互聯非線性時滯系統的分散式自適應跟蹤控制

摘 要：為了實現系統對目標軌跡的快速準確跟蹤，針對一類互聯非線性時滯系統，提出了一種分散式自適應跟蹤控制策略。通過使用極限學習機來處理系統中的未知非線性函數，引入Lyapunov-Krasovskii函數來處理未知時滯，結合反演控制技術和動態面控制技術，實現分散式自適應跟蹤控制；基于Lyapunov穩定性理論以證明所設計的控制策略可以保證閉環系統跟蹤誤差一致且最終有界穩定，并借助兩級化學反應釜系統驗證所提控制策略的有效性。結果表明，所提控制策略能夠有效處理系統中的非線性項與系統時滯，實現對目標軌跡的快速準確跟蹤。所提策略能克服未知非線性和未知時滯對系統的影響，可為處理復雜非線性時滯系統提供參考。

關鍵詞：自動控制理論；互聯系統；輸入飽和；時滯；反演控制；分散式跟蹤控制

中圖分類號：

TP273+.2

文獻標識碼：A

DOI：10.7535/hbkd.2024yx03004

Decentralized adaptive tracking control for interconnected

nonlinear time delay systems

HAO Ying1， LU Jiyong2， LIU Xin2， WU Xiaojing2

（1.College of Mathematics and Physical， Handan College， Handan， Hebei 056001， China;

2.School of Electrical Engineering， Hebei University of Science and Technology， Shijiazhuang， Hebei 050018， China）

Abstract：In order to achieve fast and accurate tracking of the target trajectory， a decentralized adaptive tracking control strategy was proposed for a class of interconnected nonlinear time-delay systems. By using the extreme learning machine to deal with the unknown nonlinear function in the system， the Lyapunov-Krasovskii function was introduced to deal with the unknown time delay. The backstepping control technique and the dynamic surface control technique were combined to realize decentralized adaptive tracking control. Based on Lyapunov stability theory， it is demonstrated that the designed control strategy can ensure consistent and ultimately bounded stability of the tracking errors of the closed-loop system， and the effectiveness of the proposed control strategy was verified by the two-stage chemical reactor system. The results show that the proposed control strategy can deal with the nonlinear term and time delay of the system effectively， and realize fast and accurate tracking of the target trajectory.

The provided strategy overcomes the effect of unknown nonlinear and unknown time delay on the system，

which provides an effective method for dealing with complex nonlinear time-delay systems.

Keywords：automatic control theory; interconnected systems; input saturation; timedelay; backstepping control; decentralized tracking control

近年來，關于非線性系統控制的研究一直是控制理論的研究熱點，如戰斗控制系統，化學過程控制和衛星系統控制[1-3]。由于現代系統的復雜性、非線性和日益增大的規模，單體系統已無法滿足實際應用的需求。因此，由多個子系統耦合而成的互聯非線性系統受到學者們的廣泛關注。在實際應用中，時滯現象、系統動力學模型不確定是普遍存在，成為導致系統不穩定的重要因素。因此，針對互聯非線性時滯系統的控制器設計及穩定性分析的研究具有重要意義。

在復雜的控制系統中，模糊邏輯系統和神經網絡[4-10]因具有良好的逼近特性引起了學者們的高度關注。迄今為止，已經有許多優秀的研究成果。文獻[11]基于RBF神經網絡和自適應動態表面控制方法設計控制器，確保一類不確定隨機非線性系統跟蹤誤差收斂到預定精度。文獻[12]針對欠驅動自主水下機器人三維軌跡跟蹤控制問題，提出RBF神經網絡動態積分滑模控制器以實現對三維軌跡的跟蹤。文獻[13]針對Ｕ模型的非線性控制系統設計Super-Twisting控制器，保證了被控系統具有快速的跟蹤性能和輸出有界性。文獻[14]針對一類具有周期擾動和輸入時滯的不確定非線性系統，提出一種基于神經網絡的自適應動態面控制策略，確保了閉環系統中所有信號是半全局有界的。文獻[15]針對一類不確定嚴格反饋非線性系統，提出一種神經網絡自適應跟蹤控制算法。相較于神經網絡，極限學習機具有更優越的控制性能[16]。極限學習機是一種單隱層前向網絡的訓練算法，特點是訓練速度快，而且可以達到很高的泛化性能。極限學習機可以隨機分配隱層節點的參數（包括輸入權值和激活函數的偏差），并且在訓練過程中保持不變。到目前為止，極限學習機已經被廣泛應用于識別和控制非線性動態系統當中[17-19]。文獻[17]提出了基于在線序列極限學習機的模型預測控制，該方法的跟蹤精度明顯優于傳統的基于神經網絡的模型預測控制。文獻[18]基于極限學習機神經網絡算法及其主體結構的擴展，提出了一種新的在線誤差最小化-極限學習機算法，不僅避免了網絡冗余，而且大大提高了控制性能。針對雙噴射發動機的空燃比控制問題，文獻[19]提出了一種具有自適應控制器的極限學習機控制框架，其中極限學習機被用來識別基于引擎實時數據的最優控制率。綜上所述，鑒于極限學習機優越的逼近性能，本文將借此來估計系統中的未知非線性項。

受被控制系統空間上大型化、結構上復雜化等因素的影響，傳統的集中控制使得被控系統間的信息交流變得異常復雜，這不僅增加了系統的集成度，而且增加了系統的運行費用，同時降低了系統的可靠性。文獻[20]針對一類具有非對稱控制輸入和不匹配互聯項的非線性互聯系統，提出一種分散學習控制策略，實現了閉環系統中所有信號一致最終有界。文獻[21]針對具有非對稱輸入和不匹配互聯項的連續時間非線性互聯系統的分散鎮定問題，設計了一種基于自適應評判的分散控制律，保證了被控系統的漸近穩定性。文獻[22]提出一種分散自適應滑模控制方案，克服了系統存在死區線性輸入和子系統間具有未知互聯的問題。文獻[23]提出一種全局分散非光滑跟蹤算法，保證了一類具有附加擾動的強耦合互聯系統的穩定。盡管上述工作已取得了一定的進展，但并沒有考慮狀態時滯給系統帶來的影響。在許多實際應用中，系統的各部分間進行信息傳輸不可避免地會存在時延，這會給被控制系統帶來不可預期的不穩定性。

基于上述分析，本文針對互聯非線性時滯系統的自適應跟蹤控制問題，通過使用極限學習機來估計系統中的非線性函數，利用Lyapunov-Krasovskii函數消除時滯對互聯非線性系統的影響，基于反演控制技術和動態面控制技術提出分散式自適應跟蹤控制策略，以使閉環系統中所有的信號最終一致有界。

1 系統模型和問題描述

考慮第i個互聯非線性時滯子系統，其動力學模型如下：

i，l=xi，l+1+fi，l（i，l）+gi，l（xi，l（t-di，l））+Δi，l（），

i，ni=ui+fi，ni（xi）+gi，ni（xi，ni（t-di，ni））+Δi，ni（），

yi=xi，1，（1）

式中：i=1，2，…，N；l=1，2，…，ni-1；i，l=

［xi，1，xi，2，…，xi，l］T∈Rl；xi=［xi，1，xi，2，…，xi，ni］∈Rni，表示第i個子系統的狀態；=［y1，y2，…，yN］T∈RN，表示第i個子系統的輸出；fi，l（）是未知的光滑非線性函數；gi，l（）是未知的非線性時變函數；di，l（t）是未知的時間延遲，并且i，l≤i，llt;1，l=1，2，…，ni；Δi，l（）代表子系統之間的未知非線性互聯項；ui是在本文后續部分要設計的實際控制器。

此外，為實現控制目標，引入如下的假設和引理。

假設1：參考信號yi，r（t）及其導數y（i）i，r（t）都是已知且有界的，其中i=1，2，…，N。

假設2：互聯項Δi滿足如下不等式

‖Δi（）‖≤∑Nj=1

Γi，j（|yj|），（2）

式中i=1，2，…，N。未知的非線性函數滿足Γi，j

（yj）=yjΓ*i，j（yj）、Γi，j（yj）=yjΓ*i，j（yj）、Γi，j（yj）=yjΓ*i，j（yj），其中Γi，j（yj）、Γ*i，j（yj）、Γi，j（yj）和Γ*i，j（yj）都是已知的光滑函數。

引理1[24]：設1∈Rn，1，1∈Rn，2，且g：Rn，1×n，2→R是一個連續函數，可以得到|g（1，2）|≤p1（1）+p2（2），其中p1（1）≥0和p2（2）≥0都是連續函數。

從假設2中可以得到時滯非線性函數gi，l（）滿足如下不等式：

|gi，l（xi，l（t-di，l））|≤∑lj=1qi，l，j（xi，l（t-di，l）），（3）

式中qi，l，j（xi，l（t-di，l（t）））≥0，是未知的時滯函數。

注1：假設1是自適應反演控制方法的常見要求[25]；假設2是對于未知的互聯項的一個常見條件[26]。

2 基于極限學習機的分散式自適應跟蹤控制設計

針對互聯非線性時滯系統（1），基于動態面控制技術，給出如下坐標轉換方程：

zi，1=yi-yi，r， zi，l=xi，l-ωi，l， χi，l=ωi，l-αi，l-1，（4）

式中：l=2，3，…，ni；αi，l是虛擬控制律，這將在本文后續進行設計；ωi，l為相應的濾波器信號，其作用主要是用來避免αi，l-1的微分運算。因此，基于動態面控制技術的遞歸設計過程如下。

第1步 根據式（1）和式（4），可以得到zi，1的導數如下：

i，1=i-i，r=xi，2+fi，1+gi，1（xi，1（t-di，1））+Δi，1-

i，r=

zi，2+χi，2+αi，1+fi，1+gi，1（xi，1（t-di，1））+Δi，1-i，r。

考慮如下李雅普諾夫函數：

Vi，1=12z2i，1+12χ2i，2+12σi，1

θ～2i，1+Hi，1，（5）

式中：σi，1gt;0是常數；θi.1=‖Wi，1‖2；θ～i，1=θi，1-i，1，其中

i，1是θi，1的估計值；Lyapunov-Krasovskii函數Hi，1為

Hi，1=11-i，1e-τ（t-di，1）∫tt-di，1

eτsq2i，1，1（xi，1（s））ds，

其中τ是正設計參數。

對式（5）求導，可得：

Vi，1=zi，1zi，1+χi，2χi，2-1σi，1θ～i，1i，1+Hi，1=

zi，1（zi，2+χi，2+αi，1+fi，1+gi，1（xi，1（t-di，1））+Δi，1-yi，r）+

χi，2χi，2-1σi，1θ～i，1

i，1+Hi，1，（6）

式中：

Hi，1=-τ（1-di，1（t））1-d-i，1e-τ（t-di，1（t））∫tt-di，1（t）eτsq2i，1，1（xi，1（s））ds+

e-τ（t-di，1（t））1-d-i，1

eτtq2i，1，1（t）-（1-di，1（t））eτ（t-di，1（t））q2i，1，1（xi，1（t-di，1（t））），（7）

使用Young′s不等式，可得：

zi，1χi，2≤12z2i，1+12χ2i，2，（8）

zi，1gi，1（xi，1（t-di，1））≤|zi，1|q2i，1，1（xi，1（t-di，1））≤14z2i，1+q2i，1，1（xi，1（t-di，1）），（9）

zi，1Δi，1≤14z2i，1+‖Δi（）‖2。（10）

由于di，1（t）≤d-i，1lt;1，di，1（t）≤di，可得：

-（1-di，1（t））≤-（1-d-i，1），

以及

eτdi，1（t）≤eτdi，

將式（7）—式（10）代入式（6），可得：

Vi，1≤zi，1（zi，2+αi，1+fi，1+zi，1-yi，r）+12χ2i，2+χi，2χi，2-1σi，1θ～i，1i，1-

τ（1-d-i，1）Hi，1+eτdi1-d-i，1q2i，1，1（xi，1（t））+‖Δi（）‖2。 （11）

定義如下函數：

Ωi，1=eτdi1-d-i，1q2i，1，1（xi，1（t））。

通過在式（11）中同時加減ki，1z2i，1Ωi，1，可得：

Vi，1≤zi，1（zi，2+αi，1+Ψi，1+zi，1-yi，r）+12χ2i，2+χi，2χi，2-1σi，1θ～i，1i，1-

τ（1-d-i，1）Hi，1+（1-ki，1z2i，1）Ωi，1+‖Δi（）‖2，（12）

式中：ki，1gt;0，是常數；Ψi，1=fi，1+ki，1zi，1Ωi，1，是一個未知函數。

針對式（12）中的未知非線性函數Ψi，1，利用極限學習機的近似特性，即一定存在最優輸出權重參數W使得Ψi，1滿足：

Ψi，1=Si，1（xi，1，，d）Wi，1+δi，1（x），（13）

其中δi，1（x）是近似誤差，滿足|δi，1（x）|≤εi，1，εi，1gt;0。定義θi=‖W2i，1‖，i=1，2，…，N。

將式（13）代入式（12）可得：

Vi，1≤zi，1（zi，2+αi，1+Si，1（x，，d）Wi，1+δi，1（x）+zi，1-

yi，r）+12χ2i，2+χi，2χi，2-

1σi，1θ～i，1i，1-τ（1-d-i，1）Hi，1+（1-ki，1z2i，1）Ωi，1+‖Δi（）‖2。（14）

使用Young′s不等式，可得：

zi，1Si，1（x，，d）Wi，1≤θ2ai，1z2i，1STi，1Si，1+12ai，1，（15）

zi，1δi，1（x）≤12z2i，1+12ε2i，1。（16）

將式（15）、式（16）代入式（14）可得：

Vi，1≤zi，1（zi，2+αi，1+32zi，1+θi，12ai，1zi，1STi，1Si，1-yi，r）+12χ2i，2+χi，2χi，2-

1σi，1θ～i，1i，1-τ（1-d-i，1）Hi，1+（1-ki，1z2i，1）Ωi，1+‖Δi（）‖2+12ai，1+12ε2i，1。（17）

根據式（17），設計虛擬控制律：

αi，1=-ci，1zi，1-32zi，1-i，12ai，1zi，1STi，1Si，1+yi，r-zi，1φi（） ，（18）

式中：ci，1是一個正設計常數；φi（）是一個設計函數，將在本文后續進行定義。

自適應參數更新算法選擇為

i，1=12ai，1σi，1z2i，1STi，1

Si，1-cθi，1 。（19）

一階低通濾波器算法為

li，2ωi，1+ωi，1=αi，1，ωi，2（0）=αi，1（0），（20）

式中：li，2是正常數；ωi，2是低通濾波器的輸出；αi，2是相應的輸入。

通過Young′s不等式，可得：

χi，2χi，2≤-1li，1χ2i，1+12χ2i，2+12L2i，1，（21）

其中|αi，2|≤L2i，1，是有界的。

將式（18）、式（19）和式（21）代入式（17），可得：

Vi，1≤-ci，1z2i，2+zi，1zi，2-（1li，2-1）χ2i，2+cθσi，1θ～i，1i，1-τ（1-d-i，1）Hi，1+

（1-ki，1z2i，1）Ωi，1+‖Δi（）‖2+12ai，1+12ε2i，1+12L2i，1-z2i，1φi（）。

第l步（2≤l≤ni-1） 與第1步相似，根據式（1）和式（4），可以得到zi，l的導數如下：

zi，l=i，l-ωi，l=

xi，l+1+fi，1+gi，1（xi（t-di，l））+Δi，l-ωi，l=

zi，l+1+χi，l+1+αi，l+fi，1+gi，1（xi（t-di，l））+Δi，l-ωi，l。

選擇如下李雅普諾夫函數：

Vi，1=Vi，l-1+12z2i，l+12χ2i，l+1+12σi，1θ～2i，l+Hi，l，

式中：σi，lgt;0，是常數；θi，l=‖Wi，l‖2，θ～i，l=θi，l-i，l，

i，l是θi，l的估計值；Lyapunov-Krasovskii函數Hi，l形式為

Hi，l=∑lj=111-d-i，le-τ（t-di，j）∫tt-di，leτsq2i，l，j（xi，l（s））ds，

其中τ是正設計常數。

對Vi，l求導，可得：

Vi，l=Vi，l-1+zi，lzi，l+χi，l+1χi，l+1-1σi，lθ～i，li，l+Hi，l=

Vi，l-1+zi，l（zi，l+1+χi，l+1+αi，l+fi，l+gi，l（xi，l（t-di，l））+

Δi，l-ωi，l）+χi，l+1χi，l+1-1σi，lθ～i，li，l+Hi，l，（22）

式中

Hi，l=-τ（t-di，l（t））Hi，l+∑lj=11-di，l（t）1-di，lq2i，l，j（xi，l（t-di，l（t）））。（23）

使用Young′s不等式，可得：

zi，lχi，l+1≤12z2i，l+12χ2i，l+1，（24）

zi，lgi，l（xi，l（t-di，l））≤|zi，l|∑lj=1qi，l，j（xi，l（t-di，l））≤14z2i，l+∑lj=1q2i，l，j（xi，l（t-di，l）），（25）

zi，lΔi，l≤14z2i，l+‖Δi（）‖2，（26）

χi，l+1χi，l+1≤1li，l+1χ2i，l+1+12χ2i，l+1+12L2i，l。（27）

將式（23）—式（27）代入式（22）可得：

Vi，l≤Vi，l-1+zi，l（zi，l+1+l4zi，l+34zi，l+αi，l+fi，l-ωi，l）-（1li，l+1-1）χ2i，l+1-

1σi，lθ～i，li，l-τ（1-di，l（t））Hi，l+∑lj=1eτdi，l（t）1-d-i，lq2i，l，j（xi，l（t））+‖Δi（）‖2+12L2i，l。（28）

定義如下函數：

Ωi，l=∑lj=1eτdl，l（t）1-d-i，lq2i，l，j（xi，l（t））。（29）

通過在式（28）中同時加減ki，lz2i，lΩi，l，可得：

Vi，l≤Vi，l-1+zi，l（zi，l+1+l4zi，l+34zi，l+αi，l+Ψi，l-ωi，l）-（1li，l+1-1）χ2i，l+1-

1σi，lθ～i，li，l-τ（1-di，l（t））Hi，l+（1-ki，lz2i，l）Ωi，l+‖Δi（）‖2+12L2i，l，

（30）

式中：ki，l是常數；Ψi，l=fi，l+ki，lzi，lΩi，l，是一個未知函數。

利用極限學習機的近似特性估計式（30）中的未知非線性函數Ψi，l，即

Ψi，l=Si，l（x，，d）Wi，l+δi，l（x），（31）

式中δi，l（x）是近似誤差，且|δi，l（x）|≤εi，l，εi，lgt;0。

將式（31）代入式（30）可得：

Vi，l≤Vi，l-1+zi，l（zi，l+1+l4zi，l+34zi，l+αi，l+Si，l（x，，d）Wi，l+δi，l（x）-ωi，l）-1σi，lθ～i，li，l-

（1li，l+1-1）χ2i，l+1-τ（1-di，l（t））Hi，l+（1-ki，lz2i，l）Ωi，l+‖Δi（）‖2+12L2i，l。（32）

使用Young′s不等式，可得：

zi，lSi，l（x，，d）Wi，l≤θi，l2ai，lz2i，lSTi，lSi，l+12ai，l，（33）

zi，lδi，l（x）≤12z2i，l+12ε2i，l，（34）

將式（33）、式（34）代入式（32）可得：

Vi，l≤Vi，l-1+zi，l（zi，l+1+l4zi，l+54zi，l+αi，l-ωi，l）-（1li，l+1-1）χ2i，l+1-

1σi，lθ～i，li，l-τ（1-di，l（t））Hi，l+（1-ki，lz2i，l）Ωi，l+θi，l2ai，lz2i，lSTi，lSi，l+

‖Δi（）‖2+12ai，l+12ε2i，l+12L2i，l。（35）

根據式（35），設計虛擬控制律αi，l如下：

αi，l=-ci，lzi，l-zi，l-1-54zi，l-l4zi，l-i，l

2ai，lzi，lSTi，lSi，l+ωi，l。（36）

自適應參數更新算法選擇為

i，l=12ai，lσi，lz2i，lSTi，lSi，l-cθi，l。（37）

在第（l-1）步中，可得：

Vi，l-1≤-∑l-1j=1ci，jz2i，j+zi，l-1zi，l-∑lj=2（1ιi，j-1）χ2i，j+∑l-1j=1cθσi，jθ～i，ji，j-∑l-1j=1τ（1-d-i，j）Hi，j+

∑l-1j=1（1-ki，jz2i，j）Ωi，j+12∑l-1j=1（ai，j+ε2i，j+L2i，j）+l‖Δi（）‖2-z2i，1φi（）。（38）

將式（36）—式（38）代入式（35），可得：

Vi，l≤-∑lj=1ci，jz2i，j+zi，lzi，l+1-∑l+1j=2（1li，j-1）χ2i，j+∑lj=1cθσi，jθ～i，ji，j-∑lj=1τ（1-d-i，j）Hi，j+

∑lj=1（1-ki，jz2i，j）Ωi，j+12∑lj=1（ai，j+ε2i，j+L2i，j）+l‖Δi（）‖2-z2i，1φi（）。

第ni步 根據式（1）和式（4），可以得到zi，ni的導數如下：

zi，ni=i，ni-ωi，ni=ui+fi，ni+gi，ni（xi，ni（t-di，ni））+Δi，ni-ωi，ni。

考慮如下李雅普諾夫函數

Vi，ni=Vi，ni-1+12z2i，ni+12σi，niθ～2i，ni+Hi，ni，

式中：σi，nigt;0，是常數；θi，ni=‖Wi，ni‖2，θ～i，ni=θi，ni-i，ni，i，ni是θi，ni的估計值；Lyapunov-Krasovskii函數Hi，ni形式如下：

Hi，ni=∑nij=111-d-i，nie-τ（t-di，ni）∫tt-di，nieτsq2i，ni，j（xi，ni（s））ds，

其中τ是正設計參數。

對Vi，ni求導，可得：

Vi，ni=Vi，ni-1+zi，nizi，ni-1σi，niθ～i，nii，ni+Hi，ni=

Vi，ni-1+zi，ni（ui+fi，ni+gi，ni（xi，ni（t-di，ni））+Δi，ni-ωi，ni）-1σi，niθ～i，nii，ni+Hi，ni，（39）

式中Hi，ni為

Hi，ni=-τ（1-di，ni）Hi，ni+∑nij=1eτdi，ni（t）1-d-i，niq2i，ni，j（x（t））-∑nij=11-di，ni（t）1-d-i，niq2i，ni，j（xi，ni（t-di，ni））。（40）

使用Young′s不等式，可得：

zi，nigi，ni（xi，ni（t-di，ni））≤|zi，ni|∑nij=1qi，ni，j（xi，ni（t-di，ni））≤ni4z2i，ni+∑nij=1q2i，ni，j（xi，ni（t-di，ni）），（41）

zi，niΔi，ni≤14z2i，ni+‖Δi（）‖2。（42）

將式（40）—式（42）代入式（39）可得：

Vi，ni≤Vi，ni-1+zi，ni（ui+fi，ni+ni4zi，ni+14zi，ni-ωi，ni）-1σi，niθ～i，nii，ni-

τ（1-di，ni（t））Hi，ni+‖Δi（）‖2+∑nij=1eτdi，ni（t）1-d-i，niq2i，ni，j（xi，ni（t））。（43）

定義如下函數

Ωi，ni=∑nij=1eτdni1-d-i，niq2i，ni，j（xi，ni（t）），

通過在式（43）中同時加減ki，niz2i，niΩi，ni，可得：

Vi，ni≤Vi，ni-1+zi，ni（ui+ni4zi，ni+14zi，ni+Ψi，ni-ωi，ni）-1σi，niθ～i，nii，ni-

τ（1-di，ni（t））Hi，ni+（1-ki，niz2i，ni）Ωi，ni+‖Δi（）‖2，（44）

式中：ki，ni是常數；Ψi，ni=fi，ni+ki，nizi，niΩi，ni，是一個未知函數。

利用極限學習機的近似特性估計式（44）中的未知非線性函數Ψi，ni，即

Ψi，ni=Si，ni（x，，d）Wi，ni+δi，ni（x），（45）

式中δi，ni（x）是近似誤差，且|δi，ni（x）|≤εi，ni，εi，nigt;0。

將式（45）代入式（44），可得：

Vi，ni≤Vi，ni-1+zi，ni（ui+ni4zi，ni+14zi，ni+Si，ni（x，，d）Wi，ni+δi，ni（x）-ωi，ni）-

1σi，niθ～i，nii，ni-τ（1-di，ni（t））Hi，ni+（1-ki，niz2i，ni）Ωi，ni+‖Δi（）‖2。（46）

使用Young′s不等式，可得：

zi，niSi，ni（x，，d）Wi，ni≤θi，ni2ai，niz2i，niSTi，niSi，ni+12ai，ni，（47）

zi，niδi，ni（x）≤12z2i，ni+12ε2i，ni。（48）

將式（47）、式（48）代入式（46）可得：

Vi，ni≤Vi，ni-1+zi，ni（ui+ni4zi，ni+34zi，ni-ωi，ni）-1σi，niθ～i，nii，ni-τ（1-di，ni（t））Hi，ni+

（1-ki，niz2i，ni）Ωi，ni+θi，ni2ai，niz2i，niSTi，niSi，ni+‖Δi（）‖2+12ai，ni+12ε2i，ni。（49）

根據式（49），設計實際控制器為

ui=-ci，nizi，ni-zi，ni-1-ni4zi，ni-34zi，ni-i，ni2ai，nizi，niSTi，niSi，ni+ωi，ni，（50）

式中ci，ni是一個正設計常數。

自適應參數更新算法選擇為

i，ni=12ai，niσi，niz2i，niSTi，niSi，ni-cθi，ni。（51）

在第（ni-1）步中，可得：

Vi，ni-1≤-∑ni-1j=1ci，jz2i，j+zi，ni-1zi，ni-∑nij=1（1li，j-1）χ2i，j+∑ni-1j=1cθσi，jθ～i，ji，j-∑ni-1j=1τ（1-d-i，j）Hi，j+

∑ni-1j=1（1-ki，jz2i，j）Ωi，j+（ni-1）‖Δi（）‖2+12∑ni-1j=1（ai，j+ε2i，j+L2i，j）。（52）

將式（50）—式（52）代入式（49）可得：

Vi，ni≤-∑nij=1ci，jz2i，j-∑nij=1（1li，j-1）χ2i，j+∑nij=1cθσi，j

θ～i，ji，j-∑nij=1τ（1-d-i，j）Hi，j+

∑nij=1（1-ki，jz2i，j）Ωi，j+12∑nij=1（ai，j+ε2i，j）+12∑ni-1j=1L2i，j+ni‖Δi（）‖2-z2i，1φi（）。（53）

根據假設2，互聯項Δi（）可以重寫成如下形式：

‖Δi（）‖2≤（∑Nj=1Γi，j（|yj|））2≤N∑Nj=1（2Γ2i，j（2|zi，1|）+2Γ2i，j（2|yrj|））≤

N∑Nj=18z2i，1（Γj，i（2|zi，1|）+Γj，i（2|zi，1|））2+Bi，（54）

式中Bi≥2N∑Nj=1Γ2j，i（2|yrj|），是正常數。

為了處理互聯項，定義如下函數：

φi（）=8ni∑Nj=1N（Γj，i（2|zi，1|）+Γj，i（2|zi，1|））2。（55）

將式（54）和式（55）代入式（53），可得：

Vi，ni≤-∑nij=1ci，jz2i，j-∑nij=1

1li，j-1χ2i，j+∑nij=1cθσi，j

θ～i，ji，j-∑nij=1τ（1-d-i，j）Hi，j+

∑nij=1（1-ki，jz2i，j）Ωi，j+12∑nij=1（ai，j+ε2i，j）+12∑ni-1j=1L2i，j+Bini。（56）

使用Young′s不等式，可得：

∑nij=1cθσi，jθ～i，ji，j≤-∑nij=1cθ2σi，jθ～2i，j+∑nij=1cθ2σi，jθ2i，j。（57）

將式（57）代入式（56），可得：

Vi，ni≤-∑nij=1ci，jz2i，j-∑nij=1（1li，j-1）χ2i，j-∑nij=1cθ2σi，j

θ～2i，j-∑nij=1τ（1-d-i，j）Hi，j+

∑nij=1（1-ki，jz2i，j）Ωi，j+12∑nij=1（ai，j+ε2i，j）+12∑ni-1j=1L2i，j+∑nij=1cθ2σi，jθ2i，j+Bini。

3 穩定性分析

定理1：針對式（1）所示的互聯非線性時滯系統，在滿足假設1和假設2的前提下，基于極限學習機設計的虛擬控制律（見式（18）、式（36））、自適應律（見式（19）、式（37）、式（51））和實際控制器（見式（50）），可以保證系統所有閉環信號有界，跟蹤誤差收斂到原點附近的小鄰域內。

證明：對于整個非線性互聯系統，選擇如下李雅普諾夫函數

V≤∑Ni=1Vi，ni。

對V求導得：

V≤∑Ni=1

-∑nij=1ci，jz2i，j-∑nij=1（1li，j-1）χ2i，j-∑nij=1cθ2σi，jθ～2i，j-∑nij=1τ（1-d-i，j）Hi，j+∑nij=1（1-ki，jz2i，j）Ωi，j+ρ，

式中ρ=12∑nij=1（a2i，j+ε2i，j）+12∑ni-1j=1L2i，j+∑nij=1cθ2σi，jθ2i，j+Bini。

基于以上描述，考慮如下2種情況。

情況1：（|zi，j|≤1/ki，j，j=1，2，…，ni） 從上面表述中可以看出，由于zi，1、yi，r的有界性，可以從式（4）得到xi，1有界。然后，因為θ～i，1是有界的，所以αi，1有界。如果αi，1有界，可以從式（20）中得到ωi，2也是有界的。基于zi，2、ωi，2的有界性，可以得到xi，2也是有界的。因為θ～i，2有界，那么αi，2也有界。從類似的推導中，最終可以得到αi，j（j=3，4，…，ni-1）和ui也是有界的。因此，通過以上分析可以總結得出系統所有閉環信號都是有界的。

情況2：|zi，j|gt;1/ki，j并且Ωi，j≥0，所以∑nij=1（1-ki，jz2i，j）Ωi，j≤0 此時V可以簡寫成V≤-γV+ρ，其中γ=min1≤j≤ni2ci，j，τ-i，j，cθ，2（1li，j-1），τ-i，j=τ（1-d-i，j）。故可以得到Vlt;0，即系統閉環信號都是有界的。然后，對V兩邊同時乘以eγt并對不等式的兩邊再進行積分可以得到V（t）≤e-γtV（0）+（ρ/γ）（1-e-γt），根據（1/2）z2i，1≤V（t），可以得到|zi，1|≤2ρ/γ。因此，跟蹤誤差zi，1可以收斂到原點的可調鄰域內。

基于極限學習機的分散式自適應跟蹤控制系統結構示意圖如圖1所示。

4 仿真驗證

為進一步驗證所提控制策略的有效性，針對兩級化學反應釜系統進行仿真驗證。實際系統模型描述如下：

1，1=-1-A1，2vol1，1x1，2-1T1，1x1，1-K1，1x1，1+C1，1sin（x1，1+x2，1），

1，2=-B1vol1，2u1-1T1，2x1，2-K1，2x1，2-A1，1vol1，2x1，1（t-d1，2）+C1，2sin（x2，1），

y1=x1，1，

2，1=-1-A2，2vol2，1x2，2-1T2，1x2，1-K2，1x2，1+C2，1sin（x1，1），

2，2=-B2vol2，2u2-1T2，2x2，2-K2，2x2，2-A2，1vol2，2x2，1（t-d2，2）+C2，2sin（x1，1-x2，1），

y2=x2，1，

式中：x1，1、x1，2、x2，1和x2，2為各子系統的狀態向量；u1、u2為控制輸入；A1，1、A1，2、A2，1和A2，2為化學反應系統的循環流速；vol1，1、vol1，2、vol2，1和vol2，2為化學反應系統的體積；T1，1、T1，2、T2，1和T2，2為化學反應系統的反應堆停留時間；K1，1、K1，2、K2，1和K2，2為化學反應系統的反應常數；B1和B2為化學反應系統的進料速度。

時滯選擇為d1，2=0.2+0.08sin（2t）和d2，2=0.3+0.12sin（2t）。期望軌跡選擇yd，1=yd，2=0.2+0.5sin（0.5t）。a1，1、a1，2、a2，1、a2，2和cθ是自適應參數權重更新算法中的設計參數；c1，1、c1，2、c2，1和c2，2是虛擬控制律以及實際控制器中的設計參數；l1，2和l2，2是一階低通濾波器中的設計參數。

具體的系統參數選擇如表1所示。

仿真中的設計參數選擇如表2所示。

得到的仿真結果如圖2—圖9所示。圖2和圖6給出了子系統1中輸出信號y1以及子系統2中輸出信號y2跟蹤相應參考信號的軌跡，從圖中可以看出y1、y2與參考信號yd，1、yd，2軌跡非常吻合。為了進一步展示系統跟蹤性能，圖3和圖7給出了子系統1和子系統2中的跟蹤誤差，從圖中可以看出系統具有響應速度快且超調量極小等優點。綜上所述，所提出的控制策略能夠使化學反應系統的輸出信號成功地跟蹤參考信號。圖4和圖8是子系統1的控制輸入u1和子系統2的控制輸入u2，圖5和圖9是子系統1中的自適應參數1，1、1，2和子系統2中的自適應參數2，1、2，2的變化過程：可以看出所有信號都是有界的，進一步驗證了所提控制策略的有效性。

5 結 語

針對一類互聯非線性時滯系統，利用極限學習機的近似特性逼近未知非線性函數，通過Lyapunov- Krasovskii函數消除了時滯對互聯非線性系統穩定性的影響，結合反演控制技術和動態面控制技術，提出了分散式自適應跟蹤控制策略，保證了閉環系統跟蹤誤差一致最終有界穩定。仿真實例驗證了所提控制策略具有明顯的有效性和優越性，不僅克服了未知非線性和未知時滯對系統的影響，而且保證了系統具有良好的跟蹤性能。

未來將進一步考慮執行器故障情況對系統的影響，提出更適合實際應用的容錯控制方法，以期為工業自動化、機器人協同控制、航空航天等實際應用領域提供理論參考。

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