一道2023年浙江省預賽試題的解法探究

欒 功

(南寧市第三中學,廣西 南寧 530021)

1 試題呈現

1)求橢圓的方程;

2)聯結AP交橢圓于點C,過點C作x軸的垂線,交橢圓于另一點D,求S△ABD的取值范圍.

(2023年全國高中數學聯賽浙江賽區預賽試題第13題)

分析試題從橢圓的上頂點構圖設計,通過創設一個純幾何的背景求解S△ABD的取值范圍,考查學生先用幾何的眼光觀察分析問題,再通過代數運算解決問題的能力.靈活多樣的構圖設參給不同學生發揮各自能力水平提供了空間,試題達到通過加大思維強度來選拔拔尖創新人才的目的.

2 解法探究

解法1如圖1,記C(x1,y1),則D(x1,-y1),直線AP,AB的方程分別為

圖1

(25+t2)x2-50tx=0,

從而

故點D到直線AB的距離為

當t∈[-4,-1]時,

|t2+5t|=-(t2+5t),

評注解法1是解決這類問題的通用方法.該解法從|AB|為定值入手分析問題,將S△ABD的取值范圍問題轉化為點D到直線AB的距離d的范圍問題.但在具體的解答過程中,不論是點D的坐標的求解,還是面積函數最值問題的解答,都對學生解決問題的基本能力和基本經驗有較高的要求.

橢圓Γ在第二象限的方程為

表1 x,f ′(x),f(x)的變化情況

此時

此時

解法3設直線AP的方程為

y=kx+4,

S△ABD=S△BOD+S△AOD-S△AOB

令5k-4=u,則u∈[1,16],得

當u=16時,

故

評注解答解析幾何問題要堅持“多想少算”的優化意識,而對圖形特征的深入分析往往能使問題柳暗花明.該解法通過對形的深入分析,巧妙地將所求三角形的面積轉化為點D橫縱坐標的相關計算,在很大程度上優化了運算.當然,數形結合只是優化運算的一種途徑,在這里還可以借助三角形面積的行列式公式、矢量積公式等快速建立三角形的面積與對應點坐標間的函數關系.

解法4設直線AD的斜率為k,則直線AD的方程為y=kx+4.記直線AD與x軸交于點Q,則

即

故

評注從不同的視角看待一個數學問題,會凸顯出其不同的側面.在問題本質的難度一定的情況下,選擇不同的視角雖未改變問題的本質難度,但有利于揭示問題的內在規律,這對于培養學生分析問題和解決問題的能力大有裨益.

3 變式探究

思考1在上述解答過程中我們發現,△ABD面積的范圍問題其本質是點D在橢圓Γ上運動變化時鉛垂高|DE|的取值范圍問題.結合解法1和解法2的運算過程和邏輯推理,對于問題揭示的本質有如下更一般性的推廣.

(25+16m2)y2+32mty+16(t2-25)=0,

從而

由點B,A′,Q共線知

整理,得

于是

故

推廣3和推論4的證明同變式1的解答,此處不再贅述,目前拋物線還未發現類似性質.

思考3隨著解題過程的不斷深入,試題蘊含的本質得以逐步揭示,但試題所體現的價值往往不止于此.通過進一步分析幾何特征、變換問題、更新試題結構等途徑提出更具原創性的問題,以獲得更高層次的思維歷練,形成更深刻的理解和感悟.

證明設直線BC的方程為

y=kx-4.

(16+25k2)x2-200kx=0.

由xB=0,得

因為點A,P,C共線,所以

代入y1=kx1-4,化簡得

故

圖2

1)四邊形ABCD的面積是否為定值;

2)S△PCD是否有最大值.

E′:x′2+y′2=16.

令y′=0,得

則直線P′B′的方程為

令x′=0,得

于是

圖3

由于S△P′C′D′=S△P′A′B′-S△A′B′C′D′,因此

故S△PCD有最大值,且

1)S四邊形ABCD=ab;

4 結束語

2023年5月29日下午,習近平總書記在主持中共中央政治局就建設教育強國進行第五次集體學習時強調,基礎教育既要夯實學生的知識基礎,也要激發學生崇尚科學、探索未知的興趣,培養其探索性、創新性思維品質.而每年的全國高中數學聯賽試題往往具有豐富的內涵,正如例1,融解析幾何基礎知識、基本方法、閉區間上函數的最值問題于一體,深入考查學生的知識基礎,同時試題從橢圓的上頂點構圖設計,又極具探索性,是培育學生創新思維和數學思維很好的素材.因此,對各省市預賽試題價值的挖掘值得引起一線教學的重視.