創設適切的情境 培育數學應用意識
——對一道應用型數學試題的命制與思考

孫曉軍, 孫 萌, 滕平平

(1.乳山市教學研究中心,山東 乳山 264500;2.曲阜師范大學,山東 曲阜 273165;3.乳山市第一中學,山東 乳山 264500)

核心素養導向下的教學理念倡導教師借助適切的情境,發展學生的數學應用意識.“如何發揮試題情境對教學活動的導向和評價功能”是所有教師需要深入研究的問題.筆者結合中考命題經歷,與讀者交流一道應用型數學試題的命制與思考.

1 試題評價與解答

圖1

(2023年山東省威海市數學中考試題第22題)

1.1 試題評價

《義務教育數學課程標準(2022年版)》(以下簡稱《課標》)指出,學業質量是學生在完成課程階段性學習后的學業成就表現,反映核心素養要求.因此,學業水平考試命題要從知識立意向能力素養立意轉變,將核心素養作為命題立意的首要選擇[1].例1在核心素養方面主要考查了學生的抽象能力、運算能力、幾何直觀、空間觀念、模型觀念和應用意識.試題的命制既源于教材又高于教材,可謂是“題在教材外,根在教材內”[2].這種對教材內容進行變式創新、拓廣延伸命制的試題,既能有效減輕學生的學業負擔,充分體現數學教育的本質,又能更好地引領數學教師教學的方向,符合“雙減”背景下學業水平考試的命題要求.

此題以拋物線為背景,注重知識之間的融合,在知識的綜合性方面主要體現了3個“關聯”:一是關聯俯視效果圖和主視效果圖,理解題意,提煉有價值的條件信息;二是關聯點坐標與線段長度,建立點坐標與相關高度(距離)間的聯系;三是關聯二次函數與一元二次方程,從實際問題中蘊含的數量關系抽象出函數模型和方程模型.學生解題的基本流程是:先建立適當的平面直角坐標系,利用待定系數法求出水流拋物線的表達式;再利用給定的距離與高度確立相關點的坐標,綜合運用二次函數、一元二次方程、矩形等知識解決問題.

1.2 試題解答

思路分析要求“步行通道的寬OE”,依據條件“CE為0.6 m”,則需求出OC的長(即點N到噴水裝置OA的水平距離).盡管點N不在拋物線上,但點N,D之間存在“水平距離為0.3 m”“與路面的垂直高度為1.8 m”的關系.因此,確定點D到OA的水平距離是求通道寬的關鍵.

解如圖3,分別以OC,OA所在的直線為x軸、y軸,建立平面直角坐標系.過點D作DH⊥x軸,垂足為點H.設水流拋物線的函數表達式為

圖3

y=a(x-2)2+3.6,

將點A(0,2)代入,得

2=4a+3.6,

由題意可得四邊形NCHD為矩形,從而

DH=NC=1.8,ND=CH=0.3,

解方程

于是

OH=4.12,OC=OH-CH=3.82.

由于CE=0.6,從而

OE=OC-EC=3.22≈3.2,

故步行通道的寬OE約為3.2 m.

2 命題溯源

2.1 依據課標

《課標》對二次函數的目標要求是:通過對實際問題的分析,確定二次函數的表達式,體會二次函數的意義;會求二次函數的最大值或最小值,能確定相應自變量的值,解決相應的實際問題;知道二次函數和一元二次方程之間的關系.因此,在命制試題時,應將二次函數知識融入實際生活情境,并與一元二次方程相結合.學生可以體會二次函數的現實意義,經歷數學模型建立與求解的過程,建立函數和方程的整體認知,感受數學知識間的廣泛聯系和數學應用價值.

2.2 源于教材

《課標》指出,數學教材為學生的學習活動提供學習主題、知識結構和基本線索,是實現數學課程目標、實施數學教學的重要資源.源于教材的命題方式能有效提升評價的生命力,命制此題的素材就是教材例題、習題中的噴泉水流和運動員投籃問題,如例2和例3.

例2如圖4,公園要建造一個圓形噴水池,在水池中央點O處安裝一根垂直于水面的柱形噴水裝置OA,其中OA=1.25 m.水流由頂端A處的噴頭向外噴出,在各個方向上沿形狀相同的拋物線路徑落下.為使水流形狀看起來較為美觀,設計要求水流在與OA的水平距離為1 m處達到最高點,這時距水面的最大高度為2.25 m.問:水池的半徑至少是多少時,才能夠使噴出的水流不致落到池外?

圖4

(山東教育出版社《義務教育教科書·數學》(九年級上冊)第102頁例3)

例3一名身高1.8 m的籃球運動員在距籃板4 m處跳起投籃,球在運動員頭頂上方0.25 m處出手.按如圖5所示的直角坐標系,球在空中運行的路線可以用y=-0.2x2+3.5來描述.

圖5

1)球能達到的最大高度是多少?

2)球出手時,運動員跳離地面的高度是多少?

(山東教育出版社《義務教育教科書·數學》(九年級上冊)第149頁第25題)

2.3 取材生活

借助學生熟悉的生活、社會情境,經歷用數學思維與數學語言分析并解決問題的過程,才能形成模型觀念與應用意識.在試題命制期間,筆者觀察到周圍場景的噴泉落點區域修建了水流落水池(如圖6),大廳入口門上方安裝了擋雨板(如圖7).

圖6

筆者身臨其境對落水池和擋雨板設計的科學性與實效性進行了反復觀察,與命題組成員交流后對教材例題中的情境產生了3點看法:

1)噴泉水柱在空中飄起的水霧會打濕行人的衣服;

2)水柱落地后濺起的水花會淋濕行人的鞋;

3)地面上的水流會導致行人滑倒,存在安全隱患.

因此,在命題時增設了“方形水池”“傾斜防水罩”等生活情境.

3 命題過程

3.1 初稿

如圖8,城建部門計劃建造一個圓形噴水區域.在噴水區域中央點O處安裝一根垂直于水面的柱形噴水裝置OA,其中OA=2 m.水流由頂端A處的噴頭向外噴射,在各個方向上沿形狀相同的拋物線路徑落下,落地點為B.要求水流在與OA的水平距離為2 m處達到距水面的最大高度3.6 m.以水平路面OB所在的直線為x軸、OA所在的直線為y軸建立平面直角坐標系.

圖8

1)求水流拋物線的函數表達式.

2)水流落地后濺起的水花會覆蓋周圍1 m的區域.市民站在距噴水裝置OA水平距離5.5 m處能否被水花濺到?通過計算說明理由.

(解題步驟略.)

考情診斷命題組成員通過分析研判,認為“初稿”試題與教材例題的相似度過高,涵蓋的知識點也較少,弱化了試題能力評價和學業考試、中考選拔功能,建議適當增大知識的綜合性和應用的廣泛性.從生活情境合理性的角度考慮,噴泉水柱在空中飄起的水霧和落地后濺起的水花也會影響市民在噴水區周圍行走.建議對試題情境設置的合理性和問題設計的科學性進行修改、完善.

3.2 二稿

如圖9,在“初稿”試題的基礎上增加條件:城建部門計劃在噴泉水柱下方修建步行通道.水柱沿拋物線路徑落入方形水池內,CD是水池靠近噴水裝置一側的圍擋.同時將問題進行了修改:

圖9

1)求水流拋物線的函數表達式.

2)為避免被噴泉水流濺濕衣服,設計人員打算安裝透明的傾斜防水罩MN.防水罩的一端M固定在噴水裝置上,另一端N要滿足3個要求:

①與步行通道的垂直高度NE至少為1.8 m;

②與噴泉水流的水平距離NF不低于0.3 m;

③防水罩上的水從點N處垂直落入水池內的點E到點D的距離至少為0.4 m.

(解題步驟略.)

考情診斷對于“二稿”試題,命題團隊主要針對學生理解題意是否存在認知缺陷和數學知識應用是否存在思維障礙進行了研討.最終提出4點修改建議:1)問題情境中的步行通道和水池會影響學生對題目的理解,建議提供俯視效果圖;2)為避免學生誤認為“傾斜防水罩MN”與“水平距離NF”在同一直線上,建議在圖9中添加點F到OA的水平距離;3)第2)小題對“另一端點N要滿足3個要求”出現了3次不等量關系,煩瑣的信息會增加學生解題的難度,建議對條件進行簡約化調整;4)考慮到解決現實問題的真實性和試題評價的思維量,建議刪掉條件中平面直角坐標系的建立方式,讓學生自主建立坐標系,同時刪掉第1)小題,改為直接求步行通道的寬.

經過考情診斷和后續打磨,最終形成了前面的終稿試題.

4 命題思考

4.1 要發揮教材的育人功能

習近平總書記多次強調,課程教材要發揮培根鑄魂、啟智增慧的作用.在開展課堂教學活動時要體現教材的根本作用,在進行試題評價時也要發揮教材的內容功效.試題命制體現源于教材的理念,不僅可以引導教師回歸教材、落實“四基”,而且可以實現“以考促教,以考促學”,更好地體現教育公平.二次函數作為一種基本的初等函數,不僅是初中階段“數與代數”領域的主干內容,而且對學生體會函數思想和進一步學習函數都具有重要意義.在進行命題時,教師希望學生在從噴泉水流實際情境建立二次函數表達式的過程中,感受二次函數表達數量關系的實際意義,建立函數與方程的內在關聯并進行相互轉化,從而促進知識結構化.教師在進行命題時,要對教材資源的數學本質和實際應用價值進行深入研究,充分發揮教材的育人功能.

4.2 要關注數學模型觀念

模型觀念主要是指對運用數學模型解決實際問題有清晰的認識.建立模型觀念能夠讓學生有意識地用數學的概念與方法對現實問題進行解釋,感悟數學應用的普遍性.二次函數是描述現實生活變量關系的重要模型,在商品銷售利潤、太陽光照、自由落體運動、拋物線型拱橋、隧道等實際生活中有著廣泛的應用.命題導向要關注學生從這些現實情境中發現問題和提出問題,在經歷二次函數模型建立與應用的過程中分析和解決問題,積累用二次函數知識解決實際問題的活動經驗,形成用數學模型揭示現實世界的觀念.

4.3 要創設合理問題情境

布魯納認為,學習者在一定的問題情境中,經歷對學習材料的親身體驗和發展過程,才是最有價值的東西.對于教材中諸多的問題情境,在命題時不能簡單采取“拿來主義”直接使用,而是要將教材情境與實際生活相結合,并進行改編、整合,創設符合現實生活和數學應用的適切問題情境.只有在這樣的情境中,學生才能應用數學知識和數學原理解決實際問題,經歷數學知識遷移應用的過程,體驗“生活中處處有數學”,增強數學應用意識.也只有這樣,學生才會用數學的眼光觀察現實世界、會用數學的思維思考現實世界、會用數學的語言表達現實世界.