基于“全等三角形應用”的同課異構教學案例探析

王乃霞 牟金保

同課異構的數學教學實踐可以產生不同的教學思路，這些思路可以相互啟迪，彼此交換，從而產生更多體現核心素養的教學思路。所以，同課異構數學教學的實踐必然會成為基于數學核心素養課堂轉型的有效途徑之一。不同版本的教材中，除直角三角形全等的判定方法以外，對于一般三角形全等四種判定方法的應用分布在各個不同的小節，包括卡鉗用法、角平分線的畫法以及測距離等，教材中一般會給出相應的解決方案或操作方式，但留給學生自主探索和深入思考的空間還可以進一步拓展。有鑒于此，為進一步落實新課程標準的理念，初中幾何課堂不同程度提高了邏輯推理的要求，加強了對學生邏輯推理能力的考查。為進一步通過同課異構案例探析有利用數學課堂教學的新方法和新思路，本文選取“運用數學史的全等三角形應用教學”（以下簡稱“案例A”）、“全等三角形應用：從歷史中找到平衡”（以下簡稱“案例B”）以及“HPM（Historical and Pedagogical Mathematics）視角下全等三角形應用的教學”（以下簡稱“案例C”）三個教學案例，試圖從基于“全等三角形應用”的同課異構案例分析出發，按照教學目標、教學流程以及教學環節三個維度進行比較，探析制訂指向核心素養的教學目標、整體把握教學內容，選擇能夠引發學生思考的教學方式，探索圖形與幾何領域的培養原則、基本目標以及課程實施的重要性和必要性。

一、教學目標比較

好的教學目標應該完整、融合、具體，充分體現整體性、階段性和以學生為主體。《義務教育數學課程標準（2022年版）》也明確指出要制訂指向核心素養的教學目標。表1給出了三個案例的教學目標對照。

由表1可見，三個案例都沒有將“三維目標”割裂開闡述，都是將知識技能、過程方法、情感態度價值有機融合，從課程總目標的整體角度闡述，充分發揮以學生為主體的理念，并且都強調與實際生活的密切聯系，目的是利用數學知識解決實際問題，三個案例均符合教學目標特性，滿足《義務教育數學課程標準（2022年版）》對于教學目標設定的要求。案例B和案例C在情感態度價值觀方面把握得尤為突出，充分實現了教育意義上的德育之效。案例A和案例B重點闡述了掌握“全等三角形的判定方法”這一重要的基本技能，充分體現了核心素養導向的教學目標是對“四基”“四能”教學目標的繼承和發展。案例A和案例C注重創設數學情境，設計讓學生合作、討論的活動，恰當處理好了“四基”“四能”與核心素養之間的關系，引導學生用數學的眼光觀察現實世界并利用數學方法予以解決。

二、教學流程比較

教學流程對于整體把握教學內容有著重要意義，教學內容需要通過教學流程體現出來，可以有效地將教學內容和核心素養關聯起來，使教學內容更加結構化。表2給出了三個案例的教學流程對照。

由表2可見，三個案例大致將教學流程分為引入、探究應用、小結以及作業布置四個方面，各環節環環相扣，相輔相成，對于整體把握教學內容有著重要意義。三個案例在“引入”環節都能通過數學問題引入本節課的主題，突出數學知識的價值和意義，凸顯引入環節的必要性和重要性；在“探究應用”環節都能基于數學史創設學生自主探究的情境，引導學生從全等三角形的判定方法出發，建立起應用數學知識解決實際問題的邏輯結構，體現了這一環節在教學環節中的創新性和可塑性；在“小結”環節都能承前啟后，起到畫龍點睛的作用；在“作業布置”環節也都能緊密結合前三個環節的內容，設置理論聯系實際的開放性作業。

三、教學環節比較

（一）“引入”環節比較

學生在本節課學習之前已經學習了全等三角形的相關知識，所以三個案例在引入環節都是通過現實生活中具體的數學問題，讓學生回憶全等三角形的相關知識。三個案例也都能做到在“引入”環節帶領學生回顧基礎知識，處理好基礎知識和核心素養之間的關系。案例A和案例B都能讓學生充分體會全等三角形知識并用來解決現實生活中的問題，尤其案例A是通過數學史中解決實際問題的實例進行引入，能夠在引入環節就激發學生的學生興趣，同時恰到好處地介紹了泰勒斯測量方法。案例B和案例C在“引入”環節更重視基本知識的介紹，直接通過幾何問題讓學生回憶三角形全等的知識，尤其是案例C中還引入了與生活相關的“鋼條”“三角形模具”“四邊形儀器”這些與現實生活息息相關的名詞，更容易拉近數學與生活、理論與實踐的距離，引發學生深度思考，讓學生更容易接受和理解數學知識。

（二）“探究應用”環節比較

從探究應用的方式上來看，案例A通過制作的教具來演示泰勒斯的方法，讓學生能夠理解泰勒斯方法的數學思想，特別直觀且形象地展示了泰勒斯的方法，對于學生的深度理解更有促進作用。案例B和案例C在探究應用過程中都提供了兩種不同的方案，案例B在池塘寬度這一個問題上使用了兩種方案，案例C則是在河寬和池塘寬兩個問題上都使用了兩種不同的方案，而且建議學生使用更多的方法進行探索，更加強調學生的思維發散，體現出數學教學中的方法之美教育價值。案例B和案例C在學生探究的過程中及時反饋學生使用的方法與以前的數學家所使用的方法類似，更能夠提高學生學習數學的自信心和興趣。在探究應用的過程中，案例B中明確提出讓學生小組討論的過程，體現出數學教學中的能力之助教育價值。案例A和案例B在教學目標中指出想通過討論讓學生形成自己的方法和培養合作交流的習慣，在探究應用的過程中以重構數學史的方式創設數學情境，從而將該教學目標予以體現。

（三）“小結”環節比較

案例A和案例B都設置了小結部分，案例C將小結融合在各環節進行，比如，在測量河寬這一問題結束時，就總結了兩種方案的思路。從小結方式上來看，案例A是希望學生在學習本節課之后，能夠自行對新學到的內容進行反思匯報，主要是學生本人的反思總結；案例B則是由教師引導學生進行基本知識方面的回憶鞏固，是在教師參與的過程中對知識的回顧總結。案例A更能體現以學生為主體，案例B則更加強調知識的重要性，這在教學目標中也有所體現，案例B在教學目標中就更加強調培養學生的各種能力。三個案例都能根據教學的需要設置小結，發揮小結對于教學環節的作用。

（四）“作業布置”環節比較

案例A和B都專門設置了作業環節，案例C則在測量池塘寬這一問題結束時，讓學生在課后進一步探索用其他測量方法的開放性作業，沒有設計基于整個教學的作業。案例A和案例B的不同之處在于案例A是結合上課時學生所設計的方案，讓學生整理上課時的方案，結合本節講授的內容進行整理，形成自己的方法，幫助學生更好地理解全等三角形在生活中的實際應用，感受全等三角形知識的現實價值；案例B則是在課堂上所講內容的基礎上進行拓展提高，基于水平距離測量所使用的方法能否適用于豎直高度的測量問題，給予學生更大的挑戰，進一步培養學生的數學建模能力和數學應用能力。

四、總結

本文從同課異構案例分析的視角，以“全等三角形應用”為例，通過教學目標的比較發現，制訂教學目標要充分考慮指向核心素養的因素，這是數學課堂教學實施的重中之重，核心素養在數學教學中的達成度決定著教學目標的確定。核心素養導向的教學目標是對基于“四基”“四能”教學目標的延續和拓展，能夠體現整體性和階段性的教學目標才是好的教學目標。筆者通過教學流程的比較發現，教學流程是整體把握教學內容以及教學結構化的載體，引入、探究應用的教學流程是落實教學目標、進一步拓展學生核心素養的重要渠道，在教學中要重視對教學流程的系統把握，因為合理的教學流程才能更有效地整合教學內容，幫助學生促進對數學本質的體系化的理解。筆者通過教學環節的比較發現，在引入、探究應用環節，選擇能夠引發學生思考的教學方式對于初中幾何課堂教學轉型有著重要的促進作用。同時，基于“全等三角形應用”的同課異構教學案例探析發現，全等三角形應用的教學需要符合新課標中所強調的核心素養，凸現培養學生的邏輯推理和應用意識，進一步落實《義務教育數學課程標準（2022年版）》中圖形與幾何領域的培養原則、基本目標以及課程的實施。