2023年二次函數中考題新趨勢

文／吳琨

中考考查二次函數知識的題型結構基本保持不變，試題特點體現在起點低、尾巴高，根植于教材。不過，近年來的命題增加了思維的含量，體現學以致用與實踐的能力。現以江蘇省的部分中考題為例加以分析。

一、讓數與代數的考查更靈活

例1 （2023·江蘇泰州）二次函數y=x2+3x+n的圖像與x軸有一個交點在y軸右側，則n的值可以是________。（填一個值即可）

【解析】設二次函數y=x2+3x+n的圖像與x軸交點的橫坐標為x1、x2，則二元一次方程x2+3x+n=0的根為x1、x2。

由根與系數的關系，得

x1+x2=-3，x1·x2=n。

∵一次函數y=x2+3x+n的圖像與x軸有一個交點在y軸右側，∴x1、x2異號。∴n＜0。

故答案為：-3（答案不唯一）。

【點評】本題考查拋物線與x軸的交點求法以及根與系數之間的關系。解題的關鍵是要理解根與系數之間的關系，這樣才能靈活應用到解題過程中。

二、存在性問題或動點問題的考查更全面

例2 （2023·江蘇蘇州）如圖1，二次函數y=x2-6x+8 的圖像與x軸分別交于點A、B（點A在點B的左側），直線l是對稱軸。點P在函數圖像上，其橫坐標大于4，連接PA、PB，過點P作PM⊥l，垂足為M，以點M為圓心，作半徑為r的圓，PT與⊙M相切，切點為T。

圖1

（1）求點A、B的坐標；

（2）若以⊙M的切線長PT為邊長的正方形的面積與△PAB的面積相等，且⊙M不經過點（3，2），求PM長的取值范圍。

【解析】（1）令y=0，則有x2-6x+8=0。解得x=2或x=4。∴A（2，0），B（4，0）。

（2）∵拋物線過點A（2，0）、點B（4，0），

∴拋物線的對稱軸為x=3。

設P（m，m2-6m+8）。

∵PM⊥l，∴M（3，m2-6m+8）。

如圖2，連接MT，則MT⊥PT。

圖2

∴PT2=PM2-MT2=（m-3）2-r2。

∴以切線PT為邊長的正方形的面積為（m-3）2-r2。

∴（m-3）2-r2=m2-6m+8，即r2=1。

∵r＞0，∴r=1。

假設⊙M過點N（3，2），則有以下兩種情況：

①如圖3，當點M在點N的上方，即M（3，3）。

∴m2-6m+8=3，解得m=5或m=1。

∵m＞4，∴m=5。

圖3

圖4

②如圖4，當點M在點N的下方，即M（3，1）。

【點評】本題主要考查了二次函數的性質、切線的性質、勾股定理等知識點，掌握分類討論思想是解題的關鍵。

根據考查趨勢，我們在學習二次函數時，一方面可以變更命題的表達形式，培養自己思維的深度，充分理解知識的本質，從而提升審題能力；另一方面，可以尋求不同的解題途徑與思維方式，培養自己思維的廣度，從而打破思維定式，拓展思路，優化解題方法。