雙定數混合截尾下雙參數指數分布的統計分析

金雪蓮,李云飛

(西華師范大學 數學與信息學院,四川 南充 637009)

雙參數指數分布在金融學等各個領域應用廣泛,雙參數指數分布的研究也取得了一些成果。李艷玲[1]討論了雙參數指數分布在定數截尾試驗下的貝葉斯預測問題;田霆和劉次華[2]研究了數據缺失的情況下,雙參數指數分布的Bayes估計并給出了一種近似計算方法;張婭莉和李淑玉[3]、張良超和溫利民[4]、李云飛[5]研究了雙參數指數分布參數的估計問題;梁米和李云飛[6]利用新的方法對雙參數指數分布異常數據進行了研究;Krishna 和Goel[7]研究了雙參數指數分布在隨機截尾數據下的經典估計和Bayes估計;Upadhyay 和Umesh[8]利用獨立先驗給出雙參數指數分布的Bayes估計。上述研究都是關于雙參數指數分布在一些截尾場合下的討論,但是還沒有雙定數混合截尾場合下的研究。因此,在雙定數混合截尾場合下,對雙參數指數分布進行統計分析具有一定的理論和實際意義。

雙定數混合截尾試驗是龍兵和張忠占[9]提出的一種新的截尾試驗方案,即2個定數截尾試驗方案的混合,并在此壽命試驗數據下對兩參數Pareto分布進行統計分析。由于在定數截尾試驗中,在達到預先確定的失效樣品數時,進行的壽命試驗可能還沒有達到規定時間,因此,可以考慮重新確定樣品的失效數,提高估計精度。目前國內外關于定數截尾、雙邊定數截尾試驗等研究較多,關于雙定數混合截尾的研究較少。因此,本文將基于雙定數混合截尾試驗,討論雙參數指數分布尺度參數θ和可靠度函數R(x)的估計問題。

1 模型描述

雙定數混合截尾試驗如下:假設隨機抽取n個壽命獨立同分布的元件進行試驗,事先確定正實數t0以及正整數m1,m2,且滿足m1

將上述試驗分為兩種情形:

情形1:(X1:n,X2:n,…,Xm1:n),若Xm1:n≥t0; 情形2:(X1:n,X2:n,…,Xm2:n),若Xm1:n

2 極大似然估計和置信區間

根據第1節中壽命試驗模型,利用極大似然估計(Maximum likelihood estimate,MLE)討論雙參數指數分布中尺度參數θ的估計問題。

(1)

因此,當μ已知時,尺度參數θ的置信度為100(1-α)%的置信區間為(θL,θU),其中

3 門限參數已知時的Bayes估計

取θ的先驗分布為逆Gamma分布IG(a,b),則其概率密度函數為:

(2)

這里的超參數a>0,b>0。

當μ已知時,由(1)和(2)式可以得到θ的后驗密度函數Π(θ|x*)

引理2[12-14]設x*=(x1:n,x2:n,…,xk:n)為來自某總體的雙定數混合截尾數據,則有

Kano & Li 2014: Kanu Kazuo (加納和雄) & Li Xuezhu (李學竹), Sanskrit Verses from Candrakīrti’s Tri?araasaptati Cited in the Munimatālakāra, China Tibetology,vol. 22, 4-11.

這里的δ是尺度參數θ的一個估計。

定理1設x*=(x1:n,x2:n,…,xk:n)為來自雙參數指數分布的雙定數混合截尾數據,當μ已知時,若θ的先驗分布為逆Gamma分布,則可以得到以下結論:

證明1)因為

所以

2)因為

所以

3)因為

所以

因此,在Q-對稱熵損失函數下,θ的E-Bayes估計為

在Mlinex損失函數下,θ的E-Bayes估計為

在加權平方損失函數下,θ的E-Bayes估計為

定理2設x*=(x1:n,x2:n,…,xk:n)為來自雙參數指數分布的雙定數混合截尾數據,當μ已知時,若θ的先驗分布為逆Gamma分布,則可以得到以下結論:

證明1)因為

所以

2)因為

所以

3)因為

所以

4 算例分析

設均勻分布U(0,1)產生的相互獨立隨機數為r1,r2,…,rn,給定參數μ,θ的值,則xi=μ-θln(1-ri),i=1,2,…,n即為來自雙參數指數分布的隨機數。在樣本容量n=20,30,50情形下,給定m1,m2,t0的值,取超參數(a,b)=(1,2)且在損失函數中取c=0.5,q=2。根據雙定數混合截尾試驗方案計算出各估計值,將以上過程重復1 000次,可以得到各個點估計的均值和平均相對誤差(Mean Relative Error,MRE),計算結果見表1和表2。其中

表1 μ已知時,θ的估計Table 1 Estimate of θ when μ is given

表2 μ已知時,可靠度函數R(x)的估計(x=3)Table 2 Estimate of reliability function R(x) when μ is given (x=3)

比較表1和表2可:(1)當試驗的樣本容量n固定時,在3種不同損失函數下,基于雙定數混合截尾試驗得到的尺度參數θ和可靠度函數R(x)的估計值的MRE小于定數截尾試驗下所得估計值的MRE,說明雙定數混合截尾試驗在此3種損失函數下可以提高尺度參數θ和可靠度函數R(x)的估計精度。(2)在雙定數混合截尾試驗下,根據MRE可以看出尺度參數θ和可靠度函數R(x)的Bayes估計比MLE更優。(3)隨著樣本容量的增加,在相同的(μ,θ)下,尺度參數θ和可靠度函數R(x)的MRE逐漸減小。

5 結 論

本文研究了雙定數混合截尾試驗和定數截尾試驗下,雙參數指數分布尺度參數θ和可靠度函數R(x)的MLE以及3種不同損失函數下的Bayes估計。結果表明,與定數截尾相比,雙定數混合截尾試驗下尺度參數θ和可靠度函數R(x)的Bayes估計和MLE更優。在雙定數混合截尾試驗下,尺度參數θ和可靠度函數R(x)的Bayes估計比MLE的值更精確,且MRE依次減小。