構建函數模型 巧解最值問題

文／郭永勝

在解決某些最值問題時，我們可以通過構造二次函數模型，依據二次函數性質進行求解。現將這類最值問題歸納整理如下，希望對同學們解決此類問題有所幫助。

一、求代數式的最值

例1 已知實數m、n滿足n-m=1，則代數式m2+2n-6m+7的最小值是______。

【分析】n-m=1 變形可得n=m+1，替換所求代數式中的n，得到關于m的二次多項式。

解：令y=m2+2n-6m+7。

∵n-m=1，∴n=m+1。

∴y=m2+2n-6m+7=m2+2（m+1）-6m+7=m2+2m+2-6m+7=m2-4m+4+5=（m-2）2+5。

∵此拋物線開口向上，∴當m=2時，y取最小值，最小值為5。

變式 已知實數a、b滿足a-b2=4，則代數式a2-3b2+a-14的最小值是____。

【分析】a-b2=4 變形得到b2=a-4，替換所求代數式中的b2，得到關于a的二次多項式。但要注意b2=a-4≥0。

解：令y=a2-3b2+a-14。

∵a-b2=4，∴b2=a-4。

∴y=a2-3（a-4）+a-14=a2-3a+12+a-14=a2-2a+1-3=（a-1）2-3。

此拋物線開口向上，對稱軸是直線a=1。又b2=a-4≥0，即a≥4，∴當a≥4 時，y隨著a的增大而增大。∴當a=4 時，y取最小值為6。

【反思】以上問題屬于由已知等式求未知代數式的最值。每個題目中含有兩個字母，類比解方程組的“代入消元法”將所求代數式變為只含有一個字母的二次多項式。同學們要注意，我們必須先明確字母的取值范圍，再結合二次函數性質準確求值。

二、求幾何圖形的最值

例2 如圖1，正方形ABCD的邊長為4，M、N分別是BC、CD上的兩個動點，且始終保持AM⊥MN，則CN的最大值是________。

圖1

【分析】由圖可知，點N隨著點M的運動而運動，CN的長度隨之改變。設BM=x，用含x的代數式表示CN，將CN看作關于x的二次函數。

解：設BM=x，則MC=4-x。

根據“一線三等角”易證△ABM∽△MCN。

∴當x=2 時，CN取最大值，最大值為1。

變式 如圖2，D、E、F分別是△ABC三邊上的點，其中BC=8，BC邊上的高為6，且DE//BC，則△DEF面積的最大值是________。

【分析】由圖可知，求△DEF的面積就是求邊DE的長度及DE邊上的高。邊DE的高隨DE長度的變化而變化，設DE=a，用含a的代數式表示DE上的高，則△DEF的面積可看作關于a的二次函數。

圖2

圖3

解：如圖3，過點A作AM⊥BC，垂足為M，交DE于點N，則AN⊥DE。

設DE=a。

∴當a=4時，S有最大值6。

【反思】以上問題屬于幾何圖形中常見的求線段、面積最值的題目。解題時常利用全等三角形的對應邊相等、相似三角形的對應邊成比例、勾股定理、面積公式、三角函數等知識建立各個量之間的關系，再設未知數進行“量化”，得到相應的二次函數。