初中數(shù)學(xué)解題中待定系數(shù)法的應(yīng)用策略

沈超雄

(福建省莆田市秀嶼區(qū)實驗中學(xué), 福建 莆田 351100)

待定系數(shù)法作為初中數(shù)學(xué)中重要的解題方法,是一種“執(zhí)果索因”的思維方式,是判斷所求結(jié)果的結(jié)構(gòu)形式,根據(jù)題目條件列出待定系數(shù)的等式,得出待定系數(shù)的值.待定系數(shù)法的應(yīng)用比較廣泛,在初中數(shù)學(xué)解題訓(xùn)練中,教師圍繞待定系數(shù)法安排專題訓(xùn)練,指導(dǎo)學(xué)生用于多項式除法、因式分解、解方程以及恒等式的證明等多方面的試題,幫助其學(xué)會借助待定系數(shù)法有效解答初中數(shù)學(xué)問題,不斷提高他們的解題能力,為將來的中考做好充足準(zhǔn)備[1].

1 用待定系數(shù)法解多項式除法問題

在初中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中,應(yīng)用待定系數(shù)法能解答多項式除法類試題,包括多項式的余式、求商式和整除等[2].多項式除法屬于除法的一種,在運(yùn)算過程中還要用到減法與乘法,是代數(shù)試題中一類比較常用的算法,通常是用一個同次或者低次的多項式去除另一個多項式.教師可指導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用待定系數(shù)法解答多項式除法問題,讓他們將一個相對復(fù)雜的除法問題分解成小問題,順利解題[3].

例1 求(3x3-2x2+1)÷(3x2-3x+1)的商式和余式.

分析此題中被除式的最高次項是3x3,除式的最高次項是3x2,所以商式的最高次數(shù)是1,且系數(shù)是1.因此,可以將商式設(shè)為x+a,余式設(shè)為px+q,由此能夠得出關(guān)于x的恒等式3x3-2x2+1=(x+a)(3x2-3x+1)+px+q,對于一切實數(shù)x均成立,所以,x為0、1、-1依然成立,從而得出關(guān)于a、p、q的方程組.

詳解設(shè)所求的商式是x+a,余式是px+q,由此得到3x3-2x2+1=(x+a)(3x2-3x+1)+px+q,

令x=0,則a+q=1;令x=1,則(a+1)+p+q=2;

令x=-1,則7(a-1)-p+q=-4;

例2 已知x4+4x3+6px2+4qx+r可以被被x3+3x2+9x+3整除,那么p、q、r的值分別是什么?

分析在解此題時,需要先把商式假設(shè)出來,根據(jù)x4÷x3=x可以把商式假設(shè)成x+m,故p、q、r、m都是待定系數(shù),結(jié)合被除式恒等于商式乘以除式,以及對應(yīng)系數(shù)的對比,能求得這幾個待定系數(shù)的值.

詳解設(shè)所得商式是x+m,所以x4+4x3+6px2+4qx+r=(x+m)(x3+3x2+9x+3)=x4+(3+m)x3+(9+3m)x2+(3+9m)x+3m,

2 利用待定系數(shù)法解因式分解問題

對初中數(shù)學(xué)解題教學(xué)來說,當(dāng)因式分解中遇到一些較為復(fù)雜的二元二次多項式時,應(yīng)把原多項式中的一部分進(jìn)行因式分解,且轉(zhuǎn)變成兩個一次因式相乘的形式,就可以把整個解題過程處理的簡單化.對此,初中數(shù)學(xué)教師在因式分解類試題教學(xué)中,由于二元二次多項式比較復(fù)雜,當(dāng)要求學(xué)生進(jìn)行因式分解時,可借助待定系數(shù)法將原多項式的一部分進(jìn)行因式分解,由兩個一次因式乘積代替,使其在分解中確定因式,將解題過程變得更加簡捷.

例3 已知2x2+xy-y2-kx+8y-15可以分解為兩個一次因式的乘積,那么這個有理多項式是什么?

分析在解題時,可以將前三項進(jìn)行分解,通過兩個一次因式相乘的方式來表示,再對原式進(jìn)行變形,就能夠采取對應(yīng)項系數(shù)比較的方式求得結(jié)果.

詳解根據(jù)十字相乘法可以得到2x2+xy-y2=(2x-y)(x+y),設(shè)2x2+xy-y2-kx+8y-15=(2x-y+m)(x+y+n)=2x2+xy-y2+(2n+m)x+(m-n)y+mn.

例4 已知等式p2+q2=7pq,且滿足該等式的正實數(shù)p、q,能夠讓有關(guān)x、y的多項式xy+px+qy+1分解為兩個一次因式之積,請問p、q的值分別是什么?

分析根據(jù)條件p2+q2=7pq,且p、q是正實數(shù),利用配方法分析p+q和pq的關(guān)系,因多項式xy+px+qy+1可以分解成兩個一次因式之積,便可借助待定系數(shù)法把pq的值給求出來,并得到p+q的值,順利確定p、q的值.

3 利用待定系數(shù)法解高次方程問題

方程,作為學(xué)生從小學(xué)時期就接觸和學(xué)習(xí)的一類知識,在整個數(shù)學(xué)課程體系中占據(jù)著極為關(guān)鍵的地位,既是一類特殊的理論知識,也是學(xué)生進(jìn)行解題的一種常用工具,重要性不言而喻.不過對于初中學(xué)生而言,還沒有學(xué)習(xí)到有關(guān)高次方程的解題方法,當(dāng)遇到此類特殊的方程類試題時,教師可以指引他們采用待定系數(shù)法,找到這些一元高次方程中根存在的某種關(guān)系,從而將高次方程轉(zhuǎn)變?yōu)榈痛畏匠?使其能夠借助待定系數(shù)法的優(yōu)勢順暢解這類方程.

例5 已知方程2x4-5x3-24x2+53x-20=0的兩個根之積為2,那么該方程的解是什么?

分析通過分析方程根和系數(shù)之間的關(guān)系,發(fā)現(xiàn)兩根之積是2的一元二次方程,假如二次項系數(shù)是1,則常數(shù)項為2,故應(yīng)用待定系數(shù)法時能夠搭配假設(shè)法完成求解.

詳解設(shè)2x4-5x3-24x2+53x-20=(x2+ax+2)(2x2+bx-10)=2x4+(2a+b)x3+(ab-6)x2+(-10a+2b)x-20,

例6 已知方程x4+(x-4)4=626,求該方程的實數(shù)解.

分析解答本道題目時,可以利用待定系數(shù)法,推導(dǎo)出方程的兩個實數(shù)根,然后繼續(xù)利用待定系數(shù)法進(jìn)行因式分解,最終完成解題.

詳解因為626=54+14,能夠看出5和-1是該方程的兩個根,令x4+(x-4)4-626=2(x+1)(x-5)(x2+px+q),當(dāng)x=0時,q=37,當(dāng)x=4時,p=-4,所以原方程可以變?yōu)?(x+1)(x-5)(x2-4x+37)=0,又因為(x2-4x+37)=0沒有實數(shù)根,所以原方程的解是x1=-1,x2=5.

4 應(yīng)用待定系數(shù)法解代數(shù)式恒等變形問題

代數(shù)式恒等變形屬于解析式變換的一種,就是將一個代數(shù)式轉(zhuǎn)變成另外一個同它恒等的代數(shù)式.在初中數(shù)學(xué)解題訓(xùn)練中,會經(jīng)常安排幾道有關(guān)代數(shù)式恒等變形類的試題,教師可提示學(xué)生應(yīng)用待定系數(shù)法,按照實際要求對題目中的代數(shù)式進(jìn)行恒等變形處理,讓他們先把一個符合條件且含有待定系數(shù)的恒等式給假設(shè)出來,再借助恒等式的性質(zhì)求出各個待定系數(shù)的具體值,也可以將待定系數(shù)消除掉,由此完成解題,這樣解題過程顯得十分清楚和簡潔.

例7 已知有一個多項式xy(3x+2)(5y+2),請證明這個多項式是含有整數(shù)系數(shù)的兩個多項式的平方差.

分析從本質(zhì)看,本題需要把題設(shè)中的多項式通過兩個整式的平方差形式表示出來,但是這兩個整式屬于未知條件,所以可設(shè)為A和B,隨后借助待定系數(shù)法進(jìn)行證明.

詳解設(shè)xy(3x+2)(5y+2)=A2-B2,A、B均代表整式,則(3xy+2y)(5xy+2x)=(A+B)(A-B),令A(yù)+B=3xy+2y,A-B=5xy+2x,解之得A=4xy+x+y,B=-xy-x+y,所以說xy(3x+2)(5y+2)=(4xy+x+y)2-(-xy-x+y)2.

例8 已知多項式x4-6x3+13x2-12x+4,請證明該多項式能夠通過完全平方式來表示.

分析這道題目中出現(xiàn)的是四次多項式,其應(yīng)該是二次三項式的平方,所以可以假設(shè)原代數(shù)式恒等于(x2+px+q)2,該式子中的p與q便是待定系數(shù).

詳解設(shè)多項式x4-6x3+13x2-12x+4=(x2+px+q)2,化簡變形后為x4+2px3+(p2+2q)x2+2pqx+q2,通過對應(yīng)項系數(shù)的比較可以得到2p=-6,p2+2q=13,2pq=-12,q2=4,解之得p=-3,q=2,所以多項式x4-6x3+13x2-12x+4可以轉(zhuǎn)變?yōu)?x2-3x+2)2.