一類帶有執行器故障的不確定歐拉-拉格朗日系統事件觸發實際跟蹤控制

摘要： 研究一類帶有執行器故障的歐拉-拉格朗日系統事件觸發實際跟蹤控制問題，提出一種新的自適應事件觸發實際跟蹤控制設計方案。通過在反推設計過程中引入一動態增益來克服系統不確定性，巧妙選取其更新律和虛擬控制以避免已有結果對參考信號的限制。與已有結果相比，本研究系統存在更強的不確定性并降低了已有結果對參考信號一般性和可測量性的限制。理論分析表明所設計的控制器能保證閉環系統所有信號有界并且系統輸出實際跟蹤到參考信號，同時所有采樣間隔都嚴格大于一個正常值。最后，通過仿真算例驗證該方法的有效性。

關鍵詞：歐拉-拉格朗日系統；不確定性；事件觸發控制；自適應控制；實際跟蹤

中圖分類號： O231.2

文獻標志碼： A

歐拉-拉格朗日系統可以用來描述實際工程中的多數動態過程，例如，機械臂^［1］、基準系統^［2］和衛星^［3］等。近二十年來，該類系統的軌跡跟蹤問題受到了廣泛的關注。需指出的是，由于受外部環境影響以及測量設備的不準確性、元器件的損耗等因素的影響，描述實際工程動態的系統不可避免地存在不確定性（例如存在未知參數或受外部擾動影響），給控制設計和性能分析帶來本質困難。因此，針對不確定歐拉-拉格朗日系統跟蹤控制問題，基于對系統不確定性不同的假設，多種控制方法相繼被提出。例如，當沒有外部擾動影響并且需要系統具有已知標稱部分時，文獻［4］提出了一種自適應有限時間控制方法；當系統受到外部擾動但需要系統參數精確已知時，文獻［5］提出了一種受輸入飽和約束的自適應滑模控制方法；當系統受到外部擾動但系統參數需要具有已知標稱部分時，文獻［6］和文獻［7］分別提出了自適應控制方法和有限時間下的滑模控制方法；當系統受到外部擾動且系統參數全部未知時，文獻［8］提出了一種新的基于誤差邊界的故障補償機制，文獻［9］～［11］分別提出了能保證輸入飽和約束、全狀態約束和固定時間收斂的神經網絡和時變控制方法，文獻［12］提出了基于強化學習的控制設計方法，文獻［13］和文獻［14］分別提出了輸入飽和約束下帶有執行器故障的滑模控制方法和PID控制方法。

隨著網絡通訊在實際工程中的普遍應用，降低通訊成本、節約通訊資源成為控制設計中必須考慮的基本問題。與時間觸發相比，事件觸發控制僅在系統需要時才發生采樣而不是以固定的時間采樣，大大提升了通訊效率。因此，歐拉-拉格朗日系統的事件觸發控制近年來受到了廣泛的關注^［15-20］。基于滑模^［15-17］、無模型參數^［18］、模糊^［19］、自適應^［20］的方法，多類歐拉-拉格朗日系統的事件觸發跟蹤控制問題被解決。但現有結果均在系統不確定性、參考信號的一般性及其可測量性上受到限制。具體地，文獻［15］和文獻［17］雖然考慮了系統受外部擾動的影響，但要求慣性矩陣具有已知的標稱部分；文獻［20］允許系統所有參數全部未知，但忽略了外部擾動；文獻［16］～［18］雖然允許系統參數全部未知并考慮了外部擾動的影響，但是需要參考信號是二階可導的，因而一大類不充分光滑的參考信號被排除（例如參考信號僅一階連續可微），從而限制了參考信號的一般性。此外，文獻［16］和文獻［19］還要求參考信號的導數（實際中對應著被跟蹤對象的速度、加速度）必須可用于反饋，從而在參考信號的測量上需要花費更多的代價。一旦參考信號由某個移動目標的運動軌跡形成，其二階導數的測量將在實際工程中難以實現（甚至不可能）。

實際工程中，受環境中溫度、濕度以及元器件損壞等因素的影響，執行器故障不可避免地存在于受控系統中，導致系統性能下降，甚至不穩定。然而上述大部分文獻^{［15-18，20}］都未考慮執行器故障。盡管文獻［19］考慮了一類帶有執行器故障的預設性能下歐拉-拉格朗日系統的跟蹤控制問題，但在參考信號的可測量性上受到限制（如前所述）。注意到現有結果的局限性，對于一類帶有執行器故障的歐拉-拉格朗日系統的事件觸發實際跟蹤控制問題，當系統具有嚴重的不確定性并且對參考信號的一般性和可測量性較弱的假設時，現有控制方法失效。為此，本研究提出了一個新的自適應事件觸發實際跟蹤控制方法。具體地，通過引入一狀態變換，將原系統的跟蹤問題轉化為一新系統的鎮定問題。針對新系統，利用反推設計步驟設計控制器及事件觸發機制，保證閉環系統期望的跟蹤性能并排除芝諾現象。

1 問題描述

1.1 系統描述

本文考慮如下一類歐拉-拉格朗日系統：

D（q）+C（q，）+σ（q）+ρ（）=u（τ）+ω，

y=q，（1）

其中，q，，∈綆n分別表示系統的廣義坐標、速度、加速度；D（q）∈綆^n×n，C（q，）∈綆^n×n，σ（q）∈綆n，ρ（q） ∈綆n是未知的連續矩陣函數，分別表示廣義質量、科里奧利/離心力、勢能力和耗散力；ω∈綆n是未知時變擾動；y是系統輸出；u=（u1，…，un）T∈瘙綆n是控制輸入，滿足以下故障模型：

ui（τi）+fiτi+φi，i=1，…，n，（2）

其中，fi和φi分別是未知的時變函數，τi是待設計的力或力矩。通常情況下，故障模型方程（2）可以描述以下三種常見的故障類型：

（1）效率下降故障，即0lt;‖fi‖lt;1，‖φi‖=0；

（2）偏移故障，即‖fi‖=1，‖φi‖≠0；

（3）同時考慮效率下降和偏移的故障，即0lt;‖fi‖lt;1，‖φi‖≠0。

給出系統（1）的一個重要性質^{［14，16，20-22］}：

性質1 D（q）是正定對稱矩陣，存在未知常數l1，使得‖D（q）‖≤l1，‖C（q，）‖≤l1‖i‖，‖σ（q）‖≤l1，‖ρ（）‖≤l1‖i‖，‖（q）‖≤l1‖i‖，q∈n。

1.2 控制目標

控制目標是對系統（1）設計事件觸發控制器，保證所得閉環系統的所有狀態都是有界的且系統輸出y實際跟蹤到給定的參考信號yr，即εgt;0，存在有限時間Tgt;0使得

‖y-yr‖≤ε，tgt;T。

給出關于擾動、參考信號和執行器故障系數的假設。

假設1 存在未知常數l2，使得‖ω‖≤l2。

假設2 存在未知常數l3，使得‖yr‖+‖r‖≤l3。

假設3 存在未知常數l4，l4和l5，使得0lt;l4≤‖fi‖≤1，‖f·i‖≤l4，‖φi‖≤l5，i=1，…，n。

2 控制器設計

為了使控制設計方便，定義新狀態變量x1=q，x2=，利用系統（1）得到新系統：

1=x2，

2=D（x1）^-1（fτ+φ+ω-C（x1，x2）x2-σ（x1）-ρ（x2）），

y=x1，（3）

系統（3）中，輸入u（τ）被重新表述為

u（τ）=fτ+φ，（4）

其中，f=diag（fi）∈^n×n是未知的光滑正定矩陣函數，φ=（φ1，…，φn）T。對系統（3），定義狀態變換：

z1=x1-yr，

z2=x2-α1，（5）

其中，α1為待設計的虛擬控制。對式（5）兩邊分別求導并利用式（3），得到誤差系統：

1=x2-r，

2=D（x1）^-1（fτ+φ+ω-C（x1，x2）x2-σ（x1）-ρ（x2））-1。（6）

通過兩步反推設計步驟，給出控制器設計的詳細過程。

第一步：選取

V1=12zT1z1，

沿誤差系統（6）的解，得V1的導數為

D+V1=zT11=zT1（z2+α1-r），（7）

根據假設2并使用Young’s不等式，將式（7）等號右端第一項和最后一項做如下估計：

zT1z2≤κ2zT1z1+κ2z2Tz2，

-zT1r≤κ2zT1z1+l232κ，（8）

其中，κ（t）為滿足以下性質的時變函數：

=‖z1‖-ε2，‖z1‖≥ε2，

0，‖z1‖lt;ε2，（9）

κ（0）≥1。

將式（8）代入式（7）得

D+V1≤κ2zT1z1+κ2z2Tz2+zT1α1+κ2zT1z1+l232κ=

zT1（κz1+α1）+κ2z2Tz2+l232κ。（10）

選取虛擬控制

α1=-z1（c1+κ）α1（x1，κ，yr），（11）

其中，c1為控制器參數，則式（10）轉化為

D+V1≤-c1zT1z1+κ2z2Tz2+l232κ。（12）

第二步：選取

V2=V1+12z2Tf^-1D（x1）z2，

沿誤差系統（6）的解求導得

D+V2=D+V1+z2Tf^-1D（x1）2+12z2T^-1D（x1）z2+12z2Tf^-1（x1）z2

=

D+V1+z2Tf^-1D（x1）（D（x1）^-1（fτ+φ+ω-C（x1，x2）x2-σ（x1）-

ρ（x2））-D+α1）+12z2T^-1D（x1）z2+12z2Tf^-1（x1）z2。（13）

注意到

D+α1=α1x1z2-α1x1（c1+κ）z1+α1κ+α1yrr，

x2=z2-（c1+κ）z1，

將上式代入式（13），得

D+V2=D+V1+z2Tf^-1D（x1）（D（x1）^-1（fτ+φ+ω-C（x1，x2）z2+C（x1，x2）（c1+κ）z1-σ（x1）-

ρ（x2））+α1x1z2-α1x1（c1+κ）z1+α1κ+α1yrr）+12z2T f-1

（x1）z2+12z2Tf-1 （x1）z2=

D+V1+z2T（τ+f-1φ-f-1ω-f-1C（x1，x2）z2+f-1C（x1，x2）（c1+κ）z1-f-1σ（x1）-

f-1ρ（x2）+f-1D（x1）α1x1z2+f-1D（x1）α1x1（c1+κ）2z1+f-1D（x1）α1κ-α1yrr-

f-1D（x1）（c1+κ）r+12-1D（x1）z2+12f-1D（x1）z2）。（14）

為了控制設計的需要，式（14）右端多項需要進一步估計。首先，利用假設3和Young’s不等式，式（14）右端括號內第二項滿足估計：

zT2f-1φ≤κ2 ‖z2‖2+nl522κl42，（15）

然后，利用假設1、3和的定義，式（14）右端括號內第三項和第八項滿足估計：

z2Tf-1ω≤κ2‖z2‖2+l222κl42，

-z2Tf-1D（x1）α1κ≤κ2‖z2‖2‖α1κ‖2‖z1‖2+l122κl42。（16）

類似地，利用性質1和假設2、3，式（14）右端括號內第四至七項、九至十三項滿足估計：

-z2Tf-1C（x1，x2）z2≤κ2‖z2‖4（‖z2‖2+‖z1‖2（c1+κ）2）+l12κl42，

z2Tf-1C（x1，x2）（c1+κ）z1≤κ2‖z1‖2‖z2‖2（c1+κ）2（‖z2‖2+‖z1‖2（c1+κ）2）+l12κl42，

-z2Tf-1σ（x1）≤κ2‖z2‖2+l122κl42，

-z2Tf-1ρ（x2）≤κ2‖z2‖2（‖z2‖2+‖z1‖2（c1+κ）2）+l122κl42，

-z2Tf-1D（x1）α1x1z2

≤κ2‖z2‖4α1x1‖2+l122κl42，

z2Tf-1D（x1）α1x1（c1+κ）z1≤κ2‖z2‖2α1x1‖2（c1+κ）2‖z1‖2+l122κl42，

12z2T-1D（x1）z2≤κ8‖z2‖4+l422κl44，

12z2Tf-1（x1）z2≤κ8‖z2‖4（‖z2‖2+‖z1‖2（c1+κ）2）+l12κl42，

-z2Tf-1D（x1）α1yrr≤κ2‖z2‖2α1yr‖2+l12l322κl42。（17）

將式（15）～（17）代入式（14）得

D+V2≤-c1z1Tz1+κ2z2Tz2+l322κ+z2Tτ+κ2‖z2‖2+nl522κl42+κ2‖z2‖2+l122κl42+κ2‖z2‖4（‖z2‖2+

‖z1‖2（c1+κ）2）+l12κl42+κ2‖z1‖2‖z2‖2（c1+κ）2（‖z2‖2+‖z1‖2（c1+κ）2）+l12κl42+

κ2‖z2‖2+l122κl42+κ2‖z2‖2（‖z2‖2+‖z1‖2（c1+κ）2）+l12κl42+κ2‖z2‖4‖α1x1‖2+

l122κl42+κ2‖z2‖2‖α1x1‖2（c1+κ）2‖z1‖2+l122κl42+κ2‖z2‖2‖α1κ‖2‖z1‖2+

l122κl42+κ2‖z2‖2‖α1yr‖2+l12l322κl42+κ8‖z2‖4+l12l422κl42+κ8‖z2‖4（‖z2‖2+

‖z1‖2（c1+κ）2）+l12κl42=

-c1z1Tz1+z2Tτ+2κ‖z2‖2+5κ8‖z2‖4（‖z2‖2+‖z1‖2（c1+κ）2）+κ2‖z2‖2（‖z2‖2+

‖z1‖2（c1+κ）2）（‖z1‖2（c1+κ）2+1）+κ2‖z2‖2‖α1x1‖2（‖z2‖2+‖z1‖2（c1+κ）2）+

κ2‖z2‖2‖α1κ‖2‖z1‖2+κ2‖z2‖2‖α1yr‖2+κ8‖z2‖4+Mκ=

-c1z1Tz1+z2T（τ+κ2z2（4+54‖z2‖2

（‖z2‖2+‖z1‖2（c1+κ）2）+（‖z2‖2+

‖z1‖2（c1+κ）2）（‖z1‖2（c1+κ）2+1）+‖α1x1‖2（‖z2‖2+‖z1‖2（c1+κ）2）+

‖α1κ‖2‖z1‖2+

α1yr‖2+14‖z2‖2））+Mκ=

-c1z1Tz1+z2T（τ+κ2Λ）+Mκ=

-c1z1Tz1+z2T（τ-α2）+z2T（α2+κ2Λ+κ2z2）-κ2z2Tz2+Mκ，（18）

其中，

M=12l42（12l12+l12l32+l12l42+l22+l32l42+nl52），

Λ=z2（4+54‖z2‖2（‖z2‖2+‖z1‖2（c1+κ）2）+（‖z2‖2+‖z1‖2（c1+κ）2）（‖z1‖2（c1+κ）2+1）+

（α1x1）2（‖z2‖2+‖z1‖2（c1+κ）2）+（α1κ）2‖z1‖2+（α1yr）2+14‖z2‖2）。

取

α2=-c2z2-κ2Λ-κ2z2α2（x1，x2，κ，yr），（19）

將式（19）代入式（18）得

D+V2≤-c1z1Tz1-c2z2Tz2+z2T（τ-α2）-κ2z2Tz2+Mκ。（20）

取事件觸發控制器τ為

τ（t）=α2（x1（tk），x2（tk），κ（tk），yr（tk）），t∈［tk，tk+1），（21）

tk表示采樣時間，其更新機制為

t1=0，tk+1=inf{tgt;tk｜‖τ（t）-α2（x1（t），x2（t），κ（t），yr（t）‖≥δ}，（22）

其中，δ是預先指定的任意正常數。

由于‖τ-α2‖≤δ，則利用Young’s不等式可對式（20）的第三項做如下估計：z2T（τ-α2）≤κ2z2Tz2+δ2κ，（23）

將式（23）代入式（20）得D+V2≤-c1z1Tz1-c2z2Tz2+M*κ≤

-122c1z1Tz1-122c2l4l1z2Tf^-1D（x1）z2+M*κ≤

-μV2+M*κ，（24）

其中，μ=min2c1，2c2l4l1，M*=M+δ22。

3 閉環系統性能分析

首先給出動態增益κ的有界性（命題1），在此基礎上，給出閉環系統的主要性能（定理1）。

命題1 事件觸發控制器（21）保證動態增益κ在［0，+∞）上有界。

證明 使用反證法證明。假設κ在［0，+∞）上無界，則對于某個正常數T*=16M*ε2μ，T1∈［0，+∞），使得｜κ（T1）｜gt;T*。注意到κ·（t）≥0，故κ（t）是遞增的，進而有κ（t）≥κ（T1）gt;T*=16M*ε2μ，t∈［T1，+∞）。

由式（24）可得

D+V2+μV2≤ε2μ16，（25）

式（25）兩邊同乘e^μt，再在［t，T1）上積分得

V2（t）≤e^{-μ（T1-t）}V2（T1）+ε216（1-e^{-μ（T1-t）}）≤e^{-μ（T1-t）}V2（T1）+ε216。

因為limt+∞e^{-μ（T1-t）}V2（T1）=0，所以T2∈［T1，+∞），使得e^{-μ（T1-t）}V2（T1）lt;ε216，tgt;T2。從而推得V2（t）lt;ε28， ‖z1‖lt;ε2，tgt;T2。因此，由式（9）可得κ·（t）=0，tgt;T2。說明κ（t）在［T2，+∞）上為常數，從而有界。又因為κ（t）是連續、遞增的，且κ（0）≥1，所以κ（t）在［0，T2）上有界，因此κ（t）在［0，+∞）上有界，從而與假設矛盾。因此，κ（t）在［0，+∞）上有界。證畢。

定理1 對于滿足假設1～3的系統（1），所設計的事件觸發控制器（9），（21），（22）保證所得閉環系統具有三方面的性能：

（1）閉環系統的所有狀態在［0，+∞）上都有界；

（2）系統輸出y實際跟蹤到參考信號yr；

（3）所有采樣間隔有正常值下界，即inf（tk+1-tk）gt;0。

證明 首先證明性能（1）。將式（25）在［0，t）上積分得

V2（t）≤e^-μtV2（0）+ε216（1-e^-μt）

≤V2（0）+ε216，

上式表明V2在［0，+∞）上有界，進而由V2的定義可知z1、z2有界。因此，由式（5）可得x1、x2和α1是有界的。注意到κ和yr有界（分別由命題1和假設2可知），故由式（19）可推出α2有界，由式（21）得τ有界，進而由式（4）得u有界。

然后證明性能（2）。由于r，x2有界，由式（6）可得1有界。又因為z1在［0，+∞）上是連續的，因此z1在［0，+∞）上一致連續，從而由式（9）知在［0，+∞）上一致連續。另一方面，∫0^+∞（t）dt=κ（+∞）-κ（0）lt;+∞，這表明在［0，+∞）上可積。綜上，根據Barbalat引理，則limt+∞（t）=0，即εgt;0，Tgt;0使得｜｜lt;ε2，tgt;T，因此‖y-yr‖≤ε，tgt;T。

最后證明性能（3）。注意到，在［tk，tk+1）上，

D+α2=α2x1 1+α2x2" 2+α2κ +α2yr r=

α2x1x2+α2x2 D（x1）^-1（fτ+φ+ω-C（x1，x2）x2-

σ（x1）-ρ（x2））+α2κ+α2yr r

顯然成立，且右端各項都是有界的，因此λgt;0，t∈［tk，tk+1），｜D+α2（t）｜lt;λ。利用事件觸發條件（22），有‖τ（t）-α2（t）‖≤δ，從而

｜D+（τ（t）-α2（t））2｜=2｜τ（t）-α2（t）｜｜D+α2（t）｜≤2δλ。（26）

由（τ（tk+）-α2（tk+））2=0，（τ（t-k+1）-α2（t-k+1））2=δ2，可得

δ2=（τ（t-k+1）-α2（t-k+1））2-（τ（t+k）-α2（tk+））2=

∫^t-k+1t+k D+（τ（t）-α2（t））2dt≤

∫^t-k+1t+k D+（τ（t）-α2（t））2dt≤2δλ（tk+1-tk），

即

tk+1-tk≥δ2λ，

δ2λ與k無關，則inf（tk+1-tk）≥δ2λgt;0。證畢。

注1 定理1表明，在保證系統輸出跟蹤性能和其他閉環系統信號有界性的基礎上，本文主要結果放寬了對系統不確定性和參考信號一般性及其可測量性的限制。

4 仿真算例

考慮如圖1所示的二級連桿平面機械臂系統，其數學模型由系統（1）給出。

系統（1）中各動態矩陣和向量定義為

D（q）= （m1+m2）h21"" m2h1h2cos（q2-q1）

m2h1h2cos（q2-q1）""" m2h22，

C（q，ν）=""" 0""" -m2h1h2ν2sin（q2-q1）

m2h1h2ν2sin（q2-q1）""" 0""" ，

σ（q）=（m1+m2）gh1sin q1

m2gh2sin q2，

ρ（ν）=β1h21ν1β2h22ν2，

f（t）=0.1cos t+0.7"" 0"" """0"" 0.01sin t+0.99，

φ（t）=1+0.1sin t110+0.1cos t，

其中：mi，hi分別表示第i根連桿的質量和長度；qi表示y軸到第i根桿的角度；τi是相對于第i根桿的扭矩；ωi是懸掛點處水平和豎直方向上的擾動加速度；其中i=1，2。令q=（q1，q2）T，ν==（ν1，ν2）T，τ=（τ1，τ2）T。

假設系統參數為m1=5 kg，m2=5.1 kg，h1=0.7 m，h2=0.55 m，β1=2，β2=1，并且擾動ω=（ω1，ω2）T=（2sin t，cos t）T，

初始狀態為q（0）=（q10，q20）T=（1，0.1）^T，ν（0）=（ν10，ν20）T=（0.1，1）T，

給定參考信號yr=（yr1，yr2）T=2sin（0.2t），cos（0.3t）T，跟蹤精度參數ε=0.1，δ=0.5，令c1=1，c2=2，利用控制器（9）、（21）、（22）得到圖2～7。圖2表明跟蹤誤差在某時刻之后到達并保持在給定的鄰域內，圖3、4表明系統狀態q，是有界的，圖5表明動態增益κ是有界的且最終收斂到某一常值，圖6表明控制器τ是有界的，圖7表明采樣間隔有正常值下界。

5 總 結

本研究解決了一類帶有執行器故障的不確定歐拉-拉格朗日系統的事件觸發實際跟蹤問題，通過將自適應方法融入反推設計框架，并結合事件觸發設計機制給出了系統自適應事件觸發控制器顯式形式，保證了閉環系統所有信號有界并且系統輸出實際跟蹤到參考信號，同時所有采樣間隔都嚴格大于一個正常值。由于僅考慮到系統的穩態性能而忽視暫態性能，因此未來將考慮所研究系統具有預設暫態性能的事件觸發實際跟蹤控制問題。

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Event-Triggered Practical Tracking Control for a Class of Uncertain Euler-Lagrange System with Actuator Faults

ZHAO Wei， LI Jian

（School of Mathematics and Information Sciences， Yantai University， Yantai 264005， China）

Abstract：

Event-triggered practical tracking control is studied for a class of Euler-Lagrange systems with actuator faults. For such control problem， a novel adaptive event-triggered design scheme is proposed. Specifically， system uncertainties are overcome by introducing a dynamic gain into the back-stepping design procedure， and meanwhile， the constraints on the reference signal of the existing results are relaxed by a smart choice of the updating law for the dynamic gain and the virtual control. Compared with the existing results， the investigated system allows more serious uncertainties and relaxes the limitations on the generality and measurability of the reference signal. Theoretical analysis is given to show that the designed controller can ensure that all signals of the closed-loop system are bounded while the system output practically tracks the reference signal， along with that all the sampling intervals are strictly greater than a positive constant. Finally， the effectiveness of the method is verified by a simulation example.

Keywords：

Euler-Lagrange system; uncertainty; event-triggered control; adaptive control; practical tracking

（責任編輯 李春梅）