化歸思想在初中數學解題教學中的實踐應用

袁婕妤

【摘要】本文針對化歸思想如何在初中數學解題教學中應用作探討，同時分享幾道解題實踐案例.

【關鍵詞】化歸思想；初中數學；解題教學

化歸思想其實是轉化與歸結合起來的簡稱，實質上把一個問題化復雜為簡單、化繁為簡、化難為易、的過程即為化歸，是一種相當重要的解題思想.初中數學教師在平常的解題教學中，當遇到一些比較特殊的數學題目時，就應指引學生轉變解題方向與思路，不再使用常規方法，使其嘗試基于化歸思想切入，重新分析題意與題干中給出的條件，通過化歸思想的應用找到新的切入點，讓他們順利解題[1].

1? 應用化歸思想將未知問題轉變成已知問題

例1? 如圖1所示，在一個等腰梯形ABCD里面，AD∥BC，AB=CD，兩條對角線AC和BD相交于O點，而且AC⊥BD，已知AD=3，BC=5，那么AC的長度為多少？

分析? 解決這一試題時，可以結合題干中給出梯形對角線是垂直關系這一條件應用化歸思想，將對角線進行平移，把未知的等腰梯形轉變為已知的直角三角形和平行四邊形，從而順暢的處理問題[2].

詳解? 過點D畫一條輔助線DE∥AC，且與BC的延長線于E點相交，

據此可得AD=CE，AC=DE，

所以BE=BC+CE=5+3=8，

因為AC⊥BD，所以BD⊥DE，

又因為AB=CD，所以AC=BD，

所以BD=DE.

故在Rt△BDE中，根據勾股定理可得BD2+DE2=BE2，

代入相關數據后得到BD=DE=42，

所以AC=42，所以說AC的長度為42.

2? 應用化歸思想將陌生問題轉變成熟悉問題

例2? ?已知方程2（x－1）2－5（x－1）+2=0，請求該方程的解.

分析? 這是一個特殊的一元二次方程，可結合原方程的特點把（x－1）視作未知數，由此將陌生問題轉變為熟悉問題，即可輕松解答.

詳解? 設y=x－1，

那么原方程可轉變為2y2－5y+2=0，

解之得y1=2，y2=12，

也就是x－1=2或者x－1=12，

所以x1=3，x2=32，

故該方程的解x1=3，x2=32.

3? 應用化歸思想將復雜問題轉變成簡單問題

例3? 已知x2+x－1=0，求x3+2x2+2009的值.

分析? 這一題目從表面上來看較為復雜，題干中提供的信息較少，無法把x的值直接求出來，不過可應用華化歸思想進行化零散為整體或者對x進行降次，由此達到將復雜問題轉變為簡單問題的效果.

詳解? 因為x2+x－1=0，所以x2=1－x，

所以x3+2x2+2009=x（1－x）+2（1－x）+2009=－x2－x+2011=－（x2+x－1）+2010=2010，

所以說x3+2x2+2009的值是2010.

4? 應用化歸思想將一般問題轉變成特殊問題

例4? 如圖2—1所示，假如∠AOB為一個定角，點P為一個定點，而且位于∠AOB的平分線之上，把OP相連接，以OP當作弦畫出一個圓，同OA相交于C點，同OB相交于D點，請證明：OD+OC的和為一個定值.

分析? 解答本道題目時，要用到化歸思想中的特殊方法，即為先將一般問題轉變為特殊問題，再從中尋找解題思路，然后分析特殊情況進行解題，從而順暢證明結論.

詳解? 如圖2—2所示，假設OP位于圓內的特殊位置，不是普通的弦，而是特殊的直徑，即為經過圓心，設OP=L，∠AOB=2α，

因為OP經過圓心，

所以∠ODP=∠OCP=90°，OD+OC=2OD=2Lcosα，所以OD+OC的和為一個定值；

當OP不經過圓心，是一條普通的弦時，

如圖2—1所示，做出輔助線PF⊥OB，垂足為F點，畫出PE⊥OA，垂足為E點，

又因為OP是∠AOB的平分線是，

所以PF=PE，OF=OE=Lcosα，

所以∠PDF=∠PCE，Rt△PDF和Rt△PCE是一對全等三角形，所以DF=CE，

所以OD+OC=（OF+FD）+（OE－CE）=OF+OE=2Lcosα，

所以說OD+OC的和為一個定值.

5? 應用化歸思想將函數問題轉變成方程問題

例5? ?如圖3所示，已知反比例函數y=－8x與一次函數y=－x+2的圖像相交于A、B兩點，求：（1）A、B兩點的坐標分別是什么？（2）△AOB的面積是多大？

分析? 本道題只需將兩個函數的解析式聯立起來組成一個二元一次方程組，實現由函數問題向方程問題的轉變，通過解方程組求出A、B兩點的坐標，并根據坐標獲得相應的三角形信息，從而求出△AOB的面積[3].

詳解? （1）把反比例函數y=－8x與一次函數y=－x+2相聯立轉變為成一個方程組，

求得x1=4，y1=－2；x2=－2，y2=4，

根據對圖像的觀察可知點A的坐標為（－2，4），點B的坐標為（4，－2）；

（2）因為直線y=－x+2與y軸的交點是D點，坐標為（0，2），

所以S△AOD=12×2×2=2，

S△BOD=12×2×4=4，

所以S△AOB=S△AOD+S△BOD=2+4=6；

所以說A、B兩點的坐標分別是（－2，4）與（4，－2），△AOB的面積是6.

6? 應用化歸思想實現代數和幾何問題的互化

例6? 已知△ABC的三條邊分別為a，b，c，其中a2+b2+c2=ab+bc+ac，那么△ABC的形狀是什么？

分析? 解決本道問題時，應當應用化歸思想把原問題轉變為一個代數類問題，在這里是是“形”向“數”的轉化，然后借助湊完全平方式的方式進行解題，顯得極為高效，可快速、準確的判斷出△ABC形狀.

詳解? 因為a2+b2+c2=ab+bc+ac，

所以2a2+2b2+2c2=2ab+2bc+2ac，

所以a2－2ab+b2+a2－2ac+c2+b2－2bc+c2=0，

由此得到（a－b）2+（a－c）2+（b－c）2=0，

因為括號內的式子只能大于等于0，要想取“=”，只能都為0，

所以a－b=0，a－c=0，b－c=0，

據此可以判斷出a=b=c，從而說明這個三角形三條邊的長度都一樣，

所以說△ABC的形狀是是一個等邊三角形.

7? 總結

教師應指導學生在解題實踐中能做到將問題從未知轉變成已知、陌生轉變成熟悉、復雜轉變成簡單、一般轉變成特殊、函數轉變成方程，以及數形之間的相互轉變，讓他們高效解題.

參考文獻：

[1]崔偉.化歸思想方法在初中數學教學解題中的應用探索＼.數學之友，2023，37（02）：60-61.

[2]劉玉珍.化歸與轉化思想在初中數學解題中的應用＼.數理天地（初中版），2022（06）：20-22.

[3]馬文慧.初中數學解題中化歸思想的運用＼.現代中學生（初中版），2021（20）：15-16.