深度解析以折紙為背景的中考題

馮志賢

(江蘇省常熟市白茆中學,江蘇 常熟 215532)

例1 已知矩形紙片ABCD,AB=2,AD=1, 將紙片折疊, 使頂點A與邊CD上的點E重合.

(2) 如果折痕FG分別與CD、AB交于點F、G,AED的外接圓與直線BC相切, 求折痕FG的長, 如圖1[1].

圖1 例1題圖

折疊方法解析本題的折紙操作方法可以用以下 4 個步驟描述:

操作1 將AD與BC重合對折, 折痕為MN, 如圖2所示;

圖2 操作1圖

操作2 將AD與MN重合對折, 折痕為RS, 如圖3所示;

圖3 操作2圖

操作3 過S、M兩點折疊, 折痕為MS, 折疊以后BS與AD的交點為F, 如圖 4所示;

再生水是指廢污水經適當處理后，達到一定的水質標準，滿足某種使用要求，可以進行有益使用的水。本文主要梳理了美國、以色列、新加坡等國（以美國為主）及相關國際組織在再生水利用方面的諸多經驗，以期對我國再生水利用提供借鑒。

圖4 操作3圖

操作4 過點F將點A折到CD上, 折痕為FG, 點A的對應點為E, 如圖5所示.

圖5 操作4圖

(2)折疊的關鍵是要確定點E的位置,我們先假設已經折出來了,如圖6所示,然后再計算CE的長度,從而確定點E的位置.

圖6 確定E的位置

圖7 操作5圖

操作6將A、E兩點重合對折, 折痕為FG, 如圖8所示.

圖8 操作6圖

求折痕FG的長度.

在圖8中, 由操作6知GF⊥AE, 所以∠AGP+∠GAP=90°, 而∠GAP+∠DAE=90°, 所以∠AGP=∠DAE.

圖9 計算FG的長

例2 如圖10,在梯形ABCD中,AD∥BC,AB=DC=3,沿對角線BD翻折梯形ABCD,若點A恰好落在下底BC的中點E處,則梯形的周長為____.

圖10 例2題圖

折疊方法解析“沿對角線BD翻折梯形ABCD”,實際上是過B、D兩點折疊;“若點A恰好落在BC的中點E處”這必須是非常特殊的梯形才能辦到.那么這是怎樣的一個梯形呢?

如圖11所示,因為點A關于折痕BD的對應點為E, 所以△ABD?△BDE, 即AB=BE,AD=DE,∠ADB=∠EDB.因為AD∥BC,有∠ADB=∠DBE,所以∠DBE=∠EDB,即BE=DE,因此四邊形ABED是菱形.又因為E是BC的中點,而AB=CD,所以△CDE是等邊三角形.

圖11 折疊解析

問題解答由上述討論可知, 梯形ABCD是底角為60°的等腰梯形,周長等于5倍腰的長度,即等于15.

例3 矩形紙片ABCD的邊長AB=4,AD=2, 將矩形紙片沿EF折疊, 點A與點C重合, 折疊后在其一面著色 (如圖12), 則著色部分的面積為( )[2].

折疊方法解析“將矩形紙片沿EF折疊,點A與點C重合”,實際上,將兩點重合對折的折痕是唯一的, 所以先給出折痕,然后再將兩點重合對折這種描述方式不夠嚴謹,本題的操作過程可以描述為:將矩形ABCD的兩頂點A與C重合對折,折痕為EF,點D的對應點為G,如圖13所示.

圖12 折疊解析

問題解答求梯形CEFG的面積.

因為點A關于折痕EF的對稱點為C,點D關于折痕EF的對應點為G,所以四邊形ADFE與四邊形CEFG全等,所以AD=CG,又因為折痕垂直平分兩對應點的連線,即EF垂直平分AC,有CF=CE,所以梯形CEFG的上底FG加下底CE正好等于CD,于是梯形CEFG的面積等于4.

例4 如圖14,矩形ABCD沿AE折疊,使點D落在邊BC上的點F處,如果∠BAF=60°, 那么∠DAE=( )[3].

A.15° B.30° C.45° D.60°

圖13 例3題圖

折疊方法解析可以將“矩形ABCD沿AE折疊,使點D落在邊BC上的點F處”描述: 過點A將點D折到BC上,折痕為AE,D的對應點為F, 如圖14所示.

圖14 折疊解析

問題解答從條件∠BAF=60°可知, 且∠DAE=∠FAE, 即∠DAE=15°.

縱觀以上的考題,我們發現很多的中考題都是以折紙為背景來考查的,這就要求一線教師在日常教學中要滲透折紙藝術、關注學生的動手操作能力.同時,也在教學中啟示了一線教師:折紙可以進入中小學數學課堂,通過折紙操作活動,引導學生觀察折痕所形成的邊角關系,幫助學生建立折紙操作與數學內容的聯系,培養其動手能力、觀察能力、想象能力和創造性思維能力.還要注意科學性與操作性相結合、趣味性與嚴謹性相結合、啟發性與示范性相結合的原則.