講方法 扣關鍵 抓本質
——例談二次函數圖像的平移

文／陳俊

從“數”上看，二次函數是研究最優化問題的常用數學模型。我們常用它來研究最大面積、最大利潤、最小能耗等數學問題。從“形”上看，二次函數的圖像是拋物線——人們常見的曲線之一，拱橋、隧道、美麗的噴泉、鉛球的投擲、跳遠、跨欄等都與拋物線有關。

蘇科版數學教材九年級下冊第20頁習題第9 題：怎樣平移函數y=-x2的圖像，可以得到函數y=-x2-8x-7的圖像？

【解析】二次項系數a相同的情況下，二次函數圖像的平移，其實質就是頂點的平移。因此，解決這個問題的關鍵就是要抓住一個關鍵點——頂點。

函數y=-x2的頂點是（0，0），函數y=-x2-8x-7=-（x+4）2+9的頂點是（-4，9）。

因為點（0，0）先向左平移4 個單位長度，再向上平移9 個單位長度，可得到點（-4，9），所以函數y=-x2的圖像也同樣先向左平移4個單位長度，再向上平移9個單位長度，可得到函數y=-x2-8x-7 的圖像。

利用二次函數表達式確定頂點，通過頂點的平移，可以確定二次函數圖像的平移。反之，利用二次函數圖像的平移，可以確定頂點的平移，從而確定平移后的函數表達式。

蘇科版數學教材九年級下冊第37頁復習鞏固第14 題：把二次函數y=x2+bx+c的圖像向下平移1 個單位長度，再向左平移5 個單位長度后，所得的拋物線的頂點坐標為（-2，0）。寫出原拋物線相應的函數表達式。

【解析】二次函數y=x2+bx+c的圖像向下平移1個單位長度，再向左平移5個單位長度，說明頂點也發生了同樣的平移。我們將平移后得到的頂點坐標（-2，0）先向上平移1 個單位長度，再向右平移5 個單位長度，就可以反向平移到變化前的位置（3，1）。由頂點式就可以寫出原來的二次函數表達式：y=（x-3）2+1=x2-6x+10。

我們通過教材上的這兩個問題，可以知道：二次項系數a相同的情況下，二次函數圖像的平移，其實質就是頂點的平移。緊扣這個關鍵點，抓住本質，在解決更復雜的二次函數平移問題時，就會有思路和方法了。

（2023·浙江溫州）一次足球訓練中，小明從球門正前方8m 的A處射門，球射向球門的路線呈拋物線。當球飛行的水平距離為6m 時，球達到最高點，此時球離地面3m。已知球門高OB為2.44m，現以O為原點建立如圖所示的直角坐標系。

（1）求拋物線的函數表達式，并通過計算判斷球能否射進球門（忽略其他因素）。

（2）對本次訓練進行分析，若射門路線的形狀、最大高度均保持不變，則當時他應該帶球向正后方移動多少米射門，才能讓足球經過點O正上方2.25m處？

【解析】（1）拋物線的頂點坐標為（2，3），則我們可以設拋物線表達式為y=a（x-2）2+3。

∴當時他應該帶球向正后方移動1米射門。

函數圖像是由點構成的。函數圖像位置的變化，實質就是圖像上點的位置的變化。因此，同學們可以通過研究點的位置變換與其坐標的變化，來研究函數圖像的變換及其表達式的變化。