一景兩圖 孰是孰非
——從一道單擺習題談起

郭培東 林曉璐

(漳州臺商區第一中學 福建 漳州 363107)

單擺是簡諧運動的一個重要應用模型,隨著傳感器在教學中的普及化,通過傳感器顯示出單擺在做簡諧運動過程中的F-t圖像來判斷單擺的相關運動規律的習題也越來越多,本文對兩道常見的題目進行分析,以期得到更科學的圖像.

1 試題的呈現和分析

【例1】一根輕繩一端系一小球,另一端固定在O點(單擺),在O點有一個能測量繩的拉力大小的力傳感器,讓小球以O點為平衡位置在豎直平面內做簡諧運動,由傳感器測出拉力F隨時間t的變化圖像如圖1所示,下列判斷正確的是( )

圖1 拉力F隨時間t的變化圖像

A.小球振動的周期為2 s

B.小球速度變化的周期為4 s

C.小球動能變化的周期為2 s

D.小球重力勢能變化的周期為4 s

分析與解答：小球振動一個周期經過最低點兩次,則周期為4 s,A錯誤,B正確;由于動能、重力勢能均是標量,故在單擺一個周期內它們經過了兩個周期,C正確,D錯誤.

【例2】一單擺做簡諧運動,如圖2所示為擺繩對擺球的拉力大小F隨時間t變化的圖像(重力加速度g取10 m/s2),則該單擺的擺長為( )

圖2 拉力F隨時間t的變化圖像

A.0.4 m B.1.6 m

C.4 m D.16 m

不難看出,以上兩道題的命題情景如出一轍,但所畫的F-t圖像在F最小時卻有本質的不同.例1中的F-t圖像在此處還是平滑的,例2中的F-t圖像在此處出現了尖點.F的最大值出現在小球擺到最低點,F的最小值出現在小球擺到最高點,即兩題的命題者在最高點出現了分歧.有些教師認為,圖2是對的,圖1是錯的,理由如下:在小球擺到最高點時,運動狀態會突變,速度的方向在這一刻突變,因此F在這一刻應該也是會突變的.針對上述觀點,有些教師提出反對意見,他們認為:小球在最高點速度方向會突變,但并不代表運動狀態會突變,因為這里面速度是減為零再反方向增加,運動狀態是連續變化的,因此F在這一刻應該不會突變的.有些教師認為,圖1和圖2都對,只是兩圖的標度選取不同,圖2中相同長度的橫軸,表示比較長的時間,因此在最高點有點像是被“壓縮”了,導致出現了尖點.孰是孰非,針對這些觀點和爭議,有必要進行進一步探討和分析.

2 力傳感器采集數據 實時畫圖證明

實驗是最具有說服力的證明,尤其是在現如今傳感器采集數據,處理數據非常便捷的時代.在高中物理規律的教學中,傳感器相較于傳統實驗器材,具有精度高、誤差小、性能穩定、便于展示等特點,更容易實現物理規律的定量探究[1].準備好一單擺實驗裝置,為了實時顯示出繩子拉力大小及其大小變化,在支架上固定一微力傳感器,如圖3所示.

圖3 力傳感器采集數據

這里用老虎夾同時夾住力傳感器測量頭和繩子的一端,保證懸點固定,繩子長度盡量長,固定好鐵架臺的底座,拉開一個小角度,使小球盡量在一個平面內擺動(因為地轉偏向力的存在,這一點只能近似滿足),采集了一段數據,為了數據連續變化,采集頻率盡量高,且應該是離散點.這里面點選最細的點,頻率500 Hz比較合適,截取了其中一段較為理想的數據如圖4所示.

圖4 傳感器描繪的F-t圖像

需要說明的是由于傳感器的測量頭是豎直固定的,因此拉力傳感器的示數只是繩子拉力的豎直分力,從傳感器采集的數據可以發現拉力的豎直分力在最高點并沒有發生突變,也可以定性證明拉力在此處不會出現“尖點”,是平滑變化過去的.

3 數學推導 Geogebra畫圖證明

如圖5所示單擺.

圖5 單擺示意圖

從最高點開始計時

θ(0)=θ0v(0)=0

設最低點速度為vm

v=vmsinωt

(1)

得

θ=θ0cosωt

(2)

(3)

聯立式(1)～(3)得

將

代入得

顯然這是一個比較復雜的函數關系式,我們很難直接畫出它的圖像,為了借用Geogebra的函數功能直接顯示出它的圖像,各個物理量賦值如下:m=1 kg,g=10 m/s2,θ0=0.01 rad,k=1 N/m,l=1 m,vm=2 m/s(準確的vm應該通過動能定理求解,但vm是一個確定的常數,取2 m/s,不影響F-t圖像的大概形狀),賦值后的圖像如圖6所示.

圖6 F-t理論推導的圖像(Geogebra繪制)

由函數圖像易得:繩子拉力F在最低點是平滑變化過去的,F-t圖像不應該出現尖點.綜上我們可以知道例1的F-t圖像是比較準確的,例2的圖倒像是人造圖,沒有科學依據.

4 教學啟示

考試命題是對日常教學的檢測評估,物理教學需要考慮到考試評價的指導作用,考場上一道好的試題既是檢驗教師的“教”和學生的“學”的良好載體,更是學生煉化核心素養的重要素材.綜合分析,有以下收獲和啟示.

第一,創設情境,既是考試命題的操作核心,也是物理教學的重要策略,物理學科核心素養的培養,都離不開情境的創設[2].但是“科學性”是試題的生命.有違“科學性”原則的試題是試題命制行為最為尷尬的[3].創設情境最起碼要滿足“科學性”原則,以免適得其反.

第二,數學方法是物理學最重要的語言,數學不僅為物理學的研究提供了簡明、精確的科學通用語言,大大簡化、純化并加速了人們的思維過程,而且還為物理學提供了定量的計算方法,使物理學得以從定性分析的學科發展成為定量分析的精密科學[4].教師在平常教學中遇到的很多疑問都需要用數學方法定量分析給學生一個嚴謹的證明,甚至需要較高層次的高等數學.

第三,本文通過傳感器實時采集數據并畫圖和通過Geogebra畫出復雜的函數圖像說明了信息技術可以創設可視化的物理教學情境,培養學生的認知能力,增強學生學習物理的興趣[5].當然,傳感器、Geogebra等信息技術融入教學的功能遠不僅于此,教師掌握一定的信息技術可以明顯提高教學的便捷性和有效性.