比較生疑引好奇 問題提出探本源
——對一道數學病題的探究教學及思考

花 奎

(南京師范大學第二附屬高級中學,江蘇 儀征 211900)

在使用高三數學模擬卷或復習用書進行教學時,由于命題者的疏忽,會出現一些條件信息錯誤或矛盾的例題或習題,此類題目稱之為病題.大多數教師發現病題后,直接刪除或改為正確題目,再讓學生去訓練或對其進行講解.其實,病題是一種不可多得的教學資源.引導學生深層次地探究病因和修正錯誤,對數學概念的理解、數學思想的掌握、數學核心素養的提升具有不可替代的作用,同時有利于喚醒學生的好奇心,激發學生的探究欲望,培養學生的批判性思維,特別是有利于培養學生的問題意識及提出問題的能力.下面就談談一道病題的探究教學和點滴思考.

1 病題呈現及課前研討

此題是2022年江蘇教育出版社《高考總復習南方鳳凰臺一輪復習導學案(數學)》(學生用書)第146頁中的一道題.

教師用書參考答案(記為解法1)如圖1,根據橢圓方程可知a=3,c=2.設PF1=m,PF2=n,依題意有

圖1

可得

(m+n)2-2mn=16,

從而

mn=10,

于是

不難發現編題者意圖:讓學生掌握橢圓定義的應用及整體處理的意識.筆者在備課時,發現由于編題者的失誤,即題中點P是不存在的,例1是一個病題.對于這道題如何進行教學處理呢?筆者和其他教師進行了簡單交流,主要有兩種處理意見:

意見1(多數教師)在做題時沒發現錯誤.既然是病題,那么就直接刪除或換一道類似題目,也可以修改一下數據,就不要浪費學生時間了.高三教學任務重,抓緊時間多完成幾道例題,應對高考.

意見2(少數教師)此病題中的錯誤不易發現,可以讓學生嘗試去做,去發現錯誤,探究錯因,揭示問題的本質,有利于培養學生思維的批判性和深刻性.

愛因斯坦說過,發現問題比解決問題更重要.筆者比較傾向意見2,主張讓學生先做,了解學生會怎樣做,看學生能否發現錯誤,然后根據學生的情況,設計課堂教學.筆者整理了學生課堂解答情況,主要有以下4種解法.

解法1(同參考答案的方法(略),全班共52名學生,有32名學生使用了解法1.)

m2+(6-m)2=16.

即

m2-6m+10=0.

因為Δ<0,所以m無解.

(6名學生使用此法.其中有3名學生先用此法,后又劃掉使用解法1;1名學生改用解法3;1名學生寫到了Δ<0未敢下結論,只有1名學生下了無解的結論.)

解法3設P(x0,y0),由PF1⊥PF2,得

從而

即

故

(8名學生使用此法.)

(4名學生使用此法.)

根據學生的解答情況,只有2名學生認為這道題目有問題,就不去做了,也沒有探究錯誤的原因.利用解法2的大多數學生認為自己的解法不對,但不認為題目有錯,即使隱約感覺題目錯了,也不敢質疑.用解法1、解法3及解法4求解的學生,順風順水,完全沒有發現問題.

不難發現,學生普遍滿足于完成作業(做習題),問題意識淡薄,即使有少數學生發現了問題,也沒有進一步探究,缺少刨根問底的精神,同時也說明了學生在數學學習中好奇心已然丟失.鑒于此,筆者設計了“比較生疑,探尋病因—修正改進,探索規律—嘗試學問,省悟本原”的探究教學流程,意在讓學生學習數學知識和方法的同時,喚醒學生的好奇心,激活問題意識,培養學生提出問題的能力,激發學生的探究精神,揭示問題的本質.

2 教學過程

2.1 比較生疑,探尋病因

師(先展示解法1、解法3):同學們,通過這兩種解法的學習,我們有什么感悟呢?

生1:點P在橢圓上,可以用橢圓的定義和橢圓的方程兩種方式刻畫.

師(展示解法2):這個解法又是怎么回事呢?

(學生看到解法2,略顯詫異!)

生(多數):應該是計算錯了吧!

師:真的算錯了嗎?大家再算算.

等了一會兒,學生開始嘰嘰喳喳地討論起來.不少學生顯露出困惑和好奇!

師:你們現在再比較這幾種解法,思考為什么會產生截然不同的結果呢?哪個結果正確?為什么?

(此時學生的好奇心已被喚醒,頓時有了興趣,開始了積極的討論.)

師:說得很好!

師:難道題目真的錯了嗎?錯在哪里呢?解法4又如何解釋呢?

(教師故作驚訝!并在此時展示解法4,教室開始熱鬧起來.)

生4(過了一會兒):老師!這道題的圖畫不出來,是一道病題.

師(故作驚訝):噢!

圖2

師:太好了,解析幾何內容的本質依然是幾何!既然是幾何,那一定離不開圖形.生4抓住了點P需滿足“PF1⊥PF2”的幾何實質是一個圓,而它與橢圓無交點,說明題目中的條件是矛盾的.

2.2 修正改進,探索規律

師:沒想到還真是題目有錯誤呀!編題者也不容易,我們能不能幫助其修正一下?

生5:可以將條件“PF1⊥PF2”改為“∠F1PF2=60°”.

師:大家對生5的修正做何評價呢?

生6:∠F1PF2=60°不一定可以.因為點P在橢圓上運動時,∠F1PF2是在變化的,它應該有范圍!60°不一定在范圍內.

師:生6提出的問題太好了!那么∠F1PF2的范圍是什么呢?

生6:由圖形可知,當點P在長軸的端點時,∠F1PF2取得最小值0;當點P在短軸的端點時,∠F1PF2取得最大值.

師:生6從圖形直觀感知當點P為短軸的端點時,∠F1PF2最大!這種猜想對嗎?伽利略認為,僅靠自身的感受或者積累的經驗來了解世界已經遠遠不夠,必須求助數理式的理性.我們能給予理性證明嗎?

(學生陷入沉思.)

師:要研究角的范圍(或最值),一般是怎樣去研究的呢?

生(眾):要研究角的范圍,通常可以先研究角的某一個三角函數的取值范圍.

師:那么,選擇哪個三角函數去研究方便呢?大家嘗試一下.

通過學生獨立思考、嘗試、討論,有以下想法:

想法1記∠PF2x=α,∠PF1x=β,設P(x0,y0),則

想法3在△F1PF2中,設PF1=m,PF2=n,則m+n=2a,由余弦定理得

又

從而

mn≤a2,

故

當且僅當PF1=PF2時取等號,即P為短軸端點時,∠F1PF2最大.

師:大家比較一下這3種想法,談談體會.

生(歸納整理):

想法1:在解析幾何中,角的刻畫通常用斜率和傾斜角,自然想到將∠F1PF2轉化為2條直線的斜傾角之差,利用兩角差的正切公式及斜率坐標公式來計算,最終轉化為關于變量y0的函數來解決.方法樸素自然,也是解析幾何中的一般方法.其不足為:計算量比較大,而且需要檢驗斜率不存在和∠F1PF2=90°的情況.另外,正切函數在[0,π)內不單調,很難說清何時角最大.

想法2:向量法也是處理夾角問題的常用方法.將∠F1PF2轉化為向量夾角,利用向量夾角公式,進一步轉化為坐標表示,最終轉化為關于x0的函數來解決.其不足依然是計算量大.

想法3:抓住了△F1PF2的特點(焦點三角形),即由橢圓定義PF1+PF2=2a為常數,利用余弦定理并結合基本不等式迅速獲得cos∠F1PF2的范圍,再借助余弦函數的單調性,一氣呵成!其不足為:若F1,F2不是焦點,即PF1+PF2不是常數,則不能順利解決.

師:同學們總結得非常到位.今后在解決角的范圍問題時,要根據條件,估計一下運算量,合理選擇三角函數進行求解.

師:現在我們再思考可以將條件“PF1⊥PF2”改為“∠F1PF2=60°”嗎?如果可以,那么如何解決?

生7:不難得到當點P在短軸端點P0時,

從而

∠F1P0F2>60°,

因此∠F1PF2可以等于60°.

設PF1=m,PF2=n,聯立

得

(m+n)2-3mn=16,

從而

師:從幾何角度看,將“PF1⊥PF2”改為“∠F1PF2=60°”,其本質是什么?

2.3 嘗試學問,省悟本源

師:通過上述探究,同學們有哪些體會呢?

生:1)點P在橢圓上可以用橢圓的定義和方程兩種方式刻畫;2)點P在橢圓上運動時,當點P為短軸的端點時,∠F1PF2最大;3)角的范圍的一般性求法;4)動點同時滿足兩個幾何條件,其代數本質即為兩個方程構成的方程組有解,幾何本質就是兩個軌跡有公共點.

師:同學們掌握得不錯,特別是兩個幾何條件的代數和幾何本質.現在,大家能否學做命題人,通過改變條件和結論,嘗試編制一些試題?并說說編題的理由.

學生的積極性很高,大多數學生編制如下變式題并能說出解法.

(理由:橢圓確定,改變∠F1PF2的大小,只要保證∠F1PF2在規定的范圍內,解焦點三角形就可以了.)

(理由:條件與結論互換,給出焦點三角形的面積,求∠F1PF2的大小.教師指出,△F1PF2的面積也有取值范圍的要求.)

少數學生編制了開放題,讓同學們大開眼界.

(理由:條件PF1⊥PF2表示點P在圓上,則橢圓與圓應有交點,因此對橢圓的離心率有要求.教師表揚并評價,讓大家思考一下解法.)

(理由:受到變式2的啟發,給出焦點三角形的面積,可以求∠F1PF2的大小,∠F1PF2的大小應在一定的范圍內,從而可求出a的范圍.)

(理由:高考試題中常出現結構不良的試題,我就嘗試編出一個.3個條件都表示“隱圓”,關鍵是要研究哪一個圓與橢圓有公共點.)

學生在編題解題過程中學會提出問題的一些方法,理解了問題的本質,同時也體驗了命題的快樂.教師在教學過程中對學生提出的問題應給予充分的肯定和鼓勵.

3 點滴思考

3.1 創設問題情境,喚醒學生的好奇心

我國教育缺乏對學生創新能力的培養.創造教育存在問題的根本原因在哪里?張奠宙先生曾頗為沮喪地感慨道,中國公眾和學生對考試以外的題目喪失了興趣,缺乏好奇心,真是一種教育的悲哀[1].本案例的課前教學研討中大多數教師認為:“既然是病題,就直接刪除或者換一道類似題目,就不要浪費學生時間了,抓緊時間多完成幾道例題,應對高考.”這些教師希望學生在高考中取得好分數,追求“多做題”,這無疑扼殺了學生的興趣愛好,無端剝奪了學生的好奇心與思考力.何況,新高考數學凸顯理性思維,導向獨立思考、探究創新.周序教授認為,知識究竟帶給學生一種怎樣的感覺,并不在于知識本身是抽象還是具體,而是教師能否用一種調動學生興趣、符合學生心理特點的方式進行教學,從而促使學生的發展[2].《普通高中數學課程標準(2017年版2020年修訂)》(以下簡稱《課標》)明確提出,通過高中數學課程的學習,學生提高學習數學的興趣,增強學好數學的自信心,養成良好的數學學習習慣,發展自主學習的能力;樹立敢于質疑、善于思考、嚴謹求實的科學精神;不斷提高實踐能力,提升創新意識.本文首先創設符合學生認知的真情境(解法比較),通過解法1和解法3的學習與體會,先建構了一種“定義和方程”“數與形”的認知平衡,再展示解法2并提出“真的計算錯誤了嗎?”“為什么會產生截然不同的結果呢?”等問題,讓學生產生認知沖突,打破了之前的認知平衡,由奇生疑,喚醒了學生的好奇心,使學生產生了探究的欲望.

3.2 問題引導探究,揭示數學的本源

教學過程是一種提出問題、解決問題的持續不斷的過程.問題是數學的心臟,讓思維從問題開始,思維活動又形成新的問題,這種遞進式的問題引領學生思考,也為學生的學習搭起了支架,指明著探究的方向,當然問題要針對學生思維的最近發展區提出,才能促進學生的發展[3].在本案例中,“難道題目真的錯了嗎?錯在哪里呢?”這一問題激起了學生的探究欲望,為學生指明了探究方向.笛卡爾曾說,我所解決的每一個問題將成為一個范例,以用于解決其他問題.本文中“我們可以幫助修正一下嗎?要研究角的范圍(或最值),一般是怎樣去研究的呢?”這一問題,不僅引領學生探索得到了“點P為短軸的端點時,∠F1PF2最大”的結論,更重要的是獲得了解決“角的范圍”問題的一般方法,這正是數學本質的一種追尋過程,自然地與學生內在需求產生共鳴.“你能嘗試編制一些試題嗎?”這一問題讓學生在不斷改變條件與結論的外在屬性而提出新問題的過程中,更深刻地理解了“點P為短軸的端點時,∠F1PF2最大”和“動點P同時滿足兩個條件,代數本質為兩個方程構成的方程組有解,幾何本質就是兩個軌跡有公共點”的數學本源.

3.3 課堂主體轉向,培養問題提出的能力

教育的真正目的是讓學生不斷地提出問題、思考問題.《課標》明確提出,提高從數學角度發現和提出問題的能力、分析和解決問題的能力.《課標》在六大核心素養的具體闡述中,問題提出是數學抽象、邏輯推理、數學建模和直觀想象這四大素養的表現之一.然而,課堂提問價值理性的缺失導致課堂提問及教學過程的異化.雖然我們的課堂上也有提問,但很少是由學生提出的,教師一直占據著課堂提問的主體地位,對學生成為課堂提問的主體形成了較大障礙,阻礙了新課程背景下課堂教學的提質增效.教師應當認識到課堂提問的作用在于激勵學生發現自己的想法并提出問題,即課堂提問的價值理性是讓學生作為課堂提問的主體提出問題并培養學生的問題意識[4].在本文中,教師提出的“編題者也不容易,我們可以幫助修正一下嗎?”“大家對生5的修正有何評價呢?”等問題,就是基于課堂提問的價值理性,目的在于激勵學生提出源于自己的好奇心、質疑及新發現的問題.李政道先生也曾說,學問,第一個字是“學”,第二個字是“問”,什么意思呢?就是你要學怎么樣去問問題,這才是真正的學問.反思當前學校的學生做題、應考只能讓學生學會作答別人的問題,而殊不知提出一個問題比解決一個問題更重要.讓學生疲于做題的教育傳統必須改變,教育改革需要將學生“外包”給了命題人的思想還回來,不妨給學生時間和空間,讓學生學會自己提出問題.本文設計學生自己編題環節,在編題的過程中實現了提問的主體轉向,培養了學生的學習興趣、問題意識及創新思維,領悟了數學本質,特別是讓學生逐漸學會了提出問題的方法,從而培養學生終身學習的能力.