指數衰減正弦信號參數的估計與提取

王 震 文新宇 楊黎明

1 北京起重運輸機械設計研究院有限公司 北京 100007 2 太原科技大學 太原 030024

3 北京市自動化物流裝備工程技術研究中心 北京 100007 4 機械工業物料搬運工程技術研究中心 北京 100007

0 引言

指數衰減正弦信號是一項在眾多領域具有廣泛關注的研究課題。在通信系統中，指數衰減正弦信號可用于頻率調制、信號傳輸和解調等，在調頻廣播中使用的信號由指數衰減正弦函數進行頻率調制得到。彭冠英等[1]以指數衰減正弦函數作為基礎函數對巖石聲發射信號進行小波分析，指數衰減正弦信號在語音處理領域可用于語音合成、音頻信號分析和音頻修復與增強，在控制系統中常作為干擾影響控制系統的穩定和性能，在信號處理領域常用于濾波和頻譜分析，其衰減特性可幫助濾除噪聲和雜散信號，并提取感興趣的頻譜成分；田仁飛等[2]利用倒譜法檢測指數衰減正弦信號的參數，圖像處理研究系統中指數衰減正弦信號可生成特定的圖像模式、紋理合成和圖像增強等；高曉峰等[3]對指數衰減正弦進行線性預測，提高了光譜分辨率，在激光器系統中，常用指數衰減正弦信號幫助實現精確的激光脈沖寬度控制和頻率調制，用于激光器驅動、光纖通信和激光加工等應用；在測試和測量領域，指數衰減正弦信號可用于校準儀器以及測試和評估系統的響應特性等性能；通過發送已知特性的信號，并與實際測量結果進行比較，可以實現準確的測試和測量；在電力電子中，指數衰減正弦信號可用于電路模擬、系統辨識和噪聲分析等；通過模擬或生成帶有指數衰減特性的信號，能更好地理解和研究電子系統的行為和性能。

在機械振動領域，指數衰減正弦信號也是一個重要的研究對象。機械振動是指研究對象在受到外部激勵或自身激勵下形成的周期性運動；指數衰減正弦信號常用來描述振動信號的衰減特性，具有在振幅、頻率和相位上隨時間指數衰減的特點。

1 指數衰減正弦信號在機械振動領域研究涉及內容

1）振動信號分析 含阻尼振動的機械系統其振動響應信號往往是指數衰減正弦信號，通過對指數衰減正弦振動信號進行頻譜分析、包絡分析而獲取有關振動信號的頻率、振幅、衰減速度等參數信息，以此對分析機械設備故障及結構健康監測等具有重要意義。

2）振動信號檢測與識別 借助指數衰減正弦信號的衰減特性進行振動信號的檢測與識別。在機械故障診斷中，當機械系統受到損傷或故障時會產生振動信號，這些信號可能帶有指數衰減的特征，通過對振動信號進行參數估計以判斷故障的類型和程度。

3）振動信號預測與控制 對指數衰減正弦信號的研究還可用于振動信號的預測與控制。振動信號的預測可以幫助工程師預測機械系統的性能、壽命以及可能出現的故障情況，以便采取相應的維修和保養措施。振動信號的控制可通過調節參數降低振動的幅值和頻率，提高機械系統的穩定性和運行效果。

4）振動信號降噪與增強 在實際應用中，振動信號受到噪聲的干擾，會降低信號的質量和可靠性。指數衰減正弦信號的研究可用于振動信號的降噪和增強，提高信號的清晰度和準確性，對機械故障檢測和信號處理具有重要意義。李慶民等[4]介紹了利用指數衰減正弦信號描述高壓開關設備振動信息的方式，并給出基于指數衰減正弦的建模方案。

現有的指數衰減正弦信號的估計算法有傅里葉變換獲得廣泛的應用，但存在頻譜泄露[5]。王鴻等[6]對一些基于快速傅里葉變換的指數衰減正弦參數估算方案進行了比較，這些算法又再對快速傅里葉變換算法進行了缺陷彌補；Umesh S 等[7]提出的極大似然法雖然在高斯噪聲下效果優異，但運算量較大；蘇志剛等[8]介紹了基于線性預測、線性系統辨識、奇異值分解以及迭代估計算法，并提出一種極大似然法結構相似的EXPO 算法，且其參數估計效果比極大似然算法優異；Prony 方法對噪聲比較敏感[9]；自適應算法存在的問題是收斂速度慢[10-12]；神經網絡算法通常用到相當多的樣本對模型結構進行調整[13]；韓鴻哲[14]提出了一種在信噪比較低的環境中效果良好的遺傳算法；董拯等[15]將最小二乘法與遺傳算法結合，提高了算法運行效率和參數估計的精準度；于曉輝等[16]提出了一種基于狀態空間模型用于估計多頻輸入的參數；一些其他如二階廣義積分器(Second-Order General Integrator，SOGI)算法[17]也被用于指數衰減正弦的參數估計。

堆垛機是一種用于自動存儲和檢索存儲的設備，其在工作過程中需要作提升、水平移動等運動。為了保證運動過程的平滑性和穩定性，可用指數衰減正弦信號作為速度和加速度的參考信號，通過精確控制運動的相關量，從而保證堆垛機的平滑運動，避免沖擊和震蕩，提高工作效率。堆垛機在堆垛和存儲過程中需要準確定位貨物，其在高速運動或受到外界干擾時可能會產生振動和抖動，這種不良振動表現為指數衰減正弦信號，通過抑制堆垛機殘余振動，可減小振動和抖動的影響，提高工作的穩定性和精確性。對指數衰減正弦信號的分析與提取可用于故障檢測和診斷，判斷堆垛機是否存在故障或異常情況，有助于及時發現和處理問題，確保設備的平穩運轉。因此，對指數衰減正弦信號進行分析、檢測、識別、預測和控制機械系統的振動行為，使堆垛機系統的安全性、快速性和可靠性得到保障。

本文首先將堆垛機殘余振動描述為多頻指數衰減正弦信號的疊加，然后分別介紹了利用輔助濾波器重構單頻、多頻指數衰減正弦信號的方法，并從多頻衰減正弦信號解耦單頻衰減正弦信號的方法，最后提出一種擴展觀測器用于頻率與衰減因子的估計。

2 問題描述

堆垛機是多自由度的含阻尼振動系統，可以簡化為歐拉-伯努利梁，其表達式為

式中：q（x）為外部負載，EI為彎曲剛度是一個常數，?為偏轉位移。

自由振動響應信號可被描述為多頻阻尼正弦振蕩信號進行了累加[18，19]，即

由此可知，特征多項式的系數為頻率和衰減因子相關的線性函數，通過估計系數便可獲得指數衰減正弦信號的頻率與衰減因子。由式(2)所述輸入信號中提取固有頻率分量的指數衰減正弦信號是本文的目的。

1）定理1

假設存在的映射，即

其中，變量ξ（t）∈R2m×1，Hurwitz 矩陣G0∈R2m×2m，L0∈R2m×1，α為標量，可得（G0，L0）可控。

指數衰減正弦d0（t）可重構為

指數衰減矢量δ0（t）∈R2m×1滿足

2）證明

根據文獻[20]，依據式(7)可將指數衰減正弦信號等價為式(9)，向量θ0T ∈R1×2m。未知向量δ0（t）滿足式(10)，結合式(7)、式(8)可得

由此可知，式(10)為一個指數衰減函數，其中變量δ0∈R2m×1為指數衰減矢量。由式(9)可知，利用輔助變量ξ0（t）與常矢量θ0T 可重構指數衰減正弦信號d0（t），故重構后的指數衰減正弦信號將收斂到與d0（t）同頻的信號。比對式(11)矩陣W0與式(4)的特征多項式可得

由式（13）得到θ0T，到此證明完成。由定理1 構造一個輔助濾波器，將單頻的指數衰減正弦信號d0（t）通過輔助濾波器獲得輔助變量ξ0（t）。根據式(9)輔助變量ξ0（t）是與指數衰減正弦信號相關的線性函數，可將指數衰減正弦信號d0（t）重構。

3）推論1

對式(14)所述進行映射，即

多頻指數衰減正弦信號d（t）可重構為

指數衰減矢量δ∈R2m×1滿足

證明：根據定理1，構造輔助濾波器式(14)，可將多頻指數衰減正弦信號重構為式(16)， 向量θ0T∈R1×(2m+2)，未知向量δ（t）滿足式(17)，于是有

其中

由于δ（t）是指數衰減向量，利用式(16)，可將多頻指數衰減正弦信號d（t）重構為與d（t）同頻的輔助函數，故W的特征根滿足

通過式（20）可得θT，由此證明完成。

由上述分析可知，通過構造輔助濾波器，能夠獲得輔助變量，同時可構建出指數衰減正弦信號與輔助變量的函數關系，但并不能從多頻衰減正弦信號中提取出某一頻率分量的指數衰減正弦信號。

本文所提算法的方框圖如圖1 所示。為了解耦單頻指數衰減正弦d0（t）和多頻指數衰減正弦信號d'（t），引入了一個輔助濾波器，重構單頻指數衰減正弦d0（t）和多頻指數衰減正弦信號d'（t），然后構造擴展觀測器估計與頻率相關的未知參數θ。最后，利用線性關系獲取頻率與衰減因子，利用觀測器獲取待估矢量，實現從失真信號d（t）中提取單頻指數衰減正弦d0（t）。

圖1 多頻指數衰減正弦信號重構策略

3 信號分離

本節主要介紹從輸入的多頻阻尼正弦振蕩d（t）的分離提取其中某一頻率分量的阻尼正弦振蕩信號d0（t），首先構造輔助濾波器，并將輸入信號通過輔助濾波器，獲得輔助變量函數與衰減矢量函數，利用輔助變量可重構多頻指數衰減正弦信號d'（t）。由于衰減矢量函數將收斂到與單頻指數衰減正弦同頻的信號，因而可通過衰減矢量函數重構單頻指數衰減正弦信號，以實現單頻指數衰減正弦與多頻指數衰減正弦信號的解耦。

3.1 信號重構

信號重構的目標是利用輔助濾波器重構單頻指數衰減正弦d0（t）和多頻指數衰減正弦d'（t）。

1）定理2

對于動態式(14)，如果（G，L）滿足(15)，則多頻指數衰減d'（t）可表示為

未知參數δ1（t）滿足

2）證明

與推論1 類似，如果d'（t）滿足

可得

根據式(14)、式(21)、式(25)可得

其中

通過比較式(30)兩側的系數可得式1?，由此證明完成。

與前述定理類似，式(22)滿足映射式(14)，使d0（t）可描述為

其中， 是與ω0和ρ0相關的常數向量，則有

綜上分析，d（t）、d0（t）和d'（t）是與頻率相關的向量θ與輔助變量相關的線性函數，該方法通過構造輔助濾波器獲取輔助變量。從而可將單頻指數衰減正弦重構為輔助變量與頻率相關常向量的線性函數，將多頻指數衰減正弦信號重構為輔助變量與指數衰減矢量的線性函數，故僅需要獲取待估矢量δ1（t）便可實現單頻指數衰減正弦與多頻指數衰減正弦的分離提取。

3.2 觀測器設計

結合上述分析與龍伯格觀測器的設計方法，設計觀測器用于估計待估矢量δ1（t），觀測方程為

多頻指數衰減正弦信號d'（t）的估計值為

由式(34)、式(35)可獲得輸入的多頻指數衰減正弦信號d（t）估計值為

綜合以上分析，可得單頻指數衰減正弦信號d0（t）的估計誤差為

多頻指數衰減正弦信號d'（t）的估計值為

通過觀測方程獲得未知參數δ1（t），再利用式(26)和式(27)求得單頻指數衰減正弦信號與多頻指數衰減正弦信號的估計值。由此可知，指數衰減正弦信號估計值的準確度取決于待估矢量δ1（t）的估計準確度，需要分析待估矢量估計誤差的斂散性，以確保待估矢量的估計誤差一致最終有界性?，F有的研究算法是通過估算阻尼正弦振蕩信號的頻率、衰減速度、幅值、相角等條件重構各頻率分量的指數衰減正弦信號，大大復雜化了多頻指數衰減正弦信號的提取過程，并未充分利用已知信息，進而使解耦過程復雜，運算量加大，穩定性亦難以保證。

本文所提算法將多頻指數衰減正弦信號通過特定濾波器，重構了信號，只需要利用觀測器估計待估矢量，即可簡化多頻指數衰減正弦信號的解耦過程，減少了運算量。該算法線性定常的結構特點，使得參數的調節和穩定性的分析手段更豐富。

3.3 穩定性分析

在分析待估矢量的估計誤差、單頻指數衰減正弦信號和多頻指數衰減正弦信號的估計誤差穩定性時，利用濾波器激勵出輔助變量，進而將單頻指數衰減正弦信號和多頻指數衰減正弦信號解耦，只需估計待估矢量δ1（t）便可解耦，并可實現單頻指數衰減正弦信號和多頻指數衰減正弦信號的分離提取。

結合式(21)、式(30)可得待估矢量的誤差方程為

其中

1）定理3

存在P∈R2m×2m＞ 0，且滿足條件

2）證明

構造李雅普諾夫函數為

其中

由分析可知，單頻指數衰減正弦信號d0（t）與多頻指數衰減正弦信號d'（t）的估計誤差取決于待估矢量的估計誤差。由于估計誤差是一致最終有界的，則由式(37)、式(38)可知，單頻指數衰減正弦信號d0（t）與多頻指數衰減正弦信號d'（t）的估計誤差漸進穩定。

4 參數估計

向量θ與頻率和衰減因子相關，其估計方法是首先構造濾波器獲得與未知參數相匹配的擴展方程，進而構造觀測器估計各分量指數衰減正弦信號的頻率以及衰減因子。將式(18)進行擴展，得到

由此，則可作如下定義，即

根據以上分析，給出所設計的估計向量矩陣θ的狀態觀測器形式為

式中：β為大于0 待求的增益系數。

構造李雅普諾夫函數，即

對上式求導可得

由此，存在P2∈R（2m+2）×（2m+2）＞ 0滿足使Λ2＜0，是漸進穩定的。

5 仿真模擬

本文所提算法在Matlab 2023a 環境下進行仿真，赫爾維茲矩陣的參數選取為α＝1，g1＝256，g2＝256，g3＝96，g4＝16。輸入信號為

如圖2、圖3 所示，與文獻[11]、文獻[12]所述算法相比，本文所述算法頻率與衰減因子的估算值擁有快速收斂的特征且結果更精確，待估計參數和待調節參數少；而文獻[11]、文獻[12]所述自適應算法收斂速度慢，且穩定性分析需要借助復雜的非線性系統理論。如圖4、圖5 所示，本文觀測器方法具有快速收斂、更準確、更穩定的特性，重構后誤差更小。

圖2 本文所述方法頻率估計值

圖3 本文所述方法衰減因子估計值

圖4 本文所述方法 d0 （t ） 估計值

圖5 本文所述方法 d1 （t ） 估計值

6 結束語

本文通過將堆垛機多自由度含阻尼振動系統的振動響應信號描述為多頻指數衰減正弦，然后利用觀測器估計頻率與衰減因子，再利用擴展觀測器獲得待估矢量，實現指數衰減正弦信號的分離提取。這種將衰減正弦信號線性化的重構方法充分利用了已知信息，大大簡化了解耦的難度。