指向學力提升的“模”力課堂建構策略研究

基金項目：福建省教育科學“十四五”規劃2023年度課題“指向學力提升的小學數學單元學歷案設計實踐研究”（項目編號：FJJKZX23-026）.

摘" 要：盡管在小學數學中不提倡出現“數學模型”這一詞，但在教學過程中，卻多處體現著數學模型的運用，如果教師能高屋建瓴地、創造性地帶領孩子經歷有效、完整、嚴密的建模過程，對培養學生的邏輯思維能力，提高學生的數學素養將有較大益處.本文嘗試從“悟模：符號化表達，領悟模型內涵”“建模：邏輯化思考，發展模型意識”“拓模：意義式關聯，拓展模型外延”3個環節對建模策略進行創新，希望能提高建模活動的綜合成效，促進學生學力提升.

關鍵詞：田忌賽馬；模型意識；對策；數學建模

發展學生的模型意識，能有效提高學生解決真實數學問題的能力.但是，對模型意識的研究，更多地集中在初高中及大學階段，在小學階段，很少有機會去經歷有效、完整且嚴密的建模過程，學生的建模水平處于“低學力”狀態.根據“皮亞杰認知發展四階段”，不難發現四年級的孩子恰好處于第三階段，即具體運算階段.這個階段的孩子，思維活動需要依托具體的情境或內容，還不能很好地進行抽象邏輯思維.這就需要教師有全局觀，多維度分析教材，創新導學的方式方法，從而提高建模活動的綜合成效，實現學生學力的提升.

《田忌賽馬》是小學數學人教版四年級上冊第八單元“數學廣角——優化”中的第三個例題，屬于數學綜合實踐與應用領域的內容，以傳遞數學思想，培養學生的數學意識和情感，激發學生學習數學的興趣為目的.這一單元，共有三個例題，另外兩個分別是“沏茶問題”和“烙餅問題”，三個例題指向“優化思想”的培養，引導學生在真實情境中感悟優化的價值，初步領會運籌思想的核心及其在實際生活中的應用.學生要有發現生活中數學問題的眼光、會用符號表達數學信息；能使用“枚舉法”有邏輯地思考，理解“最優策略”，體驗策略的重要性；了解不同問題模型獲勝的對策，感受數學與生活的聯系，會用“優化”的數學思想解決真實的、簡單的數學問題.下面聚焦《田忌賽馬》一課，從“悟模：符號化表達，領悟模型內涵”“建模：邏輯化思考，發展模型意識”“拓模：意義式關聯，拓展模型外延”3個方面討論“模”力課堂建構的策略.

1" 悟模：符號化表達，領悟模型內涵

“悟模”環節，重點引導學生學會“提煉信息，對實際問題進行數學描述”.日常學習中，只要留意觀察，就會發現如今的問題情境，信息的呈現形式是豐富多樣的，且日益新穎，除了文字式、圖畫式，還可能是表格式、對話式.在這樣復雜的問題情境中，學生使用符號來表征數學信息就顯得特別重要了.因為當學生能夠在復雜的問題情境中觀察分析，用符號語言來表達和整理信息時，他們對于其中的數量關系及問題模型就會領悟得更加到位.

例如“田忌賽馬”這節課，“6匹馬的戰力值對比”就需要靠學生自己去挖掘，學會用數學的術語、用符號去表達獲取的有效信息.田忌賽馬的故事如果一分為二來看：第一個環節是田忌與齊王賽馬的第一回合.齊王屢戰屢勝，其中反映出來的信息是，齊王各檔賽馬都比田忌的戰力強；第二回合是孫臏的助陣，使得田忌反敗為勝.可見，田忌的上等馬的戰力值超越齊王的中等馬，田忌的中等馬的戰力值超越齊王的下等馬.因此，六匹馬的戰力躍然紙上：齊王上等馬＞田忌上等馬＞齊王中等馬＞田忌中等馬＞齊王下等馬＞田忌下等馬.以上的數量關系沒有直接告知學生，需要學生從字里行間去領悟.因此，教師首先應引導學生透過現象，用符號語言進行刻畫，嘗試挖掘故事中隱含的數學信息，把實際問題抽象成數學問題后，再從數學的角度進行思考.

第一次比賽

齊王田忌獲勝者

第一局上等馬上等馬齊王

第二局中等馬中等馬齊王

第三局下等馬下等馬齊王

第二次比賽

齊王田忌獲勝者

第一局上等馬下等馬齊王

第二局中等馬上等馬田忌

第三局下等馬中等馬田忌

案例分析

【教學片段1】

師：“看完這兩場比賽，你知道了些什么？能否具體分析一下齊王和田忌賽馬的戰力值呢？”.

生1：第一次比賽，齊王三局全勝，說明整體來看，田忌的馬比不過齊王的馬，田忌的馬戰力會弱一些.

生2：也就是說，齊王各檔次的馬都略勝一籌.如果齊王三個檔次馬的戰力用字母A1、A2、A3表示，田忌三個檔次馬的戰力用B1、B2、B3表示，則有A1＞B1，A2＞B2，A3＞B3.

生3：我同意你的觀點.第二次比賽，田忌反敗為勝，說明齊王中等馬的戰力比不過田忌上等馬的戰力，齊王下等馬的戰力比不過田忌中等馬的戰力.這樣的話，我們可以把六匹馬的戰力值進行排序：A1＞B1＞A2＞B2＞A3＞B3.

生4：我也覺得是這樣，因為如果田忌的馬太弱的話，最好的馬都比不過齊王最弱的馬，那就不用比了，他連反超的機會都沒有呢！

該片段中，通過教師有意識的刨根問底，學生將數量關系提煉出來，抽象出更為一般的模式表達，實現了從實際問題情境中提煉數學符號的過程.有了這樣的引導，學生在后續研究有幾種對陣方式時，就會自覺地使用簡潔的符號來描述，而不是冗長的文字.這樣的處理方式，不僅能提高學生在數學閱讀中尋找數量關系的能力，還能引領學生親身經歷數學信息符號化的過程，親身感受到符號化表達的簡潔與優勢.不過，學生符號意識的發展單靠一節課、一個單元肯定不夠，應根據學生的年齡特點，有計劃、有步驟地層層遞進，將素養培育貫穿于整個學習過程，滲透于數學教學的始終.

2" 建模：邏輯化思考，發展模型意識

邏輯思維，是一種思維規律，一種高級的思考方式，直接關系學生學習效率.好的邏輯就像一根看不見的線，學生具備邏輯思維之后可以更有條理地分析問題、解決問題，提升數學思維及數學表達能力.在數學學習過程中，孩子們思考或描述一個問題，可以有多種方法，教師要能引導學生借助某些方法，進行邏輯化思考、清晰化表達，從而可以幫助他們透過現象看本質，更好地發展模型意識.

本環節，重點培養學生“提煉方法，把實際問題抽象成數學模型”的思維習慣，以“田忌只能用這種策略取得勝利嗎”這個問題為引領，啟發孩子們在自主學習、協同學習、整體學習這樣的三學模式中展開討論，用自己喜歡的方式表示對這個問題的理解.那么如何把話講明白，讓邏輯成為一種自覺呢？

【教學片段2】

生1：我是這樣想的，如果齊王三個檔次馬的戰力分別用字母A1、A2、A3表示，田忌三個檔次馬的戰力分別用B1、B2、B3表示，那么就有這6種情況，其中只有這一種對陣方式，田忌才能贏.

生2：我是用列表格的方法，齊王的馬按照上、中、下的順序出戰，田忌如何應戰？可以這樣想，先把第一列寫好，田忌可以上上、中中、下下，分別是上中下、上下中、中上下、中下上、下中上、下上中，共6種應對策略，依次驗證后，確認只有這一種可以三局兩勝，其他最多只勝1場，所以田忌只能用第6種策略才能獲勝.

第一局第二局第三局獲勝方

齊王上等馬中等馬下等馬

田忌1上中下齊王

田忌2上下中齊王

田忌3中上下齊王

田忌4中下上齊王

田忌5下中上齊王

田忌6下上中田忌

生3：有序思考！我聽懂了！也就是說田忌必須用最弱的馬去消耗齊王最強的馬，讓齊王這匹最強的馬浪費掉，發揮不了作用！然后用上等馬贏齊王的中等馬，勝一局，再用中等馬贏齊王的下等馬，再勝一局！

生4：也就是最弱對最強，輸一局不要緊，保證另外兩局一定要贏就可以了，輸一贏二，最終還是贏.

其實，無論是枚舉法還是圖示法，我們可以看到，孩子們已經能夠借助一些方法，有邏輯地思考問題、表達問題了.本環節之所以重點突破枚舉法，原因在于它是小學階段比較常用的策略，是數學學習中的一種方法，是最原始、有時也是最管用的一種方法.這時學生會達成共識，田忌可以采用的賽馬策略有6種，但其中僅有一種方法可獲勝.它突顯了數學思辨的條理性和嚴密性，使學習內容脈絡清晰、一目了然.這樣的圖表不僅為學生提供了具體的思考路徑，而且清晰再現了其思路歷程.學生通過這種有序排列、列舉填表、相互對照，找到獲勝的策略，可深刻感悟有序思考的優越性及對策論的重要性.此時，學生發現，要想取得競爭勝利，有兩個關鍵點，一是找到最易突破的點位，二是運用自己極具優勢的武器.因此，有必要在課堂中揭示數學知識的產生與發展過程，讓學生身臨其境，自覺主動地去尋求數學基本方法.這樣，以后孩子們再遇到“雞兔同籠”“植樹問題”等問題情境時，就可以理清思路，實現對問題模型更透徹、更具遷移性的理解.

3" 拓模：意義式關聯，拓展模型外延

當今社會，肉眼可見一些競爭現象和行為.其中的一些活動具有如下的特點：對方可能采取的所有策略是已知的；某方先暴露策略，被另一方識得，競爭的結果就可以預知，并且可以定量描述.通常我們把這類活動稱為“對策”問題，“田忌賽馬”就是其中一個比較典型的對策論例子.

“提煉思想，讓數學模型服務于生活”是本環節重點，使學生的應用意識實現由無意識的狀態向自覺地應用的轉變.從本質上看，模型意識追求從“解決一個問題”到“解決一類問題”的路徑和思路，因此，從具體問題中抽象出數學模型后，建模不能終結.教師要有打破思維定式的勇氣，敢于變換問題情境，拓展模型外延，讓學生體會到數學模型的作用之廣泛，懂得“學以致用”.

【教學片段3】

師：老師真的很欣賞你們，不僅會玩，還能有策略地玩.下面讓我們回顧剛剛的這些游戲和項目，你有找到什么相同之處嗎？

生1：我發現這些游戲都有個共同點，那就是只要有策略地玩，就可能取得勝利.

生2：盡量讓對方先暴露，這樣我們就可以根據對方的情況，來決定自己怎么選擇最優策略.

生3：像這樣的比賽，讓對方先出獲勝機率大.因為只要我們用最小的牌去消耗對方最大的牌，或者用最弱的去浪費對方最強的，其他能勝利要爭取勝利，盡量讓自己輸少贏多，就可以取得最終勝利！

生4：贊同！有時候，解決同一個問題可以有不同的策略，要考慮到所有情況，并從中尋找到最優的方案.

生5：在和別人進行PK時，要知己知彼，仔細分析自己與對方的優勢，在所有可采用的策略中，選擇最優策略.

師：是的，只要我們會用策略，會思考，即使實力比別人稍遜，但只要通過全盤考慮，也有可能整體取勝.

在教學中引導學生適度提煉、歸納一些基本的、常見的數學思想，拓展模型外延，提升學生的思維層次，是促進學生學力提升的突破口.本環節，借助撲克牌，讓孩子們分別經歷“實力懸殊，高下立見”“實力稍遜，以弱勝強”“實力均衡，智者為王”三種情況，分類討論中，學生充分理解了“田忌賽馬”和“撲克牌”游戲獲勝的關鍵點和突破口.活動之前，教師有意識地提出兩個問題：“若能獲勝，獲勝的關鍵是什么？”“若不能獲勝，又是哪里出了問題，再比一次，你能贏嗎？”.引領學生在游戲之前要先進行思考，帶著問題展開探究活動，并在游戲的過程中滲透“數學思考”，進而實現“先謀后動”的教育主旨.習得田忌反敗為勝的策略之后，同學們在一局又一局的對陣中，自主摸索、感受對策問題，不時能聽到這樣的聲音：“啊，我明白了！原來只要我用自己最小的牌對你最大的牌，保證另外兩場獲勝，就一定能獲勝了！”“太有意思了，我知道怎么玩了！”“孫臏太聰明了，給了田忌這種策略，原來也能用在撲克牌比大小的游戲里！”.學生在這樣的親身實踐時，不知不覺中已將感性的原始生活經驗逐步提升為抽象的數學思維，進而形成一定的對陣策略，實現學生思維的提升.

在學生的認知趨于成熟的時候，及時引領學生找幾類游戲和項目的相同點，進行意義式關聯.隨后，進行相關成語的拓展，并由此聯想到體育競賽、行業銷售、軍事指揮等不同領域中的競爭現象.孩子們得到的啟示是，就算自己整體實力不如別人，只要有相對的優勢、策略應用得當，還是有可能取得勝利的.一個人是這樣，一個企業是這樣，再大到一個國家也是這樣.反過來，即使有絕對的優勢，只要采取的措施不當也可能失敗，感受到策略應用也要有一定的條件，從而更為全面、立體地認識對策問題.通過這樣的訓練，學生今后面對實際問題時，就能夠通過數學模型帶來的啟發，自覺調用先前經驗解決真實情境中的數學問題.

數學建模的很多問題來源于我們的現實生活，最終也回歸于現實生活.通過對“悟模”“建模”“拓模”三個環節的創新策略設計，讓學生從中獲得了對相關數學原理和方法更為深刻的感悟.作為小學數學教師，我們有義務在平時的教學中創設更多富有創新性的、與學生緊密相關的真實情境，讓學生在喜愛的生活原型中找尋“策略”足跡.隨著各方面競爭的加強，隨著人們對科學決策和高效保質的追求，人們必將智慧地去面對生活中的各項挑戰與機遇，不斷“打怪升級”.倘若在某些事件中，能智慧地利用“田忌賽馬”的原理幫助自己做出抉擇，或許會更加完整、全面地分析決策過程，以爭取更理想的結果.進而主動地去建構數學模型、尋找最優策略、高效地解決問題，實現從“低學力”狀態向“高學力”狀態的躍升.

參考文獻

［1］ 陸文玥，劉志闊，段劍輝. “田忌賽馬”中的社會契約與創新激勵——非合作博弈視角［J］. 中國集體經濟，2021（26）：96-97.

［2］ 孔忠偉. 如何借助“田忌賽馬”相關內容建立概率思維［J］. 教學月刊小學版（數學），2021（5）：32-33.

［3］ 佘江華，沐昌茂. “田忌賽馬”的數學教學價值［J］. 中小學數學（小學版），2014（3）：14-15.

［4］ 王愛群，吳紅艷，邵啟平，盛平，余立云. “田忌賽馬”教學研究報告［J］. 湖南教育（下），2014（12）：25-28.

［5］ 程巨銀，陳炎. 重溫“田忌賽馬”滲透數學文化［J］. 初中數學教與學，2016（16）：45-25.

［6］ 孫曉強，主進軍. “對策問題”教學實踐與思考［J］. 小學數學教育，2020（23）：56-58.

［7］ 黃雅芳. 三引三扣 聚焦素養——劉勝峰老師《田忌賽馬》教學賞析［J］. 新教師，2020（10）：77-78.