以大觀念構建縱橫交互的學習單元
——“倍的認識”單元整體教學的實踐與思考

□ 江蘇省邳州市實驗小學 吳榮安

《義務教育數學課程標準（2022 年版）》（以下簡稱《課程標準》）確立核心素養導向的課程目標，設計體現結構化特征的課程內容，重視單元整體教學設計。我們在新課標引領下，開展了大觀念視角下小學數學單元整體教學實踐。大觀念是反映小學數學本質，居于小學數學課程中心地位且有適用性、解釋力的原理、思想、方法，它是單元教學設計與實施的統領和關鍵性支撐。在大觀念視角下，我們形成了單元整體教學的框架：整體分析內容，提煉學科大概念；關聯核心素養，設計單元目標；分解單元目標，設計課時序列；分析學習路徑，設計教學活動。本文選取蘇教版數學三年級上冊“兩三位數乘一位數”單元中“倍的認識”相關知識（蘇教版教材中例3、例4 以及練習內容）作為教學單元，說明實施流程。

一、整體分析內容，提煉學科大觀念

把單元內容置于學習主題內，整體把握內容的學科本質，概括提煉體現學科本質的大觀念，以統領單元教學，是單元整體教學設計的起點。

“倍的認識”屬于“數量關系”主題。《課程標準》中的數量關系內涵比較豐富，其中模型是數量關系的核心，人教社王永春主任把數量關系概括為三類：四則運算模型、估算、用字母表示數和數量關系。“倍的認識”屬于“四則運算模型”中的乘法模型內容。

心理學家吉爾德·維格諾德認為：小學生的數學認知結構主要是加法結構和乘法結構，而乘法結構是在加法結構基礎上產生的高層次的數學認知結構，它主要包括度量同構、量度的積和復合比例三種結構。“倍的認識”屬于乘法結構中的第一種度量同構，處在加法結構到乘法結構的轉折點。學生先前認識乘法是從累加的角度學習的，本質上還是加法結構，切入到“倍的認識”，是數學認知結構的一次飛躍。

“倍的認識”的學習是學生首次感悟兩個數的倍數關系，有利于學習分數、百分數、比等內容，逐步把握兩個數的比率結構。選取蘇教版、蘇科版教材，梳理關于兩個數量之間關系的內容編排，如下表。

從“倍的認識”往前回溯，兩個數量的相差關系比較了絕對數量的多少，而倍數關系比較了相對數量的多少，它們的共同之處是先確定一個標準，再去刻畫另一個數量。不同之處，首先是刻畫的部分不同，相差關系刻畫的是兩個數量的差，而倍數關系刻畫的是比較量里面有幾個標準量，關注的是份數；“相差關系”中兩個數量的差距借助一一對應可以清晰呈現，而一個數量是另一個數量的幾倍需要借助圈、數（或算）得到；解決實際問題時，“相差關系”需要通過“差”概念轉化為相并關系，倍數關系需要通過“倍”概念轉化為份總關系。表征數量關系時，“倍”描述了比較量和標準量的關系，“份”和“倍”在學生認知圖式上有較大差異，“份”更為具體—直觀感知，而“倍”更為抽象—借助運算。

從“倍的認識”向后延展，當一個數是另一個數的整數倍時，商用整數表達；當一個數不是另一個數的整數倍時，商用分數表達；兩個數量中不變的倍數關系也可以用比表達，比還可以度量兩個數量的倍數關系。“倍、分數、比”都可以比較兩個數的倍數關系，“份”是其中的核心概念。

從比差到比率，數量關系的豐富性、聯系性、獨特性不斷增強。從常量世界到變量世界，兩數的關系不斷抽象化、形式化。“差、倍、分數、百分數和比”聯系緊密，可以構成一個“兩個量比較”大單元。

在“兩個量比較”大單元中蘊含的大觀念有：①兩個數量比較，需要選定一個數量為標準，才能把兩個數量的關系說清楚；②兩個數量比較，要準確把握關注的角度；③兩個數量的比較關系，聯結了“標準量”“比較量”和“比較結果”；④兩個數量比較蘊含的數學思想方法：模型意識、推理意識、函數思想。

在“倍的認識”單元，“倍數關系”刻畫了相對數量的比較，聯系了“一樣多”“份數”等相關知識。本單元大觀念表現為：①從兩個數中選定標準（一份），另一個數有幾個標準，就可以把兩個數的倍數關系說清楚；②用“份”描述兩個數的倍數關系是倍的認識的重要抓手；③解決實際問題，倍數關系需要通過“倍”概念轉化為份總關系；④兩個數比較倍數關系蘊含的數學思想方法：模型意識、推理意識。

二、關聯核心素養，設計單元目標

單元教學目標制約著單元整體教學的走向。課程標準中“內容要求”“學業要求”“學業質量”是制定單元教學目標的參照。教師在整體把握內容學科本質、提煉單元大概念之后，要思量與本單元內容學習中核心素養的表現，設計聚焦核心素養的單元教學目標。

《課程標準》指出，“數量關系”課程內容總要求：“數量關系”主要是用符號（包括數）或含有符號的式子表達數量之間的關系或規律。第二學段數量關系“內容要求”：在實際情境中，運用數和數的運算解決問題；并能對結果的實際意義作出解釋，形成初步的模型意識和應用意識。第二學段數量關系“教學提示”：在具體情境中，利用乘法表示數量之間的關系，建立乘法模型，知道模型中數量的意義。

根據課標以上內容，制定“倍的認識”單元教學目標：①結合具體情境，認識倍，理解“幾倍”與“幾個幾”的內在關聯，培養幾何直觀、推理意識、模型意識。②探究“求倍數”“求幾倍數”和“求1 倍數”實際問題的思考方法，發展學生問題解決能力，提升分析、比較和歸納等思維能力。③探索相差關系和倍數關系實際問題、求比一個數的幾倍多幾（或少幾）的解題思路，形成整體性認識，完善認知結構，發展推理意識、應用意識。

三、分解單元目標，設計課時序列

單元教學目標不是一蹴而就的，要通過一節課一節課的教學逐步達成。核心素養在同一單元不同課時中，抽象程度具有層級性，表現水平呈現遞進性。因此，分解單元目標，設計課時序列，是單元整體教學設計的關鍵環節。

確定“倍的認識”單元內課時序列，首先要根據單元大觀念進行內容整理，其次是創設單元內容鏈接，既要保證每課時教學都服務于單元目標的達成，又要使單元內各課時目標之間呈現連貫性。特編排3 道例題、2 個練習，共安排4 課時，內容脈絡如下。

單元教學內容是有若干個知識點組合而成，這些內容中，一般總會有少量的幾個是單元學習的關鍵，關鍵內容是最能體現單元內容本質，促進大觀念理解，對其他學習內容具有統領作用，確定單元關鍵內容設計并實施教學（關鍵課時），是單元整體教學設計的重點。在“倍的認識”單元中第1、第3 課時是關鍵課時。

四、分析學習路徑，設計教學活動

在單元整體教學中，需要以大觀念為統領從單元的角度整體考慮教學活動的設計，既要遵循學科發展的規律，又要順應學生的思維特點和心理特點。

學生先前已學過比多少，學習的路徑為：建立“差”的概念→比多少→解決問題→轉化（相并關系），本單元學習的路徑類似：建立“倍”的概念→比倍數→解決問題→轉化（份總關系）。本單元重點組織以下教學活動。

1.經歷確定標準去度量比較量的過程

“倍”的概念源于比較，需要有一個標準，所以標準就成為了本單元的重要概念，“倍”概念要建立在“標準”之上。倍的概念的第一次建構，是從花圃里有3 種花數量之間的比較開始的。通過教師問題的引領：你能想個辦法，讓我們一眼就看出誰比誰多多少或誰比誰少多少嗎？其目的是凸顯標準在比較中的重要性。“倍”的概念的第二次建構，是讓學生對整齊擺放的三種花的數量，通過圈、畫再次進行比較，引導學生去嘗試“這三種花除了有多和少的關系，還有什么關系，你能在學習單上圈出他們的關系嗎？”學生會確定標準，并用標準去度量，發現他們之間其他的數量關系。這種其他的數量關系，其實就是“份”的關系，也就是倍的關系。這樣借助已有的差比關系，緊扣標準，引領學生主動建構倍比關系，提升了學生的推理意識和創新意識。

2.用“幾份”來關聯“幾個幾”和“幾倍”

借助“份”的概念和直觀支撐提煉出“幾個幾”，打通“幾份”“幾個幾”“幾倍”這三種表述方式。教學中，引領學生以“幾份”為媒來認識倍數關系，先定標準，也就是確定一份，另一個數量有這樣的幾份（也可以說“幾個幾”），就是標準的幾倍（如下圖）。這樣使學生認識到三種表述方式，說法不同，關系相同，體驗到數量關系的內在一致性，發展了學生的數學語言，提升了思維的靈活性和深刻性。

3.運用變式促進“倍”的理解

圍繞核心問題“哪個量決定了倍數關系”設計結構化數學活動，促進學生對“倍”的理解不斷深入。①標準相同，另一個數量不同，表示的倍數關系也不同，讓學生認識到有時標準量不能決定倍數關系；②另一個數量相同，標準不同，表示的倍數關系也不同，讓學生感悟到有時另一個數量不能決定倍數關系；③標準和另一個數量都不同，表示的倍數關系卻不變。學生在比較和反思“哪個量決定倍數關系”的問題中，理解到作為標準的數量和另一個數量都決定著倍數關系，從而全面、深刻地把握了“倍”的概念，發展了模型意識和函數思想。

4.前后觀照理解倍數

在學生感悟了“倍”之后，還要讓學生認識“倍數關系”與“相差關系”“分數的意義”的關聯。首先，引導學生回憶差比關系，引導學生發現：“兩個數量相等的關系，也可以說是1 倍關系。”當兩個數量相差的部分相當于1 個較小數、2 個較小數、3個較小數……就出現了2 倍、3 倍、4 倍的關系……使學生看到倍數關系是由相差關系發展而來。其次，要幫助學生認識“結構不良”的倍數關系。借助標準量大于比較量時的比較認識“不到1 倍”。這樣“拉幫結派”，使學生理解倍數關系與相差關系的相通之處，并且也為以后學習“分數與除法的關系”打下基礎，從而做到上通下聯，感受到數學知識的和諧統一。

5.聯結份總關系把握倍的應用

有關“倍”的實際問題大體有三種（“求倍數”“求幾倍數”“求1 倍數”），在一課時中把這三種問題進行整合，引導學生利用直觀手段鏈接“倍”概念把倍數關系化歸為份總關系來解決，上述三類問題就轉化為“求一個數里面有幾個另一個數”“求幾個幾的和是多少”“把一個數平均分成幾份，求一份是多少”，這樣不僅能促使學生深刻把握“倍”的概念，形成了良好的認識結構，提升了數學思維品質，發展了數學關鍵能力。