古代文明的數學智慧：文明古國乘法計算探析

池奕言

在各種文明的算術發展過程中，乘法計算的產生至關重要，它是人類從簡單加減法的數學邏輯邁向復雜抽象計算的關鍵一步。整數、負數、有理數和實數的乘法都是由這個基本定義泛化而來的。（正數）乘法也可被視為在面積計算中對其邊長給定的矩形區域的面積。

一個文明可以相對比較容易地發展出計數方法和加減法運算，但要想創造一套簡單可行的乘法計算方法卻不那么容易。中國古代計算用“算籌”不用筆，籌算可以改變形態橫豎俱可，可以左至右運算。

籌算乘法分三層：上位是被乘數，中位是積，下位是乘數。先由乘數的最大一位去乘被乘數，再用第二位數去乘，兩次之積對應位上的數相加，乘完為止[1]。如算49乘36的步驟，結果是1764。

使用的算籌計算看似簡便，實際上這需要事先掌握九九乘法口訣表；考慮到古代文明的基礎教育水平，這種計算并不完美。我國現代教育中使用的豎式乘法筆算方式也需要使用到九九乘法口訣表。

其他國家的乘法計算方式都一樣嗎？在數學的發展過程中，不同的文明創造出了哪些不同的乘法計算方法，其中有些計算方法甚至可以完全拋棄乘法口訣表（包括中國的計算方法）。

中國明代算書《指明算法》記載了中國的古代乘法計算方法，名字叫“鋪地錦”，英文被稱作“The Chinese method of multiplication”。李培業教授在《數學史研究》中認為“鋪地錦”是我國自創的乘法計算方法。鋪地錦歌訣為“寫算鋪地錦為奇，不用算盤數可知。法實相呼小九數，格行寫數莫差池。記零十進于前位，逐位數數亦如之。照式畫圖代乘法，厘毫絲忽不須疑”[2，3]。

如果使用鋪地錦方法計算49乘36的步驟，結果是1764。

計算步驟如下。

1.第一步：制作一個2×2的表格，使用反斜線將每個格子一分為二，把被乘數49寫在格子圖的上面，乘數36寫在格子圖的右面。

2.第二步：將上面的數字和右邊的數字相乘，如左上的格子填寫3×4=12（第二步-1）；同理分別填寫好其他格子。

3.第三步：把表格中同一斜線里面的數全部加起來，寫在格子圖的左面和下面。

4.第四步：將進位的數字加到其左邊或者上面的位數。

鋪地錦計算方法雖然也需要掌握乘法口訣表，但是計算難度要比算籌法簡單很多，而且比豎式法更加不容易出錯。對于位數較多或者帶小數數字的乘法計算也適用。

通過乘法分配率，“鋪地錦”算法可以把復雜的多位值的乘法計算簡化為個位數乘法和簡單的加法計算，而乘法口訣表的普及使得個位數乘法相對容易，這種算法的思路和唐朝以來不斷計算改革和簡化計算，尋找和使用巧妙的計算方法思路是一脈相承的[4，5]。

眾多周知，現在國際通用的阿拉伯數字是由古印度

人發明的。最早的印度數字出現在公元前2500年左右的哈拉帕文化中。公元733年，印度數字傳入阿拉伯，阿拉伯人將其進行了改進，后來還將印度數字傳入歐洲，當時歐洲人誤認為這種數字是阿拉伯人發明的，稱之為“阿拉伯數字”。

早在公元前2000年吠陀時期，印度人就對數學有很高的成就，當時希臘人能夠表示最大的數字是10，而印度人可以表示到10。12世紀之后，印度人使用“格子乘法”，格子乘法的起源在哪里尚無定論，印度也許就是格子乘法的發源地[6]。

如果使用印度格子乘法計算49×36的步驟，結果是1764。

計算步驟如下。

1.第一步：把被乘數49分成兩塊線條；左邊4條，右邊9條。

2.第二步：把乘數36以垂直交叉方向分成兩塊線條，左邊3條，右邊6條。

3.第三步、第四步：計算4個區域的交叉點個數。

4.第五步：將區域2和區域3的數字相加。

5.第六步：從右往左進行進位相加。

印度格子乘法方法簡單易懂，甚至不需要掌握乘法口訣表也可以使用，是一種適用文化程度較低的地區的簡便方法，同時日本也在使用類似方式計算乘法。

九九乘法口訣表有著非常鮮明的遞推規律：9×1=9，9×2=18，9×3=27，…，9×9=81。不難發現，隨著乘數的遞增，積的十位數字也依次遞增，且比乘數減1，而個位數字依次遞減，且積的兩位數字之和都是9。舉例乘數為5的乘法加以說明：9×5=（10-1）×5=50-5=45，不難看岀，積為50-5=45，其十位數字4一定比乘數減1，而個位數字5與乘數5之和為10，因此，積的兩位數字之和恒為9。

印度對九九乘法口訣表進行了改進，升級為十九超級乘法表，可以大大縮減計算時間，超級乘法口訣表是從1到19[7]。

那么從11×11到19×19，印度人是怎樣記憶超級乘法口訣的呢？把被乘數與乘數的個位數字加起來；將這一步的得數乘以10；把被乘數、乘數的個位數字乘起來；將前兩步的得數加起來，所得的結果就是所求的積。

超級乘法口訣甚至可以將其升級為99×99的乘法口訣表，從21×21到29×29、31×31到39×39，…，91×91到99×99，也使用類似的算法。以63×65=4095加以說明：63×65=（63+5）×60+3×5=4080+15=4095。

古埃及的乘法運算不需要大量的口訣背誦，只要知道翻倍乘法就可以了，即乘2乘法。以11×16為例，對被乘數11不停乘以2（11×2，11×4，11×8，…）直至乘到數字16，得到結果176 [8]：

如果乘數不是2的冪，怎么計算呢？使用古埃及的乘法運算法計算49乘36為例。被乘數49翻倍，直到得出翻倍次數32，翻倍次數不要超過乘數，如果把32翻倍64就會超過36。同時因為36比32大，找出那些與32相加得36的翻倍次數，然后把翻倍次數相對應的數字相加（196和1568），得到結果1764。計算過程步驟如下。

1.第一步：把被乘數49翻倍。

2.第二步：把乘數36拆分成翻倍次數之和36=32+4。

3.第三步：將對應的翻倍結果相加得196+1568=1764。

古埃及乘法不同于中國乘法計算，使用中國乘法計算的前提是必須掌握乘法口訣表，古埃及數學使用了類似二進制的乘法運算方法。古埃及人意識到任何一個數都可以表示為若干個不同的2的冪的和，這其實和計算機系統的二進制的計算是有著相同原理的[9，10]。

無獨有偶，古代俄羅斯使用類似的一種乘法計算，將被乘數逐次減半，遇到奇數則減1后再減半，同時乘數依次加倍；找出所有奇數數字，其對應的數之和就是乘法結果。這個做法與古埃及的算術法相當類似，但看起來更奇特一些。使用俄羅斯的乘法運算法計算49乘36，計算過程如下表。

挑出減半后是奇數的數字（49，3和1），將其對應的數字相加即可（36+576+1152=1764）。

在古代的兩河流域，人們使用粘土制成泥板，其上用楔形文字書寫。現存有數以百計的兩河數學文獻在泥板上保存下來，這一時期已發展出成熟的數字體系。在古巴比倫的基礎教育中，一個重要的組成部分是記憶大量倒數表（不是今天理解的倒數）和乘法表，同時需要依靠抄寫來輔助記憶。從現有的泥板材料可以看出，學習算術有固定的次序和內容，構造倒數表是其中的一步，同樣倒數表也可以用于乘法。

六十進制的使用為古巴比倫數學的乘法運算發展帶來了很大的障礙，因為如果要背乘法口訣表的話，至少也得背一千多項。所以古巴比倫人利用表格代替乘法口訣表。這些計算有關的表格可能用于學習時的背誦，也可能用于實際的換算或計算，是古巴比倫人計算的重要輔助工具。

這塊泥板給出了形如60/N的整數的六十進制展開，但是還未使用分數概念。其上的文字可釋讀為：

60的2分之一等于30；其3分之一等于20；其4分之一等于15；其5分之一等于12；其6分之一等于10；其7又1/2分之一等于 8；其8分之一等于7又30；其10減1分之一等于 6又40；其12分之一等于 5……

由于古巴比倫采用六十進制，這樣的一個列表相當于倒數表。實際應用這些表格進行計算時是帶計量單位的，這些六十進制數字本身沒有絕對位值，也就是說乘積等于60的任何冪次的兩個數就互為倒數。如第一行“60的2分之一等于30”，則2與30互為倒數，因2×30 =60。古巴比倫的倒數表里所有的數都是精確的小數，在六十進制中都是有限小數。需要計算乘法時，古巴比倫人就去查詢表格從而得到結果，通過大量背誦和記錄來避免乘法計算是古巴比倫的方法[10，11]。

碰到無限小數時，他們會用取近似值的方法來解決。例如，古巴比倫人會通過1/13=1×（1/13）=7×（1/91）≈7×（1/90）=7×（40/3600）=（7×40）/3600來計算1/13的值。那個40就是查倒數表查出來的。

乘法的計算方法體現了古人的數學智慧。一個乘法計算方式有如此多的方法，可見數學的魅力所在。在各種計算方法中，各國采用了不同的進制，中國、印度采用了十進制，古巴比倫采用了六十進制，古埃及采用的方式接近于二進制。

中國的“鋪地錦”計算方法，雖然需要背誦乘法口訣表，但是其清晰的計算結構可以減少計算差錯，同時也可以高效地用于計算多位數和小數，和我國常用的計算工具“算盤”計算方法的思路一脈相承。

印度采用的進制與我國相同，采用十進制，雖然畫圖較為麻煩，遇上8，9這樣的大數畫起來比較費時間；用于1，2這樣的小數字，數起交叉點來還是比較簡單的，而且因為不需要背誦乘法口訣表適用于教育程度較低的地區。同時，印度19超級乘法表能夠節約大量的時間，也是一個很高效的計算方法。

古埃及采用的方式接近于二進制，古埃及人意識到任何一個數都可以表示為若干個不同的2的冪的和。這其實和計算機系統二進制的定義是如出一轍的。這個方法不用背誦也不需要畫圖，僅僅需要掌握乘2的簡單乘法，乘2的計算方法又可以簡化成加法，受到基礎加減法算術教育的人民就可以進行乘法運算。

古巴比倫采用六十進制的方法，60過大很容易出錯，為乘法運算發展帶來了很大的障礙。但是古巴比倫對于無限小數和倒數的認知，為我們打開了數學新世界的大門。古巴比倫人把除以一個數看作是乘以它的倒數，利用查找倒數表可以很方便地實現乘除法的換算。這種方法將計算轉化成查找，和現代數學中利用對數表計算異曲同工。

總之，各種算法各有優點，在那些充滿聰明才智的古代文明頭腦中，總有意想不到的驚喜，為現在科技的快速發展做出了巨大的貢獻。

（作者單位：溫州第二高級中學）

[1]李紅彥. 有趣的算籌. 數學小靈通（1-2年級版）， 2020（12）： 41-42.

[2]李林明. 古人怎樣算乘法.數學小靈通（3-4年級版）， 2014（04）： 34， 35， 45.

[3]梅艷珍. 賞析古代乘法算式“鋪地錦”. 教育實踐與研究（A）， 2011（02）： 50-51.

[4]周全中. 鋪地錦乘法的來龍去脈. 齊魯珠壇， 2000（03）： 18-19.

[5]青華道人.舉例說明西方“格子乘法”就是中國的“鋪地錦”寫算法. https：//weibo.com/ttarticle/p/show？id=2309404715295246778659

[6]王邵惠子. 古代印度算術理論研究. 遼寧師范大學學報， 2019.

[7]優博數學. 神奇的印度式乘法—古代數學智慧介紹. https：//baijiahao.baidu.com/s？id=1624184299783266665&wfr=spid er&for=pc

[8]裴莊. 古埃及人獨創的乘法和除法. 中學生數學， 2002（06）： 40.

[9]phoenix890209. 知道古埃及人是怎么做乘法的么？https：//blog.csdn.net/phoenix890209/article/details/5272487

[10]Matrix67. 沒有乘法口訣表將會怎樣： 古巴比倫乘法和古埃及乘法. http：//www.matrix67.com/blog/archives/360？replytocom=6406

[11]顧森. 獨特的古巴比倫數學. 中學生數理化（初中版） （中考版）， 2011（12）： 21.

關鍵詞：乘法 古文明 計算方法 ■