基于機器學習正則化理論的永磁同步電機轉矩跟蹤型MTPA控制方法

漆星, 鄭常寶, 曹文平, 張倩

(安徽大學 電氣學院,安徽 合肥 230601)

0 引 言

內置式永磁同步電機(interior permanent magnet synchronous motor,IPMSM)由于其高效、高功率密度、寬調速范圍等優點,在工業控制領域中大量應用。IPMSM本身具有的凸極性可以產生磁阻轉矩,相較于表貼式永磁電機具有更高的動力輸出。然而,IPMSM的凸極性會使得電機內部的交、直軸電感不一致,進而引出IPMSM控制中的交、直軸電流分配問題。在實際工程中,為減小損耗、最大限度地利用磁阻轉矩,一般采用最大轉矩電流比(maximum torque per ampere,MTPA)方式對IPMSM中的交、直軸電流進行分配[1]。

近年來,一些特定領域的高速發展對IPMSM中的MTPA控制策略提出新的需求。例如,在電動汽車、數控機床等應用領域,其IPMSM中的MTPA控制策略不僅要求能夠找出滿足最大轉矩電流比的最優交-直軸電流,還要求能夠精確地跟蹤轉矩指令,稱為轉矩跟蹤型MTPA控制。在已知給定轉矩指令的條件下,如何使得電機的實際輸出轉矩與指令轉矩保持一致,也是轉矩跟蹤型MTPA控制策略研究中需要解決的問題。

現如今主流的MTPA方法主要分為模型驅動法和數據驅動法兩類。模型驅動方法是利用電機本身的電感、磁鏈等模型,或者是利用諧波注入、在線搜索等手段,通過公式解析的方法推導出IPMSM中交、直軸電流的最優設定值[2-4]。模型驅動法具有結構簡單、容易實現和易于解釋的特性,其缺點在于使用的是電機的近似模型而非精確模型,往往無法克服模型誤差的問題,在處理電感中的交叉飽和效應時難度較大[5-6],從而導致實際轉矩跟蹤精度下降,往往不能滿足轉矩跟蹤型MTPA方法的要求。

另一類MTPA方法主要基于電機實測數據,稱為數據驅動法,具體而言,是搜集電機的有限元分析數據[7]或者電機離線測試數據[8],再通過數據擬合或數據挖掘的方法建立MTPA問題的數據模型。數據驅動的方法不依賴電機的近似模型,并且在數據挖掘的過程中已經考慮了由于電感磁飽和或交叉磁飽和而引起的非線性,因此轉矩跟蹤精度優于模型驅動方法。不過與模型驅動法使用的解析表達不同,現有的數據驅動方法大多使用非解析的隱式表達,例如神經網絡、隨機森林、支持向量機等[9-11],或者以網格搜索的形式建立“轉速-轉矩-電流”形式查找表并存儲在電機控制器的MCU中[12]。相較于模型驅動方法,數據驅動方法雖然具有較高的轉矩精度,但是存在數據結構復雜、算法結果不易解釋等缺陷。

以上兩種方法都具有各自的優缺點,而迄今為止還沒有一種方法能夠融合兩種方法之間的優勢,從而實現算法簡潔、結果精確的轉矩跟蹤型MTPA控制。基于此,本文借鑒機器學習理論中的正則化思想,研究一種將MTPA問題轉化成機器學習理論中的L1、L2正則化問題的方法。首先將MTPA控制問題等效為機器學習中的L2正則問題,再對上述L2正則問題中的轉矩約束條件進行L1正則轉矩建模,最后使用拉格朗日對偶方法,對正則化后的MTPA問題進行優化求解。理論分析和實驗結果表明,將IPMSM中的MTPA問題轉化成機器學習中的正則化問題后,可以得到兼顧最大轉矩電流比和高轉矩跟蹤精度的最優解,從而滿足轉矩跟蹤型MTPA的需求。本文方法結構簡單、模型易于解釋,又避免由于模型誤差和電感飽和特性而造成的性能降低,從而融合模型驅動方法和數據驅動方法的優勢。

1 IPMSM的MTPA控制和機器學習正則化理論

1.1 IPMSM的數學模型與MTPA控制

假設IPMSM模型為線性,即交、直軸電感為恒值,并忽略溫度變化引起的電阻變化,則IPMSM在d-q軸坐標系下的電壓方程為:

(1)

式中:usd、usq為d-q軸電壓;isd、isq為d-q軸電流;Rs為定子電阻;ωe為電角頻率;ψsd和ψsq分別為d-q軸磁鏈,其中:

(2)

其中:Ld、Lq分別為d、q軸電感;ψf為永磁體磁鏈。

IPMSM的轉矩方程為

(3)

式中np為電機的極對數。

MTPA 控制方法是IPMSM控制中較為常用的方法, 其目的是以最小銅損實現IPMSM的最大轉矩控制,以輸出電流最小為優化目標,可將傳統的模型驅動MTPA控制方法用數學描述為:

(4)

對式(4)使用拉格朗日乘子法,可將其等效為

(5)

式中:L(·)表示拉格朗日函數;λ為拉格朗日乘子。

對式(5)求偏導,最終可得最優的d-q軸電流的設定值為:

(6)

可以看出,使用式(3)～式(6)的MTPA方法需要預知電機的轉矩模型,以及ψf、Ld和Lq等模型參數,考慮到模型的非線性和電感的交叉飽和特性,實際電機運行過程中ψf、Ld和Lq的精確值往往難以獲得,因此模型驅動方法通常只能獲得最優電流值的近似解而非精確解,從而影響到最終的轉矩跟蹤精度。同時,傳統的MTPA控制問題為轉矩開環的電流分配問題。例如,從式(3)～式(6)可知,isd、isq的選取只與實際輸出轉矩Te有關,與指令轉矩無關,因此不能構成指令轉矩閉環的轉矩跟蹤控制。

1.2 機器學習中的正則化理論

由于本文方法是建立在機器學習中的正則化理論上的,因此本節對正則化理論進行簡要介紹。機器學習中的正則化理論是通過最小化系數矩陣來降低學習器訓練過程中存在的泛化誤差,防止學習器陷入過擬合。同時,正則化理論可將特征選擇和學習器的訓練過程融為一體,即在學習器訓練過程中自動進行特征選擇[13]。

給定數據集D={x,y∈R|(x1,y1),…,(xn,yn)},以線性回歸模型為例,未正則化時,學習器的最小化訓練損失函數為

(7)

而正則化后,學習器的最小化訓練損失函數為

(8)

式中:w=[w1,w2,…,wn]為線性回歸模型的系數矩陣;‖·‖P表示P范數;λ為拉格朗日乘子。可以發現,加入正則項后,使得系數矩陣w最小也是其優化訓練損失函數的目標。

稱P=1時的式(8)求解問題為L1正則問題,其中系數矩陣w的L1范數為

‖w‖1=|w1|+|w2|+…+|wn|。

(9)

稱P=2時的式(8)求解問題為L2正則問題,其中系數矩陣w的L2范數為

(10)

L1正則和L2正則在特征選擇上的區別如圖1所示,其中橢圓和菱形(圓形)區域的切點就是目標函數的最優解。可以發現L1正則和L2正則都有助于降低過擬合的風險,然而L1正則中,均方誤差(mean square error,MSE)等高線和L1范數的交點大多在某項坐標軸上,這表明L1正則更傾向于獲得多項系數為0的稀疏模型,以使模型具有結構簡潔、易于解釋的特性;而在L2正則中, MSE等高線和L2范數的交點大多不在坐標軸上,這表明L2正則更傾向于獲得各項系數盡可能小的精確模型,以使模型具有高精確性[14]。在本文的方法中,將會綜合使用L1和L2正則技巧,從而使得本文方法兼具簡潔性、易解釋性和高精確性的優勢。

圖1 L1和L2正則化示意圖

2 基于正則化理論MTPA控制方法

2.1 轉化為L1和L2正則問題的MTPA控制方法

本節將IPMSM的MTPA問題轉化為L1和L2正則化問題,并給出方法的總體框架。若考慮轉矩指令跟蹤精度的要求,則可將轉矩跟蹤精度作為優化目標,即IPMSM的轉矩跟蹤MTPA問題可重寫為以轉矩跟蹤精度為目標的電流最優分配問題,即:

(11)

再使用拉格朗日松弛法,可得式(11)的等價形式為

(12)

至此得到了式(8)所示的MTPA的L2正則等價形式,根據1.2節正則項的定義,其中轉矩誤差項MSE保證了轉矩跟蹤精度最優特性,而正則項L2REG使得輸出電流最小,使其具有最大轉矩電流比特性,從而兼具了轉矩跟蹤精度和MTPA的要求。

事實上,可將式(3)代入式(12)中的約束項Te=f(is),則可將式(12)中轉化為模型驅動的轉矩跟蹤型MTPA問題進行求解。然而,根據1.1節分析,由于ψf、Ld和Lq的參數真實值往往未知,并且ψf、Ld和Lq還可能存在著非線性和交叉飽和問題,使用模型驅動求解方法往往無法獲得理想的轉矩跟蹤精度。因此,本文將采用數據驅動的L1正則化方法進行轉矩模型Te=f(is)的求解。由此得到的最終模型為:

(13)

或簡寫成

(14)

由此,便可以將轉矩跟蹤型MTPA控制問題轉化成機器學習中的L1、L2正則化問題。其中L2正則可以保證算法結果的精確性,而L1正則可以保證算法結構的簡潔性和可解釋性。

在實踐中,本文研究方法的實際操作可分為離線測試階段和在線調節階段,如圖2所示。具體步驟為:

圖2 基于L1、L2正則化問題的MTPA控制框圖

1)在離線階段采集電機的測試數據,包括不同轉速下的轉矩Te、d軸電流isd和q軸電流isq;

2)將步驟1中采集的數據存儲至數據池中,并建立電機轉矩的L1正則模型,具體方法由2.2節給出;

3)將步驟2中建立的L1正則轉矩模型代入式(14)中的L2正則MTPA問題,并使用拉格朗日對偶原理求解最優拉格朗日乘子λ,具體方法由2.3節給出;

4)在求出步驟3中的最優λ后,使用優化理論完成最優isd和isq的求解,從而實現在線的轉矩跟蹤型MTPA控制。

2.2 基于L1正則問題的轉矩建模

本節分析式(13)、式(14)中,基于L1正則化理論的轉矩建模方法。首先借鑒傳統轉矩模型的結構建立字典庫,再基于字典庫,采用L1正則化理論中的LASSO回歸方法建立結構最優的數據驅動轉矩模型,使得建立的轉矩模型兼具精確性、簡潔性和可解釋性。具體步驟為:

1)采集電機的臺架測試數據{Te,isd,isq};

2)建立數據驅動的轉矩模型結構為Te=ΞΘ(is),其中,Ξ=[ξ1,…,ξn]為模型系數矩陣,Θ(is)為在轉矩模型中有可能出現的isd、isq的組合,稱之為字典庫[15]。借鑒式(3)中傳統的轉矩模型結構,認為Θ(is)中的字典復雜度不會超過is的二次型結構,即

(15)

Te=ΞΘ(is)=

(16)

λ‖is‖1}。

(17)

圖3 基于L1正則化的轉矩建模

4)求得最優稀疏系數矩陣Ξ*后,代入式(14),最終可將IPMSM的MTPA問題轉化為

(18)

式中:is=(isd,isq)為需要求解的d-q軸電流值;λ為未知參數。

2.3 使用拉格朗日對偶求解最優參數

對式(18)進行分析可知,λ的選擇會影響到最優isd、isq的求解:過低的λ值會導致過大的is絕對值,而過高的λ值會導致過大的轉矩跟蹤誤差,如圖4所示。因此在求解最優isd、isq前,須先確定最優λ值,記為λ*。

圖4 λ的選擇對最優isd、isq的影響

針對上述問題,本節使用拉格朗日對偶方法[17]求解λ*,步驟如下:

首先引入拉格朗日函數L(is,λ,ismax),表達式為

(19)

則可將式(18)重寫為

MTPA?minisminλL(is,λ,ismax)。

(20)

則與之對應的拉格朗日對偶問題為

MTPA?minisminλL(is,λ,ismax)?

minλminisL(is,λ,ismax)=

(21)

(22)

對式(22)求解可得isd、isq基于λ的表達式,記為isd(λ)和isq(λ)。再將isd(λ)和isq(λ)代入式(18),可將式(18)轉化為最優λ*求解問題,表示為

(23)

3 仿真算例分析

為能直觀地說明本文方法的操作步驟,并驗證本文方法的有效性,在MATLAB/Simulink仿真環境下進行實際算例演示,仿真電機參數如表1所示。在本節中,分別考慮Ld、Lq為恒參數值和變參數值這兩種情況進行算例分析。

表1 電機參數

3.1 恒Ld、Lq參數值的MTPA控制策略

假定Ld、Lq數值不會隨著isd、isq變化,在仿真模型中設Ld=0.000 33 H、Lq=0.000 82 H,根據式(3)得到傳統的轉矩模型為

Te=0.462isq-0.002 9isdisq。

(24)

在本節的仿真中,不考慮電機的數學模型和轉矩模型,而直接讓電機運行于不同的轉速和轉矩,采集轉矩Te、d軸電流isd以及q軸電流isq數據,并使用式(16)中的L1正則方法進行Te=ΞΘ(is)求解,解得Te的模型為

0.453 9isq-0.002 9isdisq。

(25)

將式(25)與式(24)中的傳統轉矩模型Te=0.462isq-0.002 9isdisq進行比較,可以發現,L1正則方法雖然是數據驅動的模型,但是和傳統的轉矩模型相比結構相同、系數相似。因此,相較于以往的神經網絡、支持向量機等數據驅動模型,本文方法具有結構簡潔、易于解釋的特性。同時,重復上述實驗50次,得到的系數均相似,如圖5中的箱線圖所示,表明了算法的可重復性和可靠性。

圖5 L1正則轉矩模型的系數箱型圖

圖6 L1正則轉矩模型和傳統轉矩模型的比較

根據式(18)和式(25),可得最終的L1、L2正則表達式為

(26)

再使用2.3節所述方法進行最優λ求解,將式(26)代入式(22),得:

(27)

再結合式(23),經過簡化計算,解得最優λ*近似值為

(28)

圖7 正則化MTPA方法和傳統MTPA方法的比較

3.2 變Ld、Lq參數值的MTPA控制策略

考慮磁飽和以及交叉磁飽和的影響,實際中Ld、Lq的值往往會跟隨不同isd、isq的值發生變化,在實際中,測得某臺電機的Ld、Lq變化如圖8所示,根據圖8中的isd、isq建立Ld、Lq的查找表。同樣在弱磁區以下讓電機運行于不同的轉速和轉矩,并采集轉矩數據Te、d軸電流數據isd以及q軸電流數據isq,最后使用式(16)中的L1正則方法進行Te=ΞΘ(is)求解,解得變Ld、Lq參數下的轉矩Te模型為

圖8 變Ld、Lq條件下的Ld、Lq值分布

(29)

可以發現,雖然Ld、Lq的變化較為復雜,但基于L1正則方法仍然給出了最簡潔的轉矩模型。

圖9 使用L1正則模型和傳統模型的轉矩比較

根據式(18)和式(29),可得最終的L1、L2正則表達式為

(30)

圖10 正則化MTPA方法和傳統MTPA方法比較

3.3 結果討論

從3.1節的結果中可以看出,在恒Ld、Lq的工況下,正則化MTPA方法與傳統MTPA相比結果相差不大。這是因為在Ld、Lq的精確值已知、且為恒定的條件下,轉矩模型較為簡單,傳統轉矩模型和L1正則轉矩模型具有相同的結構和相近的系數,同時,在Simulink仿真環境中的電機模型多為理想模型,不用考慮模型誤差和外部環境干擾的問題。由此可以得出結論:在模型參數精確值已知且恒定,并且不存在模型誤差和外部干擾的條件下,本文研究的正則化MTPA方法相較傳統MTPA方法優勢并不明顯。不過,上述的條件過于理想,在實際工程中并不容易實現。

而從3.2節的結果中可以看出,在Ld、Lq根據不同工況發生變化的條件下,正則化MTPA方法較傳統MTPA具有明顯優勢。這是因為在變Ld、Lq的工況下,使用式(3)已經無法描述精確的轉矩模型,從而造成了較大的轉矩跟蹤誤差;而正則化MTPA方法使用實際運行數據來對轉矩進行數據建模,從而有效避免了由于電感飽和效應導致的模型誤差以及實際運行環境帶來的干擾,顯著提升了轉矩跟蹤精度。同時,從式(25)和式(29)可以看出,雖然本文的方法也是數據驅動方法,但是使用L1正則方法可以獲得結構簡潔、易于解釋、利于工程實現的數據模型,這是其他數據驅動方法,例如神經網絡、支持向量機等方法不具備的優勢。

綜上所述,本文研究的正則化MTPA方法適用于存在模型誤差和實際環境干擾的運行場合,并且兼顧了精確性、簡潔性和可解釋性。

4 實驗驗證

4.1 實驗環境與實驗步驟

所研究的方法在AVL電機臺架上進行試驗驗證,試驗平臺如圖11所示,由被測電機、被測電機控制器以及測功機構成。實驗時,被測電機運行于轉矩模式,測功機運行于轉速模式。被測內置式永磁同步電機與第3節仿真中的電機參數相同,被測電機控制器的主控芯片為TI公司的TMS320280049型DSP。具體實驗步驟如下:

圖11 實驗平臺示意圖

1)測功機以300 r/min轉速步長分別運行于n={300,600,…,3 000 r/min},被測電機在不同轉速n下,以不同的isd、isq電流運行,以便輸出不同轉矩。

2)在步驟1所述的不同轉速、轉矩、電流條件下,分別采集被測電機的運行數據,包括轉速n、電機轉矩Te、d軸電流isd、q軸電流isq,記為{n,Te,isd,isq},共計400組。

3)使用步驟2采集的400組數據進行被測電機轉矩的L1正則化建模,L1正則化建模使用式(17)所示的LASSO回歸實現,并用MATLAB語言在PC機中完成。所建立的L1正則化轉矩模型具有結構簡單的特征,可以移植到電機控制器的DSP中。

4.2 實驗結果與分析

圖12 使用本文方法的輸出轉矩示意圖

圖13 使用基于模型方法的輸出轉矩示意圖

圖14 本文方法和基于模型方法轉矩跟蹤誤差

圖15為本文方法和基于模型方法的is電流絕對值比較,可以發現,在轉矩指令較小時,基于模型方法的is電流絕對值大于本文的正則化MTPA方法,而在轉矩指令較大時,基于模型方法的is電流絕對值小于本文的正則化MTPA方法。這是由于圖15所示的轉矩跟蹤誤差所導致的。在轉矩指令較低時,基于模型的方法會輸出遠大于指令的轉矩,從而需要更高的電流值;而在轉矩指令較高時,基于模型的方法會輸出遠小于指令的轉矩,從而需要更低的電流值。而在轉矩誤差相近的區域,兩種方法的電流值相差不大。這表明,基于模型的方法和本文的方法都是以最小電流作為優化指標,因此都可以輸出較小的電流值。不過由于轉矩誤差的不同,兩種方法在不同的轉矩指令范圍內輸出的電流值也不盡相同。

圖15 本文方法和基于模型方法的is電流值比較

為驗證本文方法在不同轉速下的表現以及在轉速發生突變時的魯棒性,設置實驗如下:電機初始轉速為900 r/min,在電機運行的過程中,轉速增至2 400 r/min,然后回調轉速至300 r/min。圖16為整個運行過程中的電機輸出轉矩。可以發現,使用本文方法,在不同轉速均能使電機穩定、精確地運行。同時,在轉速突變時,所述方法也能夠進行快速地轉矩調節,表明了算法的魯棒性。

圖16 使用本文方法在不同轉速下的轉矩輸出

5 結 論

本文借鑒了機器學習中的正則化理論,提出一種基于L1和L2正則的內置式永磁同步電機轉矩跟蹤型MTPA方法。研究表明,將內置式永磁同步電機的MTPA控制問題轉化為機器學習中的正則化問題進行求解后,其電流計算結果不僅具有傳統的最優轉矩電流比特性,還具有精確跟蹤轉矩指令的特性。仿真和實驗結果表明,本文研究的方法適用于存在模型誤差和實驗環境干擾的場合,可以有效地避免由于模型誤差和電感交叉飽和特性而造成的性能降低,保證了指令轉矩跟蹤的精確性。同時,本文的方法既可以得到兼顧最大轉矩電流比和高轉矩跟蹤精度的最優解,又針對MTPA問題可以獲得結構簡單、易于解釋的解析解,從而融合了模型驅動和數據驅動MTPA方法的優勢。