“指對混搭函數不等式的證明”教學設計與思考

湖北省武漢市黃陂區第一中學盤龍校區 (430312) 盧 珍 李紅春

1.問題提出

函數導數綜合問題是高考的熱點和難點,不少高三教師面對這塊內容的復習常常老生常談,缺乏自己深入的見解,課后再輔以“題海戰術”,展現的是大題量,快節奏,機械重復的教學形態,因此學生對所學的內容興趣不高,解題停留于模仿,對問題的本源不明,解題無序,推論無理．為了提升教師的思想認識,不斷優化教學行為,前不久,筆者執教了一節題為《指對混搭函數不等式的證明》的展示課,獲得了聽課老師的充分好評.本文將這節課的教學設計和教學思考呈現出來,供分享．

2.教學設計展示

2.1 教學目標

(1)能從“階”的角度分析分式型函數的極值;

(2)體會“分而治之”法解決問題的要領,并能用它證明一些常見指對混搭函數不等式;

(3)更加深刻體會到數學學習中“重視基礎,回歸基本”的價值.

2.2 教學重難點

教學重點:用“分而治之”法證明指對混搭函數不等式.

教學難點:靈活對函數不等式進行變形.

2.3 教學過程

本節課為借班授課,授課班級為某省級示范學校學生,學生基礎較好,課前老師已將如下問題1讓學生提前進行了思考.

問題1 (2020年山東卷改編)求證2ex-1-lnx>1+ln2.

(1)問題鋪墊

課堂開始,教師巡查課堂,找到了三種不同的解法,并讓學生代表用投影儀展示出來.

解法2:原不等式變形為eln2+x-1-(ln2+x-1)-1+x-lnx-1>0,故只需證[eln2+x-1-(ln2+x-1)-1]+(elnx-lnx-1)>0.設g(x)=ex-x-1,顯然g(x)≥0在R上恒成立,于是g(ln2+x-1)+g(lnx)≥0,而等號取不到,故g(ln2+x-1)+g(lnx)>0,即[eln2+x-1-(ln2+x-1)-1]+(elnx-lnx-1)>0,故原不等式成立.

解法3:原不等式等價為2ex-1-1>ln(2x),由切線不等式ex≥x+1知ex-1≥x,于是2ex-1≥2x,lnx≤x-1,又由lnx≤x-1得ln(2x)≤2x-1,于是2ex-1-1≥2x-1≥ln(2x),兩處取等條件不一致,故2ex-1-1>ln(2x),原不等式成立.

教師:解法1是將函數不等式f(x)>g(x)的證明等價為(f(x)-g(x))min>0來處理,進而將問題轉化求函數的最值,這是一種常見處理問題的方法;解法2借助同構,利用熟悉函數的有界性求解,過程簡單;解法3借助熟悉的結論ex≥x+1和lnx≤x-1,直接構建不等關系,直觀簡捷,體現著較高的數學素養.下面將上述試題變式成如下問題,讓學生再思考:

問題2 求證:2ex-2>xlnx.

設計意圖:通過2020年山東高考改編試題的引入,集思廣益,總結回顧了處理這類問題學生接觸過的三種基本方法.借助問題變式,學生思維受挫,激發學生的求知欲.

(2)觀察發現

觀察以下六個函數的圖像(如圖1),回答問題.

圖1

問題4 根據問題3的結論,結合下列函數的特點,猜想下列函數是否有最值,有怎樣的最值,并求導驗證你的猜想:

學生分成四個小組,分別驗算猜想,此時教師用幾何畫板展示四個函數圖像(如圖2):

圖2

設計意圖:從學生較為熟悉的“六大函數”圖像入手,引導其從“階”的角度歸納出“高階比低階”和“低階比高階”函數取極值的規律,再借助一些具體函數,讓學生經歷分析猜想,求導驗證,直觀感受,體會規律存在的一般性,為后續求解問題做好鋪墊.

(3)數學應用

教師:數學問題的求解一般遵循等價轉化,如將f(x)>0?f(x)min>0;利用充分性證明問題也是一種常見的方法,如將不等式f(x)>0先變形為m(x)>n(x),再證明m(x)min>n(x)max.利用這一思路,我們再來看問題2.

設計意圖:通過對開頭變式問題的解法分析,讓學生充分領略到“分而治之”法處理問題的簡便,借助思維過程的展示,讓學生能知其然,更知其所以然.

(4)數學實踐

問題5觀察下列待證不等式,若用“分而治之法”證明,該如何變形,說出你的理由.

問題6下面是一道高考真題,請研讀解答過程,分析用到的知識和方法,談談對你有哪些啟發?

設計意圖:分而治之法解題的重點不在計算,而在于學生動筆時,能準確判斷如何將函數式分開,以及不等式兩邊變形的度.問題5對學生的考查力求“好鋼用在刀刃上”.問題6是高考壓軸題,讓學生在課堂有限時間完成,難度頗大,設計為“閱讀與反思”,更接地氣.高考試題具有導向性,學習考試中心給出的參考答案就是在和命題專家直接對話,領悟試題解法背后的意圖,對于學生改進學習方法很有意義.

(5)數學創新

問題7結合本節課學習的內容,立足函數的階,從函數最值的角度出發,能否命制一道“指對混搭函數不等式”的證明題,并和大家分享你的命題思路.

設計意圖:這一課堂環節的設置具有開放性,旨在培養學生的創新思維,借助從解題到命題的引導,將學生的思維引向深入,讓學生不但會做別人命的題,更要善于自己提出問題.

(6)課堂小結及課后鞏固(略)

3 教學反思

圍繞這節課的教學設計,結合評委的意見,筆者覺得有如下幾個亮點可供探討.

3.1 適當鋪墊,展現數學課堂教學的智慧

裴光亞老師曾經說過:教學藝術的基本特征是錯位,為了抵達目標而偏離目標,其實不是偏離,而是營造目標賴以生存的環境,越是重要的東西,越是要隱藏起來,隱藏是為了展現誘惑[1].當學生們為課前給出的問題能“一題多解”,自我感覺良好時,老師接下來拋出的問題變式讓他們一籌莫展,進退兩難,在這樣的情緒背景下,學生學習新方法的熱情自然高漲.

3.2 用心設計,著力提升問題的針對性

問題是數學的心臟,本節課的難點在于引導學生對待證式進行合理變形,問題5設計為讓學生觀察待證不等式用“分而治之法”該如何去變形,重點考查學生變形方向的選擇,顯得獨具匠心,如果設計為一般的證明題,求導計算的繁瑣必將沖淡主題.問題7的設置具有相當的開放性,直接指向考查學生的創新思維,引導學生去探究和發現.

3.3 優化學法,于潤物細無聲處指導

“授人以魚不如授人以漁”,教師在傳授學生知識的同時,更要教給學生科學的學習方法.正如同教材,既蘊含了豐富的數學知識,更體現了研究問題的方法.我們一直強調學習要重視基礎,回歸基本,這就需要從復雜的情境中看到基本元素,從幾何中看到基本圖形,從代數中看到基本公式,從三角中看到基本變換,從統計中看到基本模型.如何做到這點,空洞的說教都不如讓學生自己去體會.學生研讀了問題6的參考答案,發現作為高考的壓軸難題,卻根基于這些學生耳熟能詳的“基本函數”,倘若自己對這些“基本函數”的特征性質掌握得足夠熟練,自然不會盲目變形.它帶給學生的啟示是:即使面對高考,夯實基礎,回歸基本絕不過時.

3.4 以身示范,教師樹立了很好的榜樣

《課程標準》中提出:要在數學教學中著力培養學生的創新精神和實踐能力[2],優秀的教師是用教材而不是教教材.特別是高三復習階段,教師要善于對知識進行整合與重構,對一些內容要有自己的獨到見解.創新精神從何而來?教師首先要以身示范,成為學生心中樂于鉆研問題的榜樣;其次要留足時空,讓學生放手去發現和創造.“分而治之”法求解指對混搭函數不等式的證明問題,平常解題中并不多見后,課堂上教師敢于選擇這節內容來教學,源于教師的不斷學習與鉆研.在問題7的命題環節,更是留足時空,讓學生將思維從課內引向課外,不斷去探索和發現.