幾何性質解析，定理應用探尋

陳俞怡

【摘? 要】? 幾何中存在大量的性質定理，直角三角形斜邊中線性質定理是其中較為常用的一種.問題解析需要提取或構造直角三角形，提取斜邊中線或中點，再結合定理推導線段長關系.本文結合實例探究直角三角形斜邊中線性質定理的三大常見應用.

【關鍵詞】? 直角三角形；斜邊；中線

直角三角形斜邊中線性質在求解幾何問題中有著廣泛的應用.性質定理成立的核心有兩點：一是直角三角形；二是斜邊上的中線.應用探究有兩種思路：一是直接使用性質定理推導線段關系；二是逆向使用證明三角形為直角三角形.下面進行應用探究.

1? 推導解析周長

使用直角三角形斜邊中線性質定理可以推導求解幾何周長問題，求解時提取其中的直角三角形模型，確定斜邊以及中線，再結合定理進行線段關系推導.后續構建周長模型，代入線段長完成求解.

例1? 如圖1所示，∠ADB＝∠ACB＝90°，E、F分別是AB、CD的中點，若AB＝26，CD＝24，則△DEF的周長為? ? ? ? ? .

分析? 本題目為幾何周長問題，其中存在直角三角形，求解線段長時可以考慮使用直角三角形斜邊中線性質定理.先根據直角三角形的性質求出DF與CF的長，再由等腰三角形的性質求出DE的長，根據勾股定理求出EF的長，進而可得出結論.

過程詳解? 已知ADB=∠ACB=90°，且點F是AB的中點，AB=26，

利用直角三角形的斜邊中線性質可得DF=CF=，從而可推知△CDF是等腰三角形.

又知點E是CD的中點，CD＝24，

所以EF⊥CD，DE=，

在Rt△DEF中，利用勾股定理可得DE==5.

從而可知△DEF的周長為：DF+DE+EF＝13+12+5＝30.

評析? 上述求解三角形周長問題時，應用了直角三角形斜邊中線的性質定理，根據定理推導求解DF長，并推導△CDF的特殊性質.對于與幾何周長相關的問題，解析時需要注意兩點：一是結合周長公式轉化為線段和問題；二是注意提取問題中的幾何模型，利用模型特性推導線段關系.

2? 分析計算角度

直角三角形斜邊中線性質定理也可用于幾何角度問題推導中，通過分為兩步：第一步，提取直角三角形模型，利用斜邊中線性質定理推導線段關系；第二步，借助線段關系反推三角形特性，利用三角形特性來推出角度.

例2? 如圖2所示，已知△ABC中，∠ACB＝90°，O為AB的中點，點E在BC上，且CE＝AC，∠BAE＝15°，求∠COE的度數.

分析? 本題目求解幾何角度，圖中以直角三角形為背景構建了復合圖形，問題求解可以利用直角三角形的相關性.

由等腰直角三角形的性質得到∠CAE=∠AEC=45°，求得∠CAB=60°，得到∠B=30°.根據直角三角形的性質得到CO=BO=AO=，得到△AOC是等邊三角形，∠OCB=∠B=30°，于是得到結論.

過程詳解? 已知∠ACB=90°，CE=AC，

則∠CAE＝∠AEC＝45°.

又知∠BAE＝15°，則∠CAB＝60°，所以∠B=30°.

因為∠ACB＝90°，O為AB的中點，

由直角三角形斜邊中線性質可得CO＝BO＝AO=，

則△AOC是等邊三角形，∠OCB＝∠B=30°，

所以AC＝OC＝CE，

從而可求得∠COE＝∠CEO=（180°﹣30°）＝75°.

評析? 上述求解幾何角時使用了眾多幾何性質定理，包括直角三角形斜邊上的中線，等腰三角形的性質，等邊三角形的判定和性質.解題的關鍵有兩點：一是正確識別圖形，提取其中的模型；二是合理利用條件反推幾何特性.

3? 綜合應用解析

直角三角形斜邊中線性質定理也可用于綜合性問題求解，使用時常與其他幾何性質定理相結合，如三角形中位線或中線定理、垂直平分線性質定理等.具體使用同樣需分兩步：第一步，讀題解圖，提取幾何模型；第二步，利用模型性質定理進行推理分析.

例3? 如圖3所示，在四邊形ABCD中，已知∠ABC＝90°，AC＝AD.點M，N分別為AC，CD的中點，連接BM，MN，BN，回答下列問題.

（1）求證：BM＝MN；

（2）若∠BAD＝60°，AC平分∠BAD，AC＝2，寫出求BN長的思路．

分析? 本題目為幾何綜合題，問題解析需要關注其中的直角三角形模型，綜合使用性質定理來推導.

（1）根據直角三角形的性質得BM=，由三角形中位線定理得得MN=，根據題意證明.

（2）證明△NMB是等腰直角三角形，根據勾股定理計算即可.

過程詳解? （1）證明：已知∠ABC=90°，M為AC中點，

則BM=.

點M為AC中點，N為DC中點，

則MN=.

又知AD＝AC，所以BM＝MN.

（2）已知∠BAD＝60°，AC平分∠BAD，

（3）則∠DAC＝∠CAB＝30°，

（4）所以BM＝AM==1，可推知∠MAB＝∠MBA＝30°，從而有∠CMB＝60°.

根據三角形中位線定理得，MN∥AD，MN=＝1，

所以∠DAC=∠NMC=30°，可知△NMB是等腰直角三角形，

由勾股定理得，BN=.

評析? 上述為幾何綜合問題，兩問涉及了證明線段關系，以及求解線段長.具體求解時綜合運用了直角三角形的性質定理、三角形中位線定理.利用性質定理推導線段長，分析角度關系，確定三角形特性.對于幾何綜合題，解析時要注意兩點：一是注意拆解圖形，提取其中的關鍵性質；二是定理使用時注意成立條件.

4? 結語

總之，直角三角形斜邊中線性質定理使用時，需注意提取或構建直角三角形模型，把握問題中的中點、線段等量關系，合理利用性質定理轉化推導關系，確定圖形特性.探究學習中，需要關注性質定理成立的條件，總結解題思路及構建策略，開展類型題分類探究，總結方法.