2023年全國乙卷(理科)第19題的多解探究

雷 譽

(湖北省咸寧市青龍山高級中學,湖北 咸寧 437000)

立體幾何中的證明和計算問題是高中數學的熱點和重點內容,具有一定的難度.本文以2023年全國乙卷的立體幾何大題為例,從不同解題思路出發,拓展求解策略和思維角度,幫助學生掌握常見的解決立體幾何問題的三大方法:幾何法、坐標向量法和基底向量法,使其加深認識和提高效率.

1 真題再現

圖1 三棱錐P-ABC

(1)證明:EF∥平面ADO;

(2)證明:平面ADO⊥平面BEF;

(3)求二面角D-AO-C的正弦值.

2 試題解析

思路1 證明立體幾何中的平行和垂直關系的問題時,需要借助平面幾何圖形分析出線線平行或垂直關系.計算立體幾何空間角的問題,需要運用幾何性質作圖找到所求的夾角,然后利用解三角形知識求解問題.

解法1(幾何法) (1)如圖2,過點A作AB的垂線AQ,延長BF交AQ于點Q,易得∠BOA=∠ABQ.

圖2 平面ABC的幾何法

所以AQBC.

所以F為AC的中點.

由D,E,O,F分別為PB,PA,BC,AC的中點,

又EF?平面ADO,DO?平面ADO,

所以EF∥平面ADO.

所以OD2+AO2=AD2.

則OD⊥AO.

即EF⊥AO.

又AO⊥BF,BF∩EF=F,BF,EF?平面BEF,

則有AO⊥平面BEF.

又AO?平面ADO,所以平面ADO⊥平面BEF.

(3)記AO,BF交點為G,AD,BE交點為H,易得G為△ABC的重心,H為△PAB的重心.

則GH∥OD.

又OD⊥AO,則GH⊥AO.

又GF⊥AO,所以∠HGF即為二面角D-AO-C的平面角或∠EFB為二面角D-AO-C的平面角的補角.

點評幾何法的難點是抓住已知條件找出幾何關系,前兩問是為了第三問作出二面角的平面角做準備.在破解立體幾何問題的過程中,需要關注空間模型的幾何特性,包括點線關系、線線關系、線面關系等.從平面視角可確定兩線的特殊關系,為空間關系的探索做好基礎[1].

思路2首先根據題目條件分析出三條兩兩互相垂直的直線,建立合適的空間直角坐標系,運用坐標法解決立體幾何的證明和計算問題.

解法2 (1)同解法1.

(2)易得OF⊥BC,OP⊥BC,OF∩OP=O,則BC⊥面POF.

設面ADO的法向量n=(x1,y1,z1),則

設面BEF的法向量m=(x2,y2,z2),則

所以平面ADO⊥平面BEF.

圖3 以O為坐標原點建系圖4 以B為坐標原點建系

所以F為AC的中點.

所以EF∥平面ADO.

(2)設D(x,y,z),則

所以平面ADO⊥平面BEF.

(3)同解法2.

思路3若三條兩兩互相垂直的直線不容易找到時,可以選取長度和夾角已知的三個基向量為一組基底,運用向量運算解決立體幾何的證明和計算問題.

解法4(1)連接DE,OF,設AF=tAC,則

所以EF∥平面ADO.

所以OD2+AO2=AD2.

則OD⊥AO,即EF⊥AO.

又AO⊥BF,BF∩EF=F,BF,EF?平面BEF,

則有AO⊥平面BEF.

又AO?平面ADO,所以平面ADO⊥平面BEF.

解得x2=2,y2=-1,z2=0.

所以平面ADO⊥平面BEF.

解得x3=1,y3=-1,z3=2.

在平時立體幾何問題的訓練中,要多從圖形的幾何特性去分析線線關系和線面關系,還要能利用好空間向量這個法寶,既可以建立合適的空間直角坐標系,還可以選取模長和夾角已知的向量為一組基底,將問題轉化為向量運算.在解題過程中需要不斷積累和總結,以幫助學生掌握數學思想方法和提高數學素養.