由“范”到“探”:基于問題解決的高中數學基本活動經驗拓展理路

章林海

(建德市嚴州中學新安江校區,浙江 建德 311600)

“問題是數學的心臟”,問題是思維的源泉,培養學生解決數學問題的能力是學生學習數學的核心.問題解決并不是單純地解決問題,而是在教師的指導下學生自主實現對問題的理解、分析的一種創造性活動,問題解決需要在不同問題情境下高質量地分析、解決問題,突出綜合性,強調應用性,對知識遷移和創新思維能力的要求較高.

數學基本活動經驗是學生對數學的真正體驗,其核心是讓學生形成自己的數學現實和數學直覺,主要體現在數學學習中不斷積累數學知識、技能和方法,形成數學思想、數學認知、數學精神、數學能力的過程.高中數學新課標從“雙基”走向“四基”(基礎知識、基本技能、基本思想和基本活動經驗),強調對過程的關注和對數學基本活動經驗積累與拓展的重視.實際上教學本身就是在已有經驗的基礎上開展的思維活動,而且新知的學習、知識的應用都離不開數學基本活動經驗的指導.

重視數學基本活動經驗意味著教師必須給學生更完整的教學過程,呈現給學生問題解決的全過程.數學基本活動經驗的拓展使學生的認知結構進一步完善,對數學的理性精神有進一步的感悟,能有效提升學生的數學素養.因此,如何拓展學生的數學基本活動經驗是高中數學教學中一個值得關注的課題.雖然教師的教學觀念有了很大的改變,但是目前課堂教學中仍常常出現以下現象:教師的講解取代學生的自主探究,忽視學生的主動思考和建構,輕視問題分析和結論生成的過程,很少關注學生是否真正參與了數學思維活動.章建躍博士說過,一個好例子勝過一千次說教.由“范”到“探”:基于問題解決的高中數學基本活動經驗拓展理路就是在問題解決教學中,教師既要做好問題解決示范,又能引導學生自主探究,使學生在已有經驗的基礎上解決問題,在反思提煉的過程中實現數學基本活動經驗的拓展.筆者提出做好“問題發現”示范,發展學生“探究創新”的基本活動經驗;做好“問題導引”示范,發展學生“自主分析”的基本活動經驗;做好“思維推動”示范,發展學生“規范思維”的基本活動經驗;做好“模型概括”示范,發展學生“建模與應用”的基本活動經驗,從而在問題解決的過程中實現學生數學基本活動經驗的拓展.

1 “問題發現”示范,發展學生“探究創新”的基本活動經驗

張奠宙先生指出,數學基本活動經驗是通過對具體事物進行實際操作、觀察和思考,從感性向理性飛躍時所形成的認識.荷蘭數學家弗賴登塔爾提到,與其說是學習數學,還不如說是學習“數學化”.《普通高中數學課程標準(2017年版)》中強調,學生是學習的主人,教師應向學生提供充分從事數學探究的機會,幫助他們在自主探索、合作交流的過程中真正理解和掌握基本的數學知識和技能、數學思想方法.

知識的傳授不是簡單地從一個人遷移到另一個人,而是基于個人對問題的探究、交流和反思.同時,數學的高度抽象性決定了學生在認知上存在一定的困難.發現學習是關注過程的學習,是學生主動學習的體現,因此,重視發現學習是對數學學習認識上的提升,這不僅有助于深化學生的思維,還能更好地激發學生的認知活動,拓展學生的數學基本活動經驗.數學課堂教學必須結合具體內容做好引導“問題發現”的示范,讓學生在學習活動中去經歷問題的發現,積累數學“探究創新”的基本活動經驗.

案例1橢圓標準方程的推導.

橢圓的學習為雙曲線、拋物線的學習提供了研究的基本模式,是學生第一次用坐標法研究曲線的性質,第一次真正體會和運用代數方法研究解析幾何的基本思想.教師從實際操作中抽象出橢圓的一般概念,然后復習用坐標法求曲線方程的一般方法和步驟,引導學生合理建系,結合對稱性,以點F1,F2所在直線為x軸、以F1F2的中垂線為y軸建立坐標系,列式可得

如何化簡?有的學生直接平方,式子越來越復雜,有的學生移項然后二次平方.教師引導學生的探究過程如下:構造對稱式

兩式相減,可得

這個方程左邊分式中分子的幾何意義是什么?分母的幾何意義是什么?為以后學習圓錐曲線的第二定義做準備.

這個式子的幾何意義是什么?

本設計還課堂以精彩的生成,強調知識的發生和發展過程,通過基本問題引導學生發現和提出新的問題或變式;教師帶領學生進行獨立操作和探究,學生積極參與“再發現”,主動進行知識建構,在問題解決中拓展數學基本活動經驗.在教學中,教師要深挖教材的探究實例,發掘典型問題的探究時機,強化學生的主體地位,點撥探究方法,及時引導問題發現,有效拓展學生“探究創新”的基本活動經驗.

2 “問題導引”示范,發展學生“自主分析”的基本活動經驗

在問題解決教學中,在問題發現的基礎上教師要強化情境分析,關注數學本質,尊重學生已有的經驗和思維習慣;做好“問題導引”示范,設計有一定邏輯關系的問題串,利用問題串分解問題解決的總體目標,實現“小步走”;引領學生進行持續的思維活動,體驗問題解決過程中的思維邏輯,做到真理解、會分析,促進問題解決能力的培養和“自主分析”基本活動經驗的拓展.

案例2點到直線距離公式的推導.

已知點P(x0,y0),直線l:Ax+By+C=0,求點P到直線l的距離.

教師要設置問題串做好問題導引.問題設置要體現探索性,給學生提供思維空間,充分暴露知識背景,展現知識的形成過程,讓學生真正體驗思維的獲得路徑.

問題1如何直接求點P到直線l的距離?

圖1

與l的方程聯立,得交點為

問題2上述求法將點到直線的距離轉化為兩點之間的距離,體現了轉化的思想.但過程較為煩瑣,是否可以利用圖形性質改進解法、減少計算量?

生2:將點到直線的距離轉化為求直角三角形斜邊上的高(如圖2),運用面積關系可求得

圖2

問題3結合勾股定理,是否可以繼續優化運算?

生3:根據面積關系|PA|·|PB|=|PH|·|AB|或射影定理,結合勾股定理,可推得

即

問題4回顧直線方向向量的概念和投影向量的應用,如何利用向量投影求點到直線的距離?

圖3

因為點Q在直線l上,所以

Ax1+By1+C=0,

部分學生意猶未盡,還提出可轉化成求兩點之間的最小值問題.因為

Ax+By+C=0,

所以

從而PQ2=(x-x0)2+(y-y0)2

教師創設適切的問題情境引發學生思考,設置層層遞進且富有邏輯的問題驅動課堂,從而激發學生的學習熱情,引導學生從不同角度解決問題并逐漸優化.在整個問題解決的過程中,教師不只是強調題型的講解,而是幫助學生梳理問題解決的經驗;不只是呈現解法,而是關注問題引導,在問題解決中培養學生的數學能力,從而積累數學基本活動經驗.本設計注重深挖問題背景,結合學生已有經驗將距離問題進行多角度表征,問題設計、知識呈現都能兼顧學生的最近發展區并進行有效地拓展.問題引導有特色,便于學生理解并進行深度思考,切實把學術形態的數學知識轉化為綜合數學能力和數學素養的教育形態的數學知識,同時不滿足于會做一道題目,而是高質量地實現一類問題的解決.

3 “思維推動”示范,發展學生“規范思維”的基本活動經驗

史寧中指出,數學活動經驗并不僅僅是實踐的經驗,也不僅僅是解題的經驗,更重要的是思維的經驗,是在數學活動中思考的經驗.積累數學活動經驗的有效途徑是引發學生思考,引導學生反思.因此,在教學中教師要創設良好的思維互動情境,做好思維的啟發,推動學生思考;然后概括經驗,沉淀下來成為有用的條理化的經驗,從而在規范思維中拓展學生的數學基本活動經驗.

(2020年天津市數學高考試題第14題)

這是一道二元最值問題,考查數學抽象、邏輯推理和數學運算等核心素養,對學生的轉化能力要求較高.教師引領數學探究,做好“思維推動”示范,教給學生如何規范地思考,力求講清楚一個好的解法是怎樣想出來的,并且在探究過程中進一步完善知識結構,探索學生“規范思維”的基本活動經驗.

解法1因為a>0,b>0且ab=1,所以

當且僅當a+b=4且ab=1,即

評注這是常規思維,該解法運用條件ab=1轉化成積為定值、求和的最小值,直接由基本不等式獲得結果,并檢驗等式成立的條件,這是解決多元最值問題常用的方法.

越秀說：“我們成親后，喬瞧姐就很少出門，也不替人看病了，看到她，跟她說話，她就當沒聽見。她都二十五六了，還沒嫁人?！?/p>

追問能否利用減元的思想將二元問題轉化成只含一個變量的最值問題求解?

該探究抓住問題的本質,充分暴露了二元最值問題的求解思維,使學習者頭腦中的模式和形式得到了完善和豐富,促進了知識的建構和遷移.沒有一道題目是徹底完成了的,總還會有些事情可以做;在充分研究和洞察后,我們可以將解題方法加以改進;而且無論如何,我們總可以深化對答案的理解.如果解題到此為止,那么教師忽視了幫助學生總結解題經驗、提煉解題思想.教師應繼續引導學生深入理解、深度思考,幫助學生總結解題經驗,跳出題海,提煉解題策略,讓學生從解題中學到解決問題的方法,從而提高學生的思維能力.

教師帶著這個問題引導學生思考,強化規范思維的重要性.將代數式化成

波利亞曾指出,“教會那些年輕人去思考”是數學教學首先和主要的目標[1].教給學生的思路是要做到思維的“標準化”,必須“規范地”思維.教師要找準思維起點,關注知識邏輯和思維邏輯,突破思維生長點,引導學生規范思維,并引導學生在辨析中學會理性地、有條理地思考問題,從而在問題解決的過程中拓展學生的數學基本活動經驗.

4 “模型概括”示范,發展學生“建模與應用”的基本活動經驗

數學是關于模式的科學,數學建模是對現實問題進行數學抽象,用數學語言表達問題,用數學方法建構模型解決問題[2].數學建模是聯系數學與應用的重要橋梁,是數學走向應用的必經之路,是啟迪數學心靈的必勝之途[3].因此,數學學習離不開基本模型的構建.在建構模型的過程中,學生不斷積累數學基本活動經驗.在教學過程中,教師要精心設計有價值的基本模型供學生學習,讓學生充分經歷數學模型的構建過程,從不同方向思考并對問題進行多角度表征,體驗數學的創造歷程,并且對數學活動進行概括和升華,在模型概括中拓展學生的數學基本活動經驗.

函數的對稱性是在變化中體現規律性,在變化中體現不變性的一種函數的基本模型,是運用數形結合思想研究函數性質的有效工具,也是高考的熱點之一,?？汲Ｐ?函數的對稱性是函數奇偶性的有效拓展,研究函數的對稱性要抓住概念和性質進行思考,首先奇函數和偶函數的定義域都關于原點對稱,性質的應用主要是將函數對稱性的問題歸結為函數奇偶性的模型進行思考,將對稱中心相關問題轉化為奇函數的平移問題,將對稱軸問題轉化為偶函數的平移問題.

(2023年全國數學高考乙卷理科試題第21題節選)

模型應用1由已知得

f(1)=f(-2),

即

則

a+1=2-a,

通過對優等生問題解決過程的研究,筆者發現他們之所以優秀是以前做過的題目都能為其所用,作為今后問題解決的依據或參考,這實際上凸顯了數學基本活動經驗積累的重要性.基于問題解決的高中數學基本活動經驗拓展理路,就是要求教師真正做到由“范”到“探”的引導,把“體驗、內化、遷移”這一積累數學基本活動經驗的過程落實到教學中,要求學生在直接經驗的基礎上通過自己的分析比較、抽象概括、推理證明以及數學建模等活動,實現更有效、更實在的數學聯系和遷移,從而實現問題解決,并引導學生不斷反思數學基本活動經驗的生長,及時分享活動經驗,實現學生數學基本活動經驗的拓展.