π-H-余模代數與π-H-余模子代數

趙士銀,周堅

（宿遷學院教師教育系,江蘇宿遷223800）

π-H-余模代數與π-H-余模子代數

趙士銀,周堅

（宿遷學院教師教育系,江蘇宿遷223800）

研究了π-H-余模子代數的相關性質.借助對偶原理證明了M是π-H-余模代數A的π-H-余模子代數當且僅當M⊥是π-H-模余代數A?的π-H?-模余理想.關鍵詞：Hopf π-余代數;π-H-余模代數;π-H-余模子代數

1 引言

Hopf π-余代數是V.G.Turaev在研究3維流形上主π-叢的Hennings-like與Kuperberglike不變量時引入的一類代數結構,它是Hopf代數的推廣.文獻[1]將Hopf中許多重要性質推廣到了Hopf π-余代數上.文獻[2]討論了余擬三角Hopf π-余代數及其模范疇.文獻[3]主要探討Hopf π-余代數Morita Contexts和π-Galois擴張.本文在文獻[3]的基礎上,給出了π-H-余模代數和π-H-模余代數的定義,討論了局部有限維Hopf π-余代數H上的π-H-余模代數的對偶是Hopf π-代數H?上的π-H-模余代數.得到了局部有限維Hopf π-余代數H上的π-H-余模子代數與Hopf π-代數H?上的π-H?-模余理想之間的充分必要條件.

本文中恒設K為域,π是乘法群,其單位元為1.所有的空間都是K-向量空間,映射是K-線性映射,A?KB寫為A?B,π-H-(余)模指的是右π-H-(余)模.其它符號和概念可見文獻[5-9].

2 預備知識

首先來回顧一下π-余代數與Hopf π-余代數等基本概念.

定義2.1設為π-余代數,給定一簇K-線性映射

稱H為Hopf π-余代數,若滿足條件:

定義2.2設為π-代數,給定一簇K-線性映射

定義2.3若對于每個都是有限維的,則稱為局部有限型Hopf π-余代數.

類似地,定義

這樣,可以證得下面的引理.

引理2.1[7]設為局部有限維的Hopf π-余代數,則H的對偶空間是Hopf π-代數.

3 π-H-余模代數的對偶

本節主要考慮π-H-余模代數的對偶問題.為此,先引入幾個相關概念.

定義3.1設為π-余代數,若存在K-向量空間N及K-線性映射簇且對任意的α,β∈π,使得

成立,則稱(N,ρ)為π-余代數C上的π-C-余模N.

定義3.2設為π-代數,若存在K-向量空間M及K-線性映射簇且對任意的α,β∈π,使得

成立,則稱(M,η)為π-代數A上的π-A-模M.

定義3.3設為Hopf π-余代數,是代數.若存在K-線性映射簇滿足:

（1）(A,ρA)是一個π-H-余模;

定義3.4設為Hopf π-代數,是一個余代數,若存在一簇K-線性映射滿足:

定義3.5設為局部有限維Hopf π-余代數,為π-H-余模代數,若A是有限維的,則稱(A,ρA)是局部有限維π-H-余模代數.

這樣,對于局部有限維π-H-余模代數(A,ρA),可以定義其中A?={所有的K-線性映射f:A?→K}.

引理3.1設H=({Hα,mα,uα}α∈π,?,ε,S)為局部有限維Hopf π-余代數,(A,ρA)為H上局部有限維π-H-余模代數,則是Hopf π-代數H?上的π-H?-模.

證明首先,由于H=({Hα,mα,uα}α∈π,ε,S)為局部有限維Hopf π-余代數,故由引理2.1,是一個Hopf π-代數.

其次,由于(A,ρA)為H上局部有限維π-H-余模,故有

另外,任取a∈A,a?∈A?,則有

定理3.1設為局部有限維Hopf π-余代數,(A,ρA)為H上局部有限維π-H-余模代數,則是Hopf π-代數H?上的π-H?-模余代數.

證明首先,由于是代數,故由文獻[5],是一個余代數.其次,由引理3.1,是Hopf π-代數H?上的π-H?-模.

最后,只需驗證定義3.4中條件(2)、條件(3)成立即可.由于(A,ρA)為H上局部有限維π-H-余模代數,從而

4 π-H-余模子代數與π-H-模余理想

本節將研究π-H-余模子代數與π-H?-模余理想之間的關系.為此,先介紹相關概念和引理.

定義4.1設M是π-余代數H上的π-H-余模,N是M的子空間,并且滿足對任意的α∈π,ρα(N)?N?Hα,則稱N是M的π-H-子余模.

定義4.2設L是π-代數H上的π-H-模,I是L的子空間,并且滿足對于任意的α∈π,ηα(I?Hα)?I,則稱I是L的π-H-子模.

定義4.3設H為Hopf π-余代數,A為π-H-余模代數.若B是A的子代數,且B是A的π-H-子余模,則稱B是A的π-H-余模子代數.

定義4.4設?H為Hopf π-代數,C為π-?H-模余代數.若D是C的余理想,且D是C的π-?H-子模,則稱D是C的π-?H-模余理想.

設J是K-向量空間,I是J的子空間,定義

則I⊥是J?的子空間.若Q是J?的子空間,定義

則Q⊥是J的子空間.

引理4.1設H為局部有限維Hopf π-余代數,(A,ρA)為局部有限維π-H-余模代數,M是A的π-H-子余模,則M⊥是A?的π-H?-子模.

證明首先,由于(A,ρA)為局部有限維π-H-余模代數,故由引理3.1可得是π-H?-模,且對于任意的α∈π,ρα(M)?M?Hα.

引理4.2[5]設是一個代數,若M是A的子代數,則M⊥是

的余理想.

定理4.1設H為局部有限維Hopf π-余代數,(A,ρA)為局部有限維π-H-余模代數,若M是A的π-H-余模子代數,則M⊥是A?的π-H?-模余理想.

證明由引理4.1和引理4.2可證得.

引理4.3設H為局部有限維Hopf π-余代數,(A,ρA)為局部有限維π-H-余模代數,M是A?的π-H?-子模,則M⊥是A的π-H-子余模.

證明首先,由于M是A?的π-H?-子模,故對于任意的接下來,只要證明對于任意的即可.由于

因此M⊥是A的π-H-子余模.

引理4.4[5]設是一個代數,若M是的余理想,則M⊥是A的子代數.

定理4.2設H為局部有限維Hopf π-余代數,(A,ρA)為局部有限維π-H-余模代數,M是A?的π-H?-模余理想,則M⊥是A的π-H-余模子代數.

證明由引理4.3和引理4.4可證得.

定理4.3設H為局部有限維Hopf π-余代數,(A,ρA)為局部有限維π-H-余模代數,則M是A的π-H-余模子代數當且僅當M⊥是A?的π-H?-模余理想.

證明由定理4.1和定理4.2可證得.

[1] Virelizier A.Hopf group coalgebras[J].Journal of Pure and Applied Algebra,2002,171(1):75-122.

[2] Zhu Meiling,Chen Huixiang.Coquasitriangular Hopf group coalgebras and braided monoidal categories[J]. Frontiers of Mathematics in China,2011,6(5):1009-1020.

[3] Wang Shuanhong.Morita Contexts,π-Galois extensions for Hopf π-comodules[J].Communications in Algebra,2006,34(2):521-546.

[4] Sweedler M E.Hopf Algebra[M].New York:Benjiamin,1969.

[5] Wang Shuanhong.A Maschke type theorem for Hopf π-comodules[J].Tsukuba Journal of Mathematics, 2004,28(2):377-388.

[6] Abe E.Hopf Algebra[M].New York:Combridge University Press,1980.

[7] 趙士銀.Hopf π-余代數與單側π-余理想[J].山東理工大學學報:自然科學版,2008,29(2):163-165.

[8] 衡美芹,孫建華.Hopf π-余代數的π-子余代數[J].純粹數學與應用數學,2009,25(4):33-38.

[9] 趙士銀.Hopf π-子模[J].純粹數學與應用數學,2011,27(1):45-50.

π-H-comodule algebra and π-H-comodule subalgebra

Zhao Shiyin,Zhou Jian
(Department of Teachers Education,Suqian College,Suqian223800,China)

Some properties of π-H-comodule subalgebra are studied.With the help of the dual principle,we prove that M is a π-H-comodule subalgebra of A if and only if M⊥is a π-H?-module coideal of A?.

Hopf π-coalgebra,π-H-comodule algebra,π-H-comodule subalgebra

O153.3

A

1008-5513(2014)05-0447-07

10.3969/j.issn.1008-5513.2014.05.002

2013-06-12.

國家自然科學基金(11171291);江蘇省教育廳青藍工程資助項目.

趙士銀(1978-),碩士,副教授,研究方向:基礎代數學.

2010 MSC:16W30