化歸思想在初中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中的實(shí)踐應(yīng)用

袁婕妤

【摘要】本文針對化歸思想如何在初中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中應(yīng)用作探討，同時(shí)分享幾道解題實(shí)踐案例.

【關(guān)鍵詞】化歸思想；初中數(shù)學(xué)；解題教學(xué)

化歸思想其實(shí)是轉(zhuǎn)化與歸結(jié)合起來的簡稱，實(shí)質(zhì)上把一個(gè)問題化復(fù)雜為簡單、化繁為簡、化難為易、的過程即為化歸，是一種相當(dāng)重要的解題思想.初中數(shù)學(xué)教師在平常的解題教學(xué)中，當(dāng)遇到一些比較特殊的數(shù)學(xué)題目時(shí)，就應(yīng)指引學(xué)生轉(zhuǎn)變解題方向與思路，不再使用常規(guī)方法，使其嘗試基于化歸思想切入，重新分析題意與題干中給出的條件，通過化歸思想的應(yīng)用找到新的切入點(diǎn)，讓他們順利解題[1].

1? 應(yīng)用化歸思想將未知問題轉(zhuǎn)變成已知問題

例1? 如圖1所示，在一個(gè)等腰梯形ABCD里面，AD∥BC，AB=CD，兩條對角線AC和BD相交于O點(diǎn)，而且AC⊥BD，已知AD=3，BC=5，那么AC的長度為多少？

分析? 解決這一試題時(shí)，可以結(jié)合題干中給出梯形對角線是垂直關(guān)系這一條件應(yīng)用化歸思想，將對角線進(jìn)行平移，把未知的等腰梯形轉(zhuǎn)變?yōu)橐阎闹苯侨切魏推叫兴倪呅危瑥亩槙车奶幚韱栴}[2].

詳解? 過點(diǎn)D畫一條輔助線DE∥AC，且與BC的延長線于E點(diǎn)相交，

據(jù)此可得AD=CE，AC=DE，

所以BE=BC+CE=5+3=8，

因?yàn)锳C⊥BD，所以BD⊥DE，

又因?yàn)锳B=CD，所以AC=BD，

所以BD=DE.

故在Rt△BDE中，根據(jù)勾股定理可得BD2+DE2=BE2，

代入相關(guān)數(shù)據(jù)后得到BD=DE=42，

所以AC=42，所以說AC的長度為42.

2? 應(yīng)用化歸思想將陌生問題轉(zhuǎn)變成熟悉問題

例2? ?已知方程2（x－1）2－5（x－1）+2=0，請求該方程的解.

分析? 這是一個(gè)特殊的一元二次方程，可結(jié)合原方程的特點(diǎn)把（x－1）視作未知數(shù)，由此將陌生問題轉(zhuǎn)變?yōu)槭煜栴}，即可輕松解答.

詳解? 設(shè)y=x－1，

那么原方程可轉(zhuǎn)變?yōu)?y2－5y+2=0，

解之得y1=2，y2=12，

也就是x－1=2或者x－1=12，

所以x1=3，x2=32，

故該方程的解x1=3，x2=32.

3? 應(yīng)用化歸思想將復(fù)雜問題轉(zhuǎn)變成簡單問題

例3? 已知x2+x－1=0，求x3+2x2+2009的值.

分析? 這一題目從表面上來看較為復(fù)雜，題干中提供的信息較少，無法把x的值直接求出來，不過可應(yīng)用華化歸思想進(jìn)行化零散為整體或者對x進(jìn)行降次，由此達(dá)到將復(fù)雜問題轉(zhuǎn)變?yōu)楹唵螁栴}的效果.

詳解? 因?yàn)閤2+x－1=0，所以x2=1－x，

所以x3+2x2+2009=x（1－x）+2（1－x）+2009=－x2－x+2011=－（x2+x－1）+2010=2010，

所以說x3+2x2+2009的值是2010.

4? 應(yīng)用化歸思想將一般問題轉(zhuǎn)變成特殊問題

例4? 如圖2—1所示，假如∠AOB為一個(gè)定角，點(diǎn)P為一個(gè)定點(diǎn)，而且位于∠AOB的平分線之上，把OP相連接，以O(shè)P當(dāng)作弦畫出一個(gè)圓，同OA相交于C點(diǎn)，同OB相交于D點(diǎn)，請證明：OD+OC的和為一個(gè)定值.

分析? 解答本道題目時(shí)，要用到化歸思想中的特殊方法，即為先將一般問題轉(zhuǎn)變?yōu)樘厥鈫栴}，再從中尋找解題思路，然后分析特殊情況進(jìn)行解題，從而順暢證明結(jié)論.

詳解? 如圖2—2所示，假設(shè)OP位于圓內(nèi)的特殊位置，不是普通的弦，而是特殊的直徑，即為經(jīng)過圓心，設(shè)OP=L，∠AOB=2α，

因?yàn)镺P經(jīng)過圓心，

所以∠ODP=∠OCP=90°，OD+OC=2OD=2Lcosα，所以O(shè)D+OC的和為一個(gè)定值；

當(dāng)OP不經(jīng)過圓心，是一條普通的弦時(shí)，

如圖2—1所示，做出輔助線PF⊥OB，垂足為F點(diǎn)，畫出PE⊥OA，垂足為E點(diǎn)，

又因?yàn)镺P是∠AOB的平分線是，

所以PF=PE，OF=OE=Lcosα，

所以∠PDF=∠PCE，Rt△PDF和Rt△PCE是一對全等三角形，所以DF=CE，

所以O(shè)D+OC=（OF+FD）+（OE－CE）=OF+OE=2Lcosα，

所以說OD+OC的和為一個(gè)定值.

5? 應(yīng)用化歸思想將函數(shù)問題轉(zhuǎn)變成方程問題

例5? ?如圖3所示，已知反比例函數(shù)y=－8x與一次函數(shù)y=－x+2的圖像相交于A、B兩點(diǎn)，求：（1）A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別是什么？（2）△AOB的面積是多大？

分析? 本道題只需將兩個(gè)函數(shù)的解析式聯(lián)立起來組成一個(gè)二元一次方程組，實(shí)現(xiàn)由函數(shù)問題向方程問題的轉(zhuǎn)變，通過解方程組求出A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，并根據(jù)坐標(biāo)獲得相應(yīng)的三角形信息，從而求出△AOB的面積[3].

詳解? （1）把反比例函數(shù)y=－8x與一次函數(shù)y=－x+2相聯(lián)立轉(zhuǎn)變?yōu)槌梢粋€(gè)方程組，

求得x1=4，y1=－2；x2=－2，y2=4，

根據(jù)對圖像的觀察可知點(diǎn)A的坐標(biāo)為（－2，4），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（4，－2）；

（2）因?yàn)橹本€y=－x+2與y軸的交點(diǎn)是D點(diǎn)，坐標(biāo)為（0，2），

所以S△AOD=12×2×2=2，

S△BOD=12×2×4=4，

所以S△AOB=S△AOD+S△BOD=2+4=6；

所以說A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別是（－2，4）與（4，－2），△AOB的面積是6.

6? 應(yīng)用化歸思想實(shí)現(xiàn)代數(shù)和幾何問題的互化

例6? 已知△ABC的三條邊分別為a，b，c，其中a2+b2+c2=ab+bc+ac，那么△ABC的形狀是什么？

分析? 解決本道問題時(shí)，應(yīng)當(dāng)應(yīng)用化歸思想把原問題轉(zhuǎn)變?yōu)橐粋€(gè)代數(shù)類問題，在這里是是“形”向“數(shù)”的轉(zhuǎn)化，然后借助湊完全平方式的方式進(jìn)行解題，顯得極為高效，可快速、準(zhǔn)確的判斷出△ABC形狀.

詳解? 因?yàn)閍2+b2+c2=ab+bc+ac，

所以2a2+2b2+2c2=2ab+2bc+2ac，

所以a2－2ab+b2+a2－2ac+c2+b2－2bc+c2=0，

由此得到（a－b）2+（a－c）2+（b－c）2=0，

因?yàn)槔ㄌ杻?nèi)的式子只能大于等于0，要想取“=”，只能都為0，

所以a－b=0，a－c=0，b－c=0，

據(jù)此可以判斷出a=b=c，從而說明這個(gè)三角形三條邊的長度都一樣，

所以說△ABC的形狀是是一個(gè)等邊三角形.

7? 總結(jié)

教師應(yīng)指導(dǎo)學(xué)生在解題實(shí)踐中能做到將問題從未知轉(zhuǎn)變成已知、陌生轉(zhuǎn)變成熟悉、復(fù)雜轉(zhuǎn)變成簡單、一般轉(zhuǎn)變成特殊、函數(shù)轉(zhuǎn)變成方程，以及數(shù)形之間的相互轉(zhuǎn)變，讓他們高效解題.

參考文獻(xiàn)：

[1]崔偉.化歸思想方法在初中數(shù)學(xué)教學(xué)解題中的應(yīng)用探索＼.數(shù)學(xué)之友，2023，37（02）：60-61.

[2]劉玉珍.化歸與轉(zhuǎn)化思想在初中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用＼.數(shù)理天地（初中版），2022（06）：20-22.

[3]馬文慧.初中數(shù)學(xué)解題中化歸思想的運(yùn)用＼.現(xiàn)代中學(xué)生（初中版），2021（20）：15-16.