帶有變系數(shù)的分數(shù)階線性微分方程的顯式解

摘要：分數(shù)階微積分理論是傳統(tǒng)整數(shù)階微積分理論的推廣和延伸。相比較于傳統(tǒng)整數(shù)階微積分，分數(shù)階微積分具有遺傳和記憶功能，可以更加準確地模擬現(xiàn)實生活中的復雜現(xiàn)象。許多農(nóng)業(yè)機械控制的研究指出，分數(shù)階微積分可以大大提升控制系統(tǒng)設計過程中的靈活度，使系統(tǒng)具有更好的控制性能。可見，分數(shù)階微積分理論在農(nóng)業(yè)機械控制和農(nóng)業(yè)信息化等方面起到了不可或缺的作用。分數(shù)階線性微分方程作為基礎和常見的分數(shù)階系統(tǒng)，其顯式解雖然得到了一些研究，但仍然不夠成熟，致使后續(xù)應用工作受阻。本文討論了帶有變系數(shù)的分數(shù)階線性微分方程的初值問題，通過逐步逼近方法和廣義Mittag-Leffler 函數(shù)，得到了在齊次和非齊次兩種情況下的顯式解，并給出了通俗易記的表達式。齊次情況下的顯式解與現(xiàn)有研究結(jié)果保持一致。非齊次情況下的顯式解修正并改進了B. Sambandham等人在文獻［1］中的論述。另外，當階數(shù)ν → 1 時，整數(shù)階的結(jié)果可作為特殊情況推導得出。本文期待能為交叉學科的發(fā)展提供一定的理論參考。

關(guān)鍵詞：分數(shù)階微分方程；顯式解；Mittag-Leffler函數(shù)；算子級數(shù)的收斂

中圖法分類號： O175.1 文獻標識碼： A 文章編號： 1000-2324（2024）06-0874-07

整數(shù)階線性微分方程的顯式解是眾所周知的，它為解決控制問題提供了理論基礎。分數(shù)階微積分理論是傳統(tǒng)整數(shù)階微積分理論的推廣和延伸。相比較于傳統(tǒng)整數(shù)階微積分，分數(shù)階微積分具有遺傳和記憶功能，可以更加準確地模擬現(xiàn)實生活中的復雜現(xiàn)象。從建模的角度來看，具有分數(shù)階導數(shù)的動力系統(tǒng)被認為更為契合實際，也更有效便捷。特別是在農(nóng)業(yè)機械控制和農(nóng)業(yè)信息化等方面，分數(shù)階微積分理論起到了不可或缺的作用［2-5］。另外，分數(shù)階微積分也廣泛應用于航空航天、量子化學、生物醫(yī)學和電子信息工程等學科領域。因此，對分數(shù)階微積分理論和應用的研究越來越受到人們的重視［6-10］。

分數(shù)階線性微分方程作為基礎和常見的分數(shù)階系統(tǒng)，其顯式解雖然得到了一些研究，但卻沒有統(tǒng)一簡易的表達。這致使很多交叉學科的工作苦于沒有明確的顯式解而止步不前，甚至有些在用錯誤的結(jié)果。本文將探討帶有變系數(shù)的分數(shù)階線性微分方程的初值問題，旨在能為讀者提供些許理論參考。