線性回歸方法在鋁合金熔煉過程中的應用

朱曉毛

摘 要：鋁合金材料制成的汽車零件對其機械性能有著嚴苛的設計要求，許多汽車零部件失效案例，如開裂，異響以及裝配功能不良等早期失效，究其原因大多與硬度和機械性能不達標有關。本文列舉的天窗導軌由6060鋁型材制成，加工工藝有擠出、沖壓、彎曲、銑削、時效（熱處理）、陽極氧化以及鉚接等。本文應用回歸方程建模，找出熔煉過程中的鐵元素的含量對于抗拉強度和斷后伸長率的對應關系，對回歸方程的顯著性進行檢驗，通過解一組不等式來確定“鐵（Fe）”元素的含量，從而指導實際熔煉過程中的控制和預測。

關鍵詞：鋁合金 線性回歸 質量控制

1 引言

鐵（Fe）元素如果過量對于鋁合金而言是具有危害作用的，雜質的鐵（Fe）會生成Fe3Al2的針狀結晶，形成硬點，降低鋁合金規定非比例伸長應力和對應的伸長率，因此需要精細和嚴格控制。當含鐵（Fe）量超過1.2 %時，會降低合金流動性，如缺料，壁厚不均，損害擠出件的品質，如拉伸開裂，變形，另外還會縮短擠出設備中金屬組件的壽命，如頂桿，柱塞，另外將加速擠出模的磨損。大多數鋁合金中，鐵（Fe）元素都屬于受控制的雜質，有鐵（Fe）元素的存在，通常會降低合金的塑性性能，對斷裂韌度有負面影響，影響壓力加工和鑄造性能。失效模式見圖1。

天窗導軌變形、開裂，弧度不良，尺寸穩定性等問題是天窗開發過程中經常遇到的頑疾，其開發涉及多個工藝技術，需滿足多種匹配方案，具有特殊性、復雜性?，F有多種工藝技術新的方法還在源源不斷應用，需比較/分析各種方法的特點，探索科學高效的導軌制造和質量控制處理思路，設計具有性能良好，較高經濟的參數方案，已成為設計、項目、質量和管理等部門亟待解決的問題。導軌工藝方法選擇不合理、熔煉配比設計不科學、熱處理工藝控制不精確，質量管理不到位等問題，將影響天窗總成質量、項目周期及成本，也有可能延期整車發布和危害公眾生命安全。需要深入研究國內外天窗導軌控制經驗和相關研究成果，提升質量能力。

2 熔煉數據整理

首先，收集鋁型材供應商不同爐次的鋁水化驗結果，剔除異常數據后，整理得出以下數據，見表1。

描述兩個變量之間關系的模型，首先想到的是一元回歸分析，兩個變量之間的線性相關關系是其研究的主要對象。結合本案例，以鐵（Fe）含量作為橫坐標，以抗拉強度（MPa）作為縱坐標，將這些數據標在一個坐標系中，以散點圖的形式展現，則可得圖2和圖3。

從兩幅圖中可以大致看出，數據點基本落在一條直線附近，能夠初步判斷出自變量X與應變量Y呈現某種線性回歸關系。從圖中還可以看出，并非所有的數據點都完全落在一條直線上，因此X與Y的關系并沒有確切到可以唯一地由一個X值確定一個Y值的程度，其它因素，諸如其它微量元素（如錳、鉻、鎳、鋅等）的含量以及試驗誤差、測量誤差、記錄誤差等因素均會影響Y的結果，要進一步研究X與Y的關系，則必須使用線性擬合方法。

3 建立含鐵量與抗拉強度回歸關系

上述數據分析后，開始嘗試建立回歸模型，為分析抗拉強度和伸長率這兩項指標與含鐵（Fe）量之間的關系，建立三者之間相互關系的回歸模型，設Y1，Y2分別為該6060鋁合金的抗拉強度和伸長率，X為含鐵量，則：

Y1=β01+β1X+ε1

Y2=β02+β2X+ε2

Y與X之間的關系可以用兩個方面表述，一個方面是由于X的變化引起Y線性變化的部分，即β01+β1X；另一方面是由其他所有隨機因素引起的，記為ε。上述兩式是變量Y對X的一元線性理論回歸方程。通常情況下Y被稱為因變量，X為自變量。其中β01和β1是位置參數，稱β01為回歸常數，β1是回歸系數。Ε表示其他隨機因素的總體影響，是一個隨機變量，通常假設ε滿足E（ε）=0，主要含義是數學期望，Var（ε）表示ε的方差，通過兩端求期望，得到公式E（Y）=Y1=β01+β1X1。

為了由樣本數據得到回歸參數β01和β1的理想估計值，通常情況下會運用到最小二乘估計（Ordinary Least Square Estimation， OLSE），即對每個樣本值（Xi，Yi）進行考慮觀測值Yi與其回歸值E（Yi）=β01+β1Xi的離差越小越好，綜合地考慮n個離差值，定義離差平方和：

所謂最小二乘法，就是選擇Xi和Yi使Q（Xi，Yi）最小，尋找參數β01，β1的估計值β^0，β^1，使公式定義的離差平方和達到極小，即尋找β^0，β^1，滿足：

按照微積分知識要求，可以得知，要想使公式取得最小值，必須滿足以下兩個條件：

進一步將公式加以簡化得到以下正態方程組：

通過以上計算，即可得到回歸系數的最小二乘估計，在知道了回歸斜率系數的估計值后，可以采用截距系數的估計值公式來手動計算出它的數值。需要注意的是，最小二乘估計值并不是“最佳估計”的唯一方法和準則。此處采用是由于這種方法公式較為簡單，計算方便，得到的回歸系數b0和b1具有更好的統計性質（指殘差和總是等于零，或者說誤差的樣本均值為零。無論樣本的散點圖分布如何，最小二乘法擬合的回歸線總是穿過散點的質心），線性、無偏性和有效性。

利用上述公式，逐步計算回歸方程的各個參數。首先抗拉強度與鐵含量之間的回歸方程，計算得：

x-=5.619/40=0.140475，y-=5574/40=139.35

=0.801043-40×（0.140475）2=0.012103975

=785.665-40×0.140475×139.35=2.65735

帶入下式

β^1=Lxy/Lxx=2.65735/0.012103975=226.85

β^0=y--β^1x-=139.35–（226.85×0.140475）=107.48

于是得到抗拉強度與鐵含量的回歸方程為

Y1=107.48+226.85X1

Minitab進行了復核，會話窗口輸出結果見圖4。

回歸分析：抗拉強度（MPa）與鐵（Fe）

回歸方程為：

抗拉強度（MPa）=107+227鐵（Fe）

從計算機輸出結果中可以得出，自變量列中的兩個值即為β^0=107.48，β^1=226.85，這與手工計算結果是一致的。得到此問題的經驗回歸方程后，還不能馬上就用它去做分析和預測，因為還未充分確定Y1=β01+β1X1是否真正描述了變量Y與X之間的統計規律性。

對于判斷是否拒絕原假設，我們利用t分布和軟件計算出來的t統計量的值，計算概率P（︱t︱＞︱t值︱），此處的概率值被稱為P值，即P（︱t︱＞︱t值︱）=P值。根據t分布的性質可知：︱t值︱越大，P值越小；︱t值︱越小，則P值越大。因此對于給定的顯著性水平a，每當P值＜a時，應該拒絕原假設；每當P值＞a時，則不應該拒絕原假設。在給定顯著性水平的情況下，使用P值不需要查分布表就可以做出判斷是否拒絕原假設。

另外，β^0的標準差=3.061，β^1的標準差=21.63，t=10.49，取顯著水平a=0.05，自由度n-2=40-2=38，查t分布表得臨界值t（a/2） =1.686，由︱t︱=3.061＞ 1.686可知，應拒絕原假設H0：β1=0，認為抗拉強度與鐵含量的一元線性回歸方程：Y1=107.48+226.85X1的效果顯著。

4 建立鐵含量與伸長率之間回歸關系

同理，根據最小二乘法的估計算法，重復上述步驟，可以得出伸長率與鐵（Fe）的回歸方程，Minitab會話窗口所得參數如下：

回歸分析：伸長率（%）與鐵（Fe）

回歸方程為：

伸長率（%）=20.8-39.0鐵（Fe）

建立伸長率與鐵含量的經驗回歸方程為

Y2=20.8–39X2

殘差見圖5。另外得到β^02的標準差為0.6924，β^2的標準差是4.893，t值為-7.96，同樣取顯著水平a=0.05，自由度為n-2=40-2=38，查t分布表臨界值t（a/2）=1.686，由︱t︱=7.96＞2.101可知，應拒絕原假設 H0：β1=0，認為伸長率與鐵含量的一元線性回歸的效果顯著。

5 計算鐵含量的控制范圍

由于所得到的兩個回歸方程都是高度顯著的，因此能夠應用于實際生產控制，由本案例所給出的質量控制要求，抗拉強度Y1應大于120 MPa，伸長率Y2應大于14%，對兩個指標均是單側控制要求（無上限設置），即要求含鐵量X的控制范圍，使以下兩個公式同時滿足要求

P（Y^1–D1＞120）=0.995

P（Y^2–D2＞14）=0.995

樣本容量N=40，較大，因此可用近似公式求解D1和D2，a=0.01，ta（N-2）=t0.01（38）在t分布表中查臨界值，得t0.01（38）=2.4286，于是：

D1=t0.01=2.4286×3.061=7.43

D2=t0.01=2.4286×0.6924=1.68

得以下不等式組：

107.48+226.85X–7.43＞120

20.8–39X-1.68＞14

解此不等式組，得：0.088＜X＜0.132。由此得知，只要在鋁合金熔煉過程中將含鐵（Fe）控制在0.088%～0.132%之間，就可以有百分之九十九的把握使該鋁合金型材的抗拉強度大于120MPa，伸長率大于14%。

6 結論

本文介紹了線性回歸方程這一數學工具應用于實際生產的案列，收集了不同爐次的化驗數據，剔除異常，簡析熔煉方法和成分配比，明確了鐵元素（Fe）對于抗拉強度和伸長率之間的回歸關系，運用最小二乘法，建立了鐵元素（Fe）與這兩者之間的線性回歸方程，得到回歸參數β01和β1的理想估計值，采用截距系數的估計值公式來手動計算出它的數值，分別進行殘差分析，最終得出線性回歸效果顯著，故可用于日常生產控制，通過解不等式組，得出鐵元素（Fe）含量的控制范圍，很好地指導了過程質量控制。

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