對土方工程量計算方法精確性和適用范圍的探討

李璞LI Pu；劉東LIU Dong

（①東莞濱海灣新區管理委員會，東莞 523861；②東莞理工學院生態環境與建筑工程學院，東莞 523808）

0 引言

隨著城市化的持續推進，城市逐步向外蔓延，所面對的地形地貌越來越復雜多變，需要處理的巖土工程問題也越來越多；同時，高層、超高層建筑越來越多，相應的其基坑越來越深，土方工程量在工程項目的總體工程量中的占比也越來越大。土方工程量的計算就是求取天然地面與設計地面之間填方或挖方的體積。[1]而目前，就土方工程量的計算方法，主要有方格網法、等高線法、平均斷面法、DTM法等，面對不同的地形地貌，工程參與方若采用不同的計算方法，往往會得出不同的結果，其數值甚至相差較大，從而導致經濟糾紛。為盡可能就土方工程量的計算定分止爭，需要從理論上對各計算方法的精確性進行探討，并探究各計算方法在實際操作層面的適用范圍。

1 計算理論的精確性

1.1 方格網法

方格網法分四方棱柱體法和三角棱柱體法。

1.1.1 四方棱柱體法

四方棱柱體法就是將施工區域劃分為若干個邊長等于a 的方格網，每個方格網的土方體積V 等于底面積a2乘以四個角點高度的平均值。[2]如圖1、圖2 所示。

圖1 四方棱柱體法

圖2 全挖（或全填）

若方格四個角點部分是挖方、部分是填方時，則該公式的演繹形式為：

如圖3、圖4 所示。

圖3 半挖半填

圖4 三挖一填（或三填一挖）

用四方棱柱體法計算土方工程量，其本身從理論上就是一個近似計算公式，其精確計算的前提條件之一就是方格的四個角點在一個平面上。而在實際工程中，這一條件往往并不能滿足。因此，用四方棱柱體法計算土方工程量，其計算值和實際值之間往往存在較大誤差。當地形起伏越大，則誤差也越大。[3]

為了減少土方工程量計算的誤差，一般將整方格劃分成多個三角形，土方工程量的計算方法相應地也由四方棱柱體法改成三角棱柱體法。

1.1.2 三角棱柱體法

三角棱柱體法就是將每一個方格順地形的等高線沿對角線劃分成兩個三角形，然后分別計算每一個三角棱柱體的土方工程量。[2]當三角形為全挖或全填時：

如圖5 所示。

圖5 全挖或全填

當三角形有挖有填時，則其零線將三角形分成兩部分，一個是底面為三角形的錐體，一個是底面為四邊形的楔體。[2]其土方工程量為：

如圖6 所示。

圖6 有填有挖

由于三點確定一個平面，因此，上述三個用三角棱柱體法計算土方工程量的計算式就是精確計算公式，從理論上可以得到精確的土方工程量。現試舉兩例說明這一問題。

例1：某土方方格四個角點的標高如圖7 所示，其邊長a 為20m，試計算其土方工程量。

圖7 土方方格四個角點的標高

①用四方棱柱體法計算，其土方工程量為：V=202（9+15+6+12）/4=4200m3。

②連接角點A1和C1；連接角點A 和C，用三角棱柱體法計算，其土方工程量為：V=202[（9+15+6）+（6+12+9）]/6=3800m3。

③連接角點B1和D1；連接角點B 和D，用三角棱柱體法計算，其土方工程量為：V=202[（9+15+12）+（6+12+15）]/6=4600m3。

三個計算結果差異巨大，但都不是精確值。實際上，該方格的四個角點就不在同一個平面上，其土方工程量就沒有精確值。因為，對下底面為平面，而上底面不是平面的“四方棱柱體”，其體積的精確計算值就不一定是底面積乘以四條棱長平均值的積。對該例，現證明如下：

以D1點為原點，D1A1方向為X 軸、D1C1方向為Y 軸、D1D 方向為Z 軸，建立空間直角坐標系，則D、A、C 三點所確定的平面，其平面方程為6x+9y+20z-300=0。B 點的坐標為（20、20、12），將其代入該平面方程，顯然，B 點不在該平面上。因此，該方格的四個角點D、A、B、C 不共平面，八個頂點D、A、B、C、D1、A1、B1、C1所構成的幾何體并不是一個四方棱柱體。如圖8 所示。

圖8 建立直角坐標系

反之，若B 點的坐標為（20、20、0），即角點B 的標高為0，則該方格的四個角點D、A、B、C 共平面，那么采用上述三種土方工程量計算方法所得到的結果則是一致的，且是精確值3000m3。

那么，是不是四個角點共平面，采用四方棱柱體法計算的土方工程量就是唯一精確值呢？筆者的結論是不一定。現舉下例說明該問題。

例2：某場地如圖9 所示，試按挖、填方平衡的原則，分別計算挖方量和填方量。

圖9 場地各方格的角點標高

①計算設計標高。

各方格角點的施工高度如圖10 所示。

②繪出零線。

很顯然，零點A、B、C、D、E 為相應方格邊線的中點，A、B、C、D、E 連線即為零線，且該零線為一條直線。挖方區和填方區構成以C 點為中心的中心對稱圖形。因此，挖方量和填方量相等。如圖10 所示。

現設H11點所對應的設計標高點編號為（H11）'，其余角點所對應的設計標高點編號類推。以（H11）'點為原點，（H11）'（H31）'方向為X 軸、（H11）'（H14）'方向為Y 軸、（H11）'（H11）方向為Z 軸，建立空間直角坐標系，則H11點的坐標為（0、0、1.25）；H31點的坐標為（60、0、0.25）；H13點的坐標為（0、60、0.25）。此三點所確定的平面，其平面方程為x+y+60z-75=0。如圖11 所示。

經檢驗，H21、H12、H22、A、B、C、D、E 點均在該平面上，即該場地挖方區的天然地面方格各角點在一個平面上。可以證明，該場地天然地面的填方區方格各角點亦在該平面上，在此不予贅述。因此，將甲、乙、丙、丁、戊五個方格的挖方量求和，即可求出總的挖方量。

③計算挖方量。

1）甲方格如圖12 所示。

采用三角棱柱體法計算：

連接角點H11和H22；連接角點（H11）'和（H22）'，則甲方格關于平面H11H22（H11）'（H22）'對稱，而被劃分成兩個挖方量相等的三角棱柱體。

或連接角點H21和H12；連接角點（H21）'和（H12）'，甲方格即被劃分成另兩個三角棱柱體。

采用四方棱柱體法計算：

兩種計算方法的結果一致。

2）乙、丙兩方格的底面積、五個角點標高均一致。因此，該兩方格的挖方量相等。現計算乙方格的挖方量。

采用三角棱柱體法計算：

連接A 點和H21、（H21）'點；連接B 點和H21、（H21）'點，則乙方格被劃分成三個三角棱柱體，如圖13 所示。三角棱柱體H21（H21）'H31（H31）'A 和H21（H21）'H22（H22）'B 的底面積、三個角點標高均一致。因此，該兩三角棱柱體的挖方量相等。則該兩三角棱柱體的挖方量之和為：

圖13 乙方格（三角棱柱體法）

三角形H21AB 在設計地面的投影（H21）'AB 為等腰三角形。

三角棱柱體H21（H21）'AB 的挖方量為：

采用四方棱柱體法計算：

或僅連接B 點和H21、（H21）'點，則將乙方格劃分為一個三角棱柱體和一個四方棱柱體，如圖14 所示。

圖14 乙方格（四方棱柱體法）

兩種方法計算的結果不一致。很顯然，兩種方法，必有一種不精確或兩種都不精確。

3）丁、戊方格土方工程量計算。

丁、戊兩方格的底面積、三個角點標高均一致。因此，該兩方格的挖方量相等。現計算丁方格的挖方量。

因此，該場地挖方量根據不同的計算方法有三種不同的結果。

采用四方棱柱體法計算：

采用三角棱柱體法計算：

④現延長EA，與X 軸相交與點G，可以證明H11H31的延長線與X 軸也相交于點G，且點G 的坐標為（75、0、0），如圖11 所示。

由于天然地面各方格的角點和A、B、C、D、E 共平面，因此，該場地挖方量也等于大三棱錐H11（H11）'GE 的體積減去小三棱錐H31（H31）'AG 的體積。這是一個精確值。則：

該計算結果與采用三角棱柱體法計算的結果一致。因此，上述采用四方棱柱體法計算挖方量是不精確的。究其原因在于，分別采用四方棱柱體法和采用三角棱柱體法計算的乙或丙方格的挖方量存在誤差。

乙或丙方格，其五個角點雖共平面，但分別采用三角棱柱體法和四方棱柱體法計算的挖方量結果仍差異巨大。由此得出結論：關于土方工程量的計量，采用三角棱柱體法可以得出精確值，而采用四方棱柱體法則不一定能得出精確值，即使天然地面方格的各角點共平面。

由于任何n 棱錐（底為n 邊形）都可以劃分為（n-2）個三棱錐，因此，根據祖暅原理，n 棱錐的體積和三棱錐的體積計算公式是一樣的，即V=1/3SH（S 為底面積、H 為高）。而任何一個四方棱柱體都可以劃分為多個三角棱柱體或三棱錐體，因此，任意方格的土方工程量理論上都可以運用三角棱柱體法求得其精確值。

1.2 等高線法

等高線法計算土方工程量就是利用地形圖中的等高線計算測區范圍內的土方體積。現行運用等高線法計算土方工程量的理論如下。

將兩等高線之間所夾體積看成為臺體體積，則第i 分層的體積為：

式中Si、Si+1分別為第i 分層的下底面積和上底面積；H 為等高距，其值在地形圖上可以直接取得。[4]

然后將各分層的土方工程量相加求和即可。

上述計算公式只是一個近似計算公式，要利用等高線法計算土方工程量的精確值，就必須使用計算臺體體積的精確計算公式。

而對同屬于臺體的棱臺或圓臺，設下底面積為S1，上底面積為S2，中截面面積為S0，H 為臺體的高，則臺體的體積為：

因此，應將上述土方工程量計算公式修正為：

1.3 平均斷面法

如圖15 所示，設基坑、基槽、管溝、路堤土體兩端的橫斷面面積為F1、F2，L 為土體的長度，土體中截面面積為F0，則土方工程量為：[2]

圖15 平均斷面法

該公式只是一個近似計算公式，完全精確的計算公式則為：

對于形狀簡單、規則且形狀漸變的臺體或基坑、基槽、管溝、路堤土體，中截面面積并不一定等于上下底面積或兩端橫截面積的平均值。因此，公式（8）、式（12）只能是近似計算公式。而運用等高線法或平均斷面法計算土方工程量，本質上是一樣的，都是計算臺體的體積。因為，基坑、基槽、管溝、路堤可以看作推倒平放的臺體。因此，等高線法和平均斷面法的兩個精確計算公式是等效的。

1.4 DTM 法

數字地面模型DTM（Digital Terrain Models）是通過計算機仿真和模擬技術，利用野外實測的地形特征數據建立與實地相似的數字化地面模型，是地表特征空間分布的數值的離散表現，是地形表面形態屬性等多種信息的數字表示。地形表面形態屬性信息一般包括高程、坡度、坡向等。[5]

DTM 法計算土方工程量就是利用實際測量的地形碎部點數據，按照一定的構網規則來形成空間三角網結構模型。在建立好的不規則三角網TIN（Triangulated Irregular Network）中，其每一個基本單元的核心是組成不規則三角形的三個頂點的三維坐標。[6]在天然地面的三角網中，從每個三角形的三個頂點豎直向下引出三條直線，直到與設計地面的三角網相交，這樣便形成許多的三角棱柱體，這時整個待計算區域的土方工程量便是所有這些連續但不可微分的三角棱柱體的體積之和。如圖16 所示。其中，三角棱柱體的上表面三角形ABC，即天然地面，用斜平面擬合；三角棱柱體的下表面三角形DEF 即設計地面，一般為規則或漸變的簡單幾何面的組合；三角形A1B1C1為三角棱柱體上、下表面在水平面上的投影。則該三角棱柱體的體積V＝S△A1B1C1（HAD+HBE+HCF）/3。[7]而S△A1B1C1為三角形A1B1C1的面積，HAD、HBE、HCF分別為AD、BE、CF 的高度。

DTM 法計算土方工程量，其理論基礎是運用公式求三角棱柱體的體積。因此，該方法理論上是可以求得其精確值的。

實際上，上述各種理論上的土方工程量精確計算公式都是基于土體為能用幾何語言進行清晰、準確描述的形狀簡單、規則且形狀漸變的情形，但在土方工程量計算的實際操作層面，土體的實際情況遠不符該理想、標準狀態，且不同計算方法對精確性的影響更有所不同。

2 實際操作層面不同計算方法的精確性

2.1 方格網法

該方法的一個潛在假設就是方格兩頂點之間的坡度是均勻的，但實際情況往往并非如此。所以本方法一般適用于地形起伏不大、地面坡度有規律、范圍比較大的場地平整時使用。

當地形圖的比例尺越大、方格網邊長越小、地形越平坦時，用該方法計算越精確，反之亦然。

2.2 等高線法

該方法一般適用于地形起伏較大、坡度變化較多的山坡地的土方工程量計算。但前提條件是等高線必須閉合，否則無法計算。

2.3 平均斷面法

平均斷面法一般適用于基坑、基槽、管溝、路堤等狹長土體的土方工程量計算。在實際操作層面，運用平均斷面法計算土方工程量，其誤差主要來源于橫斷面的不規則和地形的起伏?？s小誤差的相應措施就是縮短相鄰橫斷面的距離和在地形起伏的轉折點處增加橫斷面。

2.4 DTM 法

DTM 法在構建的三角網中，直接把天然地面原始高程點當成格網的結點，能較好地與地形特征點、線相協調，逼真地表示復雜地形的起伏特征，能更好地適應復雜多變、不規則地形；同時用一個準確的數字化地面模型以提高計算速度。但其最終計算的精確性取決于TIN 模型的精確性，即對地形特征點、地形變換點數據采集的精確性、密度等。地形實際采樣數據越密集，越能充分呈現出實際地形的細微變化，越能使土方工程量的計算值接近于實際真實值。其誤差則來源于對這些地形實際原始數據采集、處理的方法和過程。

隨著計算機技術的快速發展，基于TIN 模型的土方工程量計算發展前景廣闊。譬如，李華蓉基于TIN 模型，引入三角形微分思想，將三角形按照一定規則進行分割，通過計算微分三棱柱體積，進行土方工程量的計算，進一步提高了其精確性；[8]金權基于TIN 模型，發展出一種改進的約束不規則三角構建算法，將場平工程區域邊界作為約束，插入初始三角網，生成高精度的計算約束不規則三角模型，進而實現土方工程量的精確計算[9]等。

3 結束語

綜上所述，由于天然地面的地形地貌千變萬化，而設計地面可能是曲面、水平面、斜面或多種幾何面的組合，將不規則地形地貌用規則幾何形體進行計算模擬，其勢必產生誤差。所以，要完全精確地計算出土方工程量是不可能的。而較精確的土方工程量計算，對優選施工方案、正確選擇工程施工機械、做好工程預結算和減少工程參與方之間的經濟糾紛等都具有重要的實際意義。[1]無論從理論上，還是在實際操作層面，相較于其它幾種方法，基于三角棱柱體體積計算方法的DTM 法，其精確性相對更高、適用范圍更廣。因此，在土方工程量計算中，應盡可能采用DTM 法。