以發現，媒體對傳染病的報道會使公眾提高意識、加強防備從而降低感染人數；CC分數階模型可以更好地應對疫情傳播中的復雜因素，尤其在新冠病毒不斷變異的社會背景下，CC分數階模型可以更好地擬合與預測未來疫情發展趨勢，可以在時間層面的每個瞬間提供更深層次的信息，針對不同防疫措施，不同地區擁有更廣泛的適用性。

7 結論

本文在Omicron新冠病毒傳播的背景下建立一類新的具有媒體效應的Caputo意義下的conformable分數階SAIQR新冠肺炎模型。首先，根據下一代矩陣方法求出模型基本再生數，計算出CC分數階SAIQR模型的無病平衡點和地方病平衡點，證明地方病平衡點的存在唯一性，采用Lyapunov一次近似定理證明無病平衡點的局部漸進穩定性。其次，利用2021年末南非新冠肺炎真實數據與非線性最小二乘方法對模型部分參數進行估計，通過數據擬合和計算平均相對誤差得到疫情對應階段最佳分數階次，進而更準確地預測疫情傳播。借助擬合參數進行基本再生數的敏感性分析。最后，使用Adams-Moulton數值方法對CC分數階SAIQR模型進行數值模擬。結果表明：1）調節對基本再生數影響較大的敏感參數可有效降低R0的值，建議政府采取及時隔離感染者、增加醫療資源和減少聚集性活動等措施調節隔離率與感染率；2）實際防控過程中加強媒體效應干預措施強度β2可有效控制疫情傳播，降低接觸率；3）CC分數階模型要比整數階模型和單一分數階模型預測疫情趨勢更加貼合實際，可通過靈活調節兩個分數參數擴展模型的適用范圍，為不同時期，不同地區的Omicron等變異毒株的防疫工作提供一定參考價值。

綜上所述，本文在理論和實際層面分析了模型的有效性，通過討論敏感參數、定量控制媒體效應參數和分數參數模擬不同防控措施，相應的模擬結果可直觀評估不同措施對疫情發展的影響，有利于政府制定合理、高效的防疫政策。至于CC分數階SAIQR傳染病模型在理論上加入擴散項、時滯項等內容的進一步研究留給未來的工作。

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（責任編輯 耿金花）