袁婕妤


【摘要】本文針對化歸思想如何在初中數學解題教學中應用作探討,同時分享幾道解題實踐案例.
【關鍵詞】化歸思想;初中數學;解題教學
化歸思想其實是轉化與歸結合起來的簡稱,實質上把一個問題化復雜為簡單、化繁為簡、化難為易、的過程即為化歸,是一種相當重要的解題思想.初中數學教師在平常的解題教學中,當遇到一些比較特殊的數學題目時,就應指引學生轉變解題方向與思路,不再使用常規方法,使其嘗試基于化歸思想切入,重新分析題意與題干中給出的條件,通過化歸思想的應用找到新的切入點,讓他們順利解題[1].
1? 應用化歸思想將未知問題轉變成已知問題
例1? 如圖1所示,在一個等腰梯形ABCD里面,AD∥BC,AB=CD,兩條對角線AC和BD相交于O點,而且AC⊥BD,已知AD=3,BC=5,那么AC的長度為多少?
分析? 解決這一試題時,可以結合題干中給出梯形對角線是垂直關系這一條件應用化歸思想,將對角線進行平移,把未知的等腰梯形轉變為已知的直角三角形和平行四邊形,從而順暢的處理問題[2].
詳解? 過點D畫一條輔助線DE∥AC,且與BC的延長線于E點相交,
據此可得AD=CE,AC=DE,
所以BE=BC+CE=5+3=8,
因為AC⊥BD,所以BD⊥DE,
又因為AB=CD,所以AC=BD,
所以BD=DE.
故在Rt△BDE中,根據勾股定理可得BD2+DE2=BE2,
代入相關數據后得到BD=DE=42,
所以AC=42,所以說AC的長度為42.
2? 應用化歸思想將陌生問題轉變成熟悉問題
例2? ?已知方程2(x-1)2-5(x-1)+2=0,請求該方程的解.
分析? 這是一個特殊的一元二次方程,可結合原方程的特點把(x-1)視作未知數,由此將陌生問題轉變為熟悉問題,即可輕松解答.
詳解? 設y=x-1,
那么原方程可轉變為2y2-5y+2=0,
解之得y1=2,y2=12,
也就是x-1=2或者x-1=12,
所以x1=3,x2=32,
故該方程的解x1=3,x2=32.
3? 應用化歸思想將復雜問題轉變成簡單問題
例3? 已知x2+x-1=0,求x3+2x2+2009的值.
分析? 這一題目從表面上來看較為復雜,題干中提供的信息較少,無法把x的值直接求出來,不過可應用華化歸思想進行化零散為整體或者對x進行降次,由此達到將復雜問題轉變為簡單問題的效果.
詳解? 因為x2+x-1=0,所以x2=1-x,
所以x3+2x2+2009=x(1-x)+2(1-x)+2009=-x2-x+2011=-(x2+x-1)+2010=2010,
所以說x3+2x2+2009的值是2010.
4? 應用化歸思想將一般問題轉變成特殊問題
例4? 如圖2—1所示,假如∠AOB為一個定角,點P為一個定點,而且位于∠AOB的平分線之上,把OP相連接,以OP當作弦畫出一個圓,同OA相交于C點,同OB相交于D點,請證明:OD+OC的和為一個定值.
分析? 解答本道題目時,要用到化歸思想中的特殊方法,即為先將一般問題轉變為特殊問題,再從中尋找解題思路,然后分析特殊情況進行解題,從而順暢證明結論.
詳解? 如圖2—2所示,假設OP位于圓內的特殊位置,不是普通的弦,而是特殊的直徑,即為經過圓心,設OP=L,∠AOB=2α,
因為OP經過圓心,
所以∠ODP=∠OCP=90°,OD+OC=2OD=2Lcosα,所以OD+OC的和為一個定值;
當OP不經過圓心,是一條普通的弦時,
如圖2—1所示,做出輔助線PF⊥OB,垂足為F點,畫出PE⊥OA,垂足為E點,
又因為OP是∠AOB的平分線是,
所以PF=PE,OF=OE=Lcosα,
所以∠PDF=∠PCE,Rt△PDF和Rt△PCE是一對全等三角形,所以DF=CE,
所以OD+OC=(OF+FD)+(OE-CE)=OF+OE=2Lcosα,
所以說OD+OC的和為一個定值.
5? 應用化歸思想將函數問題轉變成方程問題
例5? ?如圖3所示,已知反比例函數y=-8x與一次函數y=-x+2的圖像相交于A、B兩點,求:(1)A、B兩點的坐標分別是什么?(2)△AOB的面積是多大?
分析? 本道題只需將兩個函數的解析式聯立起來組成一個二元一次方程組,實現由函數問題向方程問題的轉變,通過解方程組求出A、B兩點的坐標,并根據坐標獲得相應的三角形信息,從而求出△AOB的面積[3].
詳解? (1)把反比例函數y=-8x與一次函數y=-x+2相聯立轉變為成一個方程組,
求得x1=4,y1=-2;x2=-2,y2=4,
根據對圖像的觀察可知點A的坐標為(-2,4),點B的坐標為(4,-2);
(2)因為直線y=-x+2與y軸的交點是D點,坐標為(0,2),
所以S△AOD=12×2×2=2,
S△BOD=12×2×4=4,
所以S△AOB=S△AOD+S△BOD=2+4=6;
所以說A、B兩點的坐標分別是(-2,4)與(4,-2),△AOB的面積是6.
6? 應用化歸思想實現代數和幾何問題的互化
例6? 已知△ABC的三條邊分別為a,b,c,其中a2+b2+c2=ab+bc+ac,那么△ABC的形狀是什么?
分析? 解決本道問題時,應當應用化歸思想把原問題轉變為一個代數類問題,在這里是是“形”向“數”的轉化,然后借助湊完全平方式的方式進行解題,顯得極為高效,可快速、準確的判斷出△ABC形狀.
詳解? 因為a2+b2+c2=ab+bc+ac,
所以2a2+2b2+2c2=2ab+2bc+2ac,
所以a2-2ab+b2+a2-2ac+c2+b2-2bc+c2=0,
由此得到(a-b)2+(a-c)2+(b-c)2=0,
因為括號內的式子只能大于等于0,要想取“=”,只能都為0,
所以a-b=0,a-c=0,b-c=0,
據此可以判斷出a=b=c,從而說明這個三角形三條邊的長度都一樣,
所以說△ABC的形狀是是一個等邊三角形.
7? 總結
教師應指導學生在解題實踐中能做到將問題從未知轉變成已知、陌生轉變成熟悉、復雜轉變成簡單、一般轉變成特殊、函數轉變成方程,以及數形之間的相互轉變,讓他們高效解題.
參考文獻:
[1]崔偉.化歸思想方法在初中數學教學解題中的應用探索\.數學之友,2023,37(02):60-61.
[2]劉玉珍.化歸與轉化思想在初中數學解題中的應用\.數理天地(初中版),2022(06):20-22.
[3]馬文慧.初中數學解題中化歸思想的運用\.現代中學生(初中版),2021(20):15-16.