建數(shù)學(xué)模型　抓數(shù)學(xué)本質(zhì)　現(xiàn)生活原型

戴佳珉　單熙文

1 課前分析

1.1 學(xué)情分析

七年級階段，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了有理數(shù)和整式的有關(guān)知識，也學(xué)習(xí)了一元一次方程的簡單列法和解法.由于學(xué)生的思維剛剛從經(jīng)驗(yàn)型向理論型發(fā)展，對于如何用數(shù)學(xué)的觀點(diǎn)來解決實(shí)際問題，即如何將實(shí)際問題抽象概括為數(shù)學(xué)中的方程問題是學(xué)生學(xué)習(xí)的難點(diǎn)，因此培養(yǎng)其模型意識與模型思想是本節(jié)課的重點(diǎn).

1.2 教學(xué)思路分析

本節(jié)課基于整體設(shè)計(jì)思路，通過創(chuàng)設(shè)生動有趣的情境，在學(xué)生樂學(xué)的過程中，也滲透了人文關(guān)懷，知識和建模兩條主線并舉前行，實(shí)現(xiàn)最終的教學(xué)目的.

知識主線（明線）：通過建立利潤問題的應(yīng)用模型和用一元一次方程解決實(shí)際問題的模型，學(xué)生可以解決銷售中的盈虧問題.

思想主線（暗線）：通過問題情境導(dǎo)入新課，讓學(xué)生在情境中建立利潤問題的應(yīng)用模型、用一元一次方程解決實(shí)際問題的模型、用方程解決實(shí)際問題的模型，使模型真正成為一種思想，成為學(xué)生解決現(xiàn)實(shí)生活問題的有力抓手.

2 課堂簡錄

2.1 創(chuàng)設(shè)情境，鳳舉鸞翔

師：中國隊(duì)在2022年北京冬奧會上，拿到了9塊金牌、4塊銀牌、2塊銅牌，一共15塊獎(jiǎng)牌，創(chuàng)造了單屆冬奧會奪金紀(jì)錄、單屆冬奧會奪牌紀(jì)錄，而且這一屆冬奧會，中國隊(duì)也創(chuàng)造了亞洲國家最好的成績.圖1是奧運(yùn)健兒的領(lǐng)獎(jiǎng)服，若超市中吊牌價(jià)是500元，為了促進(jìn)銷量，如果你作為商店老板，遇到這種情況應(yīng)該如何處理？

生1：商店老板應(yīng)該打折處理商品.

引入課題：銷售中的盈虧

教學(xué)說明：數(shù)學(xué)教育承載著落實(shí)立德樹人根本任務(wù)、實(shí)施素質(zhì)教育的功能^［1］.建立此情境一是培養(yǎng)學(xué)生的民族自豪感，把育人通過情境潛移默化地滲透，同時(shí)激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣；二是讓學(xué)生體會隨著市場經(jīng)濟(jì)的發(fā)展，數(shù)學(xué)與經(jīng)濟(jì)活動越來越密切，讓學(xué)生置身于解決問題的情境中，使學(xué)生體會到數(shù)學(xué)來源于生活又服務(wù)于生活，引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光看待世界.

2.2 探索新知，群鳳和鳴

2.2.1 探究1：我們也當(dāng)一回老板

作為老板，如果這件標(biāo)價(jià)為500元的領(lǐng)獎(jiǎng)服打七折.

問題1 這件領(lǐng)獎(jiǎng)服賣了多少錢？

生2：500×70%=350（元）.

文字語言：標(biāo)價(jià)×折扣率=售價(jià).

問題2 領(lǐng)獎(jiǎng)服進(jìn)價(jià)300元，賺了多少錢？

生3：350-300=50（元）.

文字語言：售價(jià)-進(jìn)價(jià)=利潤.

問題3 你賣這件領(lǐng)獎(jiǎng)服的利潤率是多少？

生4：50/300×100%≈16.7%.

文字語言：利潤/進(jìn)價(jià)×100%=利潤率.

在此過程中，讓學(xué)生明確“進(jìn)價(jià)”即“成本”，“標(biāo)價(jià)”即“原價(jià)”“定價(jià)”，“售價(jià)”即“成交價(jià)”“買價(jià)”，“利潤”分“盈利”與“虧損”等.

教學(xué)說明：學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中往往會被各種名稱所困擾，因此這一環(huán)節(jié)顯得尤為重要.教學(xué)中，要讓學(xué)生從紛繁復(fù)雜的世界中學(xué)會數(shù)學(xué)的表達(dá)形式，從實(shí)際問題中抽象出符號語言，再從符號語言到文字語言的總結(jié)，讓學(xué)生經(jīng)歷知識的發(fā)生、發(fā)展過程.通過數(shù)學(xué)的語言，可以簡約、精確地描述自然現(xiàn)象、科學(xué)情境和日常生活中的數(shù)量關(guān)系與空間形式；能夠在現(xiàn)實(shí)生活與其他學(xué)科中構(gòu)建普適的數(shù)學(xué)模型，表達(dá)和解決問題；形成數(shù)學(xué)的表達(dá)與交流能力，發(fā)展應(yīng)用意識與實(shí)踐能力^［1］.由此讓學(xué)生能夠更加理解數(shù)學(xué)，建立利潤問題的模型.

師：假如你在出售這件奧運(yùn)會領(lǐng)獎(jiǎng)服時(shí)，打了3折，那么售出這件衣服后是盈利還是虧損呢？

生5：判斷是盈利還是虧損需要看利潤，利潤為正是盈利，利潤為負(fù)是虧損.

生6：利潤為零是既不虧損也不盈利.

生7：于是我們發(fā)現(xiàn)

師：總結(jié)得非常好，把握好這個(gè)規(guī)律之后，請大家打打自己的小算盤吧.

教學(xué)說明：通過對利潤、盈利、虧損三者關(guān)系的再分析，從感性到理性自然地掌握銷售中的等量關(guān)系，并逐步突破重點(diǎn)，為以后的學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ).正所謂“隨風(fēng)潛入夜，潤物細(xì)無聲”.

2.2.2 探究2：打打你的小算盤

問題4 （1）進(jìn)價(jià)為80元的籃球，盈利了30%，則售價(jià)為.

（2）進(jìn)價(jià)為80元的籃球，虧損了30%，則售價(jià)為.

問題5 某商店將電視機(jī)以3 600元的價(jià)格賣出，其中盈利20%，其成本價(jià)是多少？

生8：要解決上述問題必須理解并熟記下列關(guān)系.

（1）利潤=售價(jià)-進(jìn)價(jià)，

（2）利潤/進(jìn)價(jià)×100%=利潤率.

除此之外，還應(yīng)注意文字語言與符號語言之間的轉(zhuǎn)換，以及公式的變形，以上兩個(gè)問題就用到了.如，售價(jià)=進(jìn)價(jià)+利潤，利潤=進(jìn)價(jià)×利潤率，這兩個(gè)公式都是對原有公式的變形.

師：以上同學(xué)們的展示非常精彩，老師為你們的表現(xiàn)感到高興.上面我們就是用剛剛建立的利潤問題的數(shù)學(xué)模型，解決了現(xiàn)實(shí)生活中的實(shí)際問題.

教學(xué)說明：探究1和探究2都是關(guān)于成本價(jià)、售價(jià)、利潤等之間的問題，題目設(shè)計(jì)有梯度，循序漸進(jìn)，為下一環(huán)節(jié)做好鋪墊，從而突出重點(diǎn)，分散難點(diǎn).

2.3 提升領(lǐng)學(xué)，鳳翔九天

問題6 某商店在某一時(shí)間以每件60元的價(jià)格賣出兩件衣服，其中一件盈利25%，另一件虧損25%，分析給出的信息，我們可以猜測盈虧情況嗎？

根據(jù)學(xué)情猜測，提出新問題：兩件商品售出后的盈虧情況是怎樣的？

教學(xué)說明：提出這樣的開放性問題，時(shí)刻提醒學(xué)生不要被表面現(xiàn)象所蒙蔽，培養(yǎng)其創(chuàng)新意識，這樣有助于學(xué)生形成獨(dú)立思考、敢于質(zhì)疑的科學(xué)態(tài)度與理性精神.

師：大家的猜測各有不同，那到底是什么呢？大家需要透過現(xiàn)象看本質(zhì)，利用所學(xué)數(shù)學(xué)知識來解決這個(gè)問題.

問題7 某商店在某一時(shí)間以每件60元的價(jià)格賣出兩件衣服，其中一件盈利25%，另一件虧損25%，賣這兩件衣服總的是盈利還是虧損，或是不盈不虧？

生9：賣這兩件衣服是盈利還是虧損，取決于這兩件衣服的售價(jià)和進(jìn)價(jià)，若售價(jià)大于進(jìn)價(jià)，就盈利，反之就虧損.現(xiàn)已知這兩件衣服總售價(jià)為60×2=120（元），需要求出這兩件衣服的進(jìn)價(jià).

本問題中，設(shè)盈利25%的那件衣服的進(jìn)價(jià)是x元，則它的利潤就是0.25x元.根據(jù)進(jìn)價(jià)+利潤=售價(jià)，列方程得x+0.25x=60，解得x=48.

類似地，設(shè)另一件衣服的進(jìn)價(jià)為y元，則它的利潤是-0.25y元.根據(jù)相等關(guān)系，列方程得y-0.25y=60，解得y=80.

兩件衣服進(jìn)價(jià)共128元，而兩件衣服的售價(jià)和為120元，進(jìn)價(jià)大于售價(jià)，由此可知賣這兩件衣服總的盈虧情況是虧損8元.

師：解方程后得出的結(jié)論與你之前的猜測一致嗎？

大多學(xué)生會認(rèn)為一件盈利25%，一件虧損25%，結(jié)果不盈不虧，但是通過學(xué)生應(yīng)用模型的意識，利用建立的利潤問題模型透過現(xiàn)象看本質(zhì)，正是“盈”與“虧”的矛盾沖突，推動了事物的進(jìn)一步發(fā)展，從而獲得解決問題的方法——用一元一次方程模型解決現(xiàn)實(shí)生活中的盈虧問題.當(dāng)學(xué)生真正拿起數(shù)學(xué)的“武器”驗(yàn)證前面的猜測時(shí)，不管所驗(yàn)證的猜測正確與否，都能讓學(xué)生意識到數(shù)學(xué)是解決生活中實(shí)際問題的有力工具，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，引導(dǎo)學(xué)生批判性地看待問題，培養(yǎng)大膽質(zhì)疑解惑的能力.

教學(xué)說明：順承猜測，而成本題.

2.4 課堂小結(jié)，升華自我

師生共同提煉.

模型一：

生10：（1）標(biāo)價(jià)×折扣率=售價(jià)；

（2）利潤=售價(jià)-進(jìn)價(jià)；

（3）利潤/進(jìn)價(jià)×100%=利潤率.

生11：售價(jià)=利潤+進(jìn)價(jià)；進(jìn)價(jià)=售價(jià)-利潤.

師：回答得都很正確，看似我們學(xué)習(xí)了很多知識，實(shí)際上都是由一個(gè)公式變形而來的.學(xué)習(xí)的時(shí)候抓住數(shù)學(xué)的本質(zhì)可以做到以不變應(yīng)萬變，這樣學(xué)起來會很輕松.

生12：生活當(dāng)中有很多盈利與虧損的例子.

師：這就是數(shù)學(xué)來源于生活，又服務(wù)于生活.

生13：我們要透過現(xiàn)象看本質(zhì)，一元一次方程會幫我們解決很多生活中的問題.

生14：……

師：你們的回答很精彩.最后，老師也希望大家都能不被生活中的現(xiàn)象所迷惑，都能運(yùn)用數(shù)學(xué)知識抓住事物的本質(zhì)，利用方程解決生活中的問題.

進(jìn)而提煉模型二（如圖2）與模型三（如圖3）.

模型二：

模型三：

教學(xué)說明：總結(jié)不是簡單的知識羅列，而是對知識進(jìn)行鞏固、歸納、重新建構(gòu)的過程.通過師生共同總結(jié)，貫穿整節(jié)課的模型思想也呼之欲出，對于整個(gè)教學(xué)過程來說，它起到“畫龍點(diǎn)睛”的作用.

3 教學(xué)思考

3.1 體現(xiàn)建模思想

本節(jié)課是三級模型逐級建構(gòu)，具體如下：

（1）一級模型——利潤公式模型建構(gòu)

本節(jié)課中2022年北京冬奧會領(lǐng)獎(jiǎng)服的銷售背景，讓學(xué)生會用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界，從數(shù)學(xué)角度思考真實(shí)情境中銷售問題的標(biāo)價(jià)、折扣率、售價(jià)、進(jìn)價(jià)、利潤率之間的等量關(guān)系，經(jīng)歷運(yùn)用方程解決銷售中盈虧問題的過程，進(jìn)一步體會方程是刻畫現(xiàn)實(shí)世界數(shù)量關(guān)系的有效數(shù)學(xué)模型.

（2）二級模型（如圖2）——用一元一次方程解決實(shí)際問題模型建構(gòu)

解決實(shí)際問題的過程是將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，通過分析數(shù)學(xué)問題中的數(shù)量關(guān)系，將數(shù)學(xué)問題轉(zhuǎn)化為一元一次方程，再通過解方程、檢驗(yàn)等環(huán)節(jié)得到實(shí)際問題的解.

因此，解決實(shí)際問題的一般步驟為：審、設(shè)、列、解、驗(yàn)、答.從“審”到“列”再到“答”的過程是從“文字語言”到“符號語言”再到“文字語言”的過程，這也是“數(shù)學(xué)來源于生活又服務(wù)于生活”的真實(shí)寫照，讓學(xué)生體會這一過程，有助于豐富頭腦，升華模型意識，開闊眼界.

（3）三級模型（如圖3）——用方程解決實(shí)際問題模型建構(gòu)

站到更高的高度再來看本節(jié)課，二級模型中的“一元一次方程”，放到整個(gè)初中數(shù)學(xué)視域可將其替換為“方程”，方程不僅包括初一所學(xué)的一元一次方程，還包括將來要學(xué)習(xí)的二元一次方程組與一元二次方程，更包括未來學(xué)習(xí)的其他方程.

在此過程中，筆者從整體建構(gòu)本節(jié)課，讓學(xué)生經(jīng)歷“建模”“用模”“升華模型”的過程，使“模型”不再是簡單的公式，而是一種思想——模型思想；同時(shí)，培養(yǎng)學(xué)生客觀公正看待事物的習(xí)慣，使得學(xué)生會用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界，會用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實(shí)世界，會用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界.

“建模”“用模”“升華模型”的過程是思維升級的過程，是以小見大的過程，是既見樹木又見森林的過程，也是解決實(shí)際問題的有力抓手.

3.2 體現(xiàn)育知育人

一節(jié)好課不僅是一節(jié)妙趣橫生的課，更是一節(jié)拔節(jié)生長的課，它不僅能教會學(xué)生知識，更能起到育人之效.通過創(chuàng)設(shè)生動有趣的情境，激發(fā)學(xué)生的愛國主義熱情，培養(yǎng)學(xué)生永不放棄、勇于探索的精神，連續(xù)提問，持續(xù)引發(fā)學(xué)生思考，提升思考力，讓學(xué)生養(yǎng)成知其然并知其所以然的習(xí)慣；通過本節(jié)課的情境與探究2高潮部分，學(xué)生從本質(zhì)上認(rèn)識銷售中的盈虧模型，并學(xué)會辯證地看待周圍的事物，用好方程這一有力的數(shù)學(xué)模型，在現(xiàn)實(shí)生活中能夠不被表面現(xiàn)象所迷惑，學(xué)會透過現(xiàn)象看本質(zhì).

參考文獻(xiàn)：

［1］中華人民共和國教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)［S］.北京：北京師范大學(xué)出版社，2022.