換元法在解方程中應用的四個原則

鄭鈺

【摘? 要】? 換元法又叫輔助元素法或者變量代換法，它在解方程中有著廣泛的應用.利用換元法解方程，應遵循整體性原則、簡潔性原則、等價性原則和統一性原則，以簡化問題，達到快速解題的目的.

【關鍵詞】? 初中數學；換元法；解方程

數學解題時，我們常常把某個式子看成一個整體，用一個變量去替換它，從而簡化問題，達到快速解題的目的，這種方法叫換元法.換元法又叫輔助元素法或者變量代換法，它在解方程中有著廣泛的應用，它可以化高次方程為低次方程、化分式方程為整式方程、化無理方程為有理方程、化超越方程為一般方程.那么，利用換元法解方程，我們應該遵循哪些基本原則呢？筆者以為，應遵循整體性原則、簡潔性原則、等價性原則和統一性原則，下文舉例說明.

1? 整體性原則

利用換元法解方程時，通常把方程中多處出現的相同式子當作一個整體，設為一個新的未知數，讓問題中隱蔽的條件顯現出來，從而使復雜的關系變得簡單.這就是整體性原則，也是換元法的本質所在.

例1? 解下列方程：①；②.

解析? ①由原方程得，.

令，則原方程即為，

解得.

當時，

；

當時，，

.

故原方程的根式：，.

②原方程即為.

令，

則，

故原方程變為.

解之得，

當時，，無解.

當時，，兩邊平方并整理得，

解得.

經檢驗，都滿足原方程，所以原方程的根是.

點評? 本例兩個方程需適當變形，才能找到換元的部分.方程①經過換元，把高次方程化為二次方程；方程②換元后，把無理方程化為整式方程.

2? 簡潔性原則

換元的目的，是為了解題的簡潔.換元法解方程中的簡潔性原則主要指選擇簡潔代換，換元后方程顯得較為簡潔，從而容易求解.這也是數學中簡潔美的體現.

例2? 解方程：（4x2－9）2＋（4x2－9）（9x2－4）＋（9x2－4）2＝（13x2－13）2．

解析? 注意到 （4x2－9）＋（9x2－4）＝13x2－13，

設m＝4x2－9，n＝9x2－4．

則原方程可化為m2＋mn＋n2＝（m＋n）2，即mn＝0，

則有（4x2－9）（9x2－4）＝0，

解得x＝±，±．

點評? 用換元法解方程，有時引入的新變量可以不止一個，如本題中引入了m，n．引進新變量的目的是將原方程簡化，而當引進兩個元時，還需揭示它們之間的內在聯系.

3? 統一性原則

對于有些方程，往往不可直接換元，應對其變形，通過變形，才能找到可以換元的部分，有時它們雖然不盡相同，但可以用新元加以“統一”，從而使原方程得以簡化.

例3? 解方程：.

解析? 直接因式分解比較困難，容易發現該方程是倒數方程（與首尾等距離的項的系數相等）．又因為x＝0不是方程的根，所以兩邊同時除以x2，得2（x2+）+3（x+）－16=0.

解? 設x+=y，則x2+=y2－2.

原方程化為2y2+3y－20=0，

解得y=－4；或y=.

由y=－4得x=－2+；或x=－2－.

由y=2.5得x=2；或x=.

所以原方程的解為－2+，－2－，2，.

點評? 本題看似無法用換元法來解，經過變形并配方后，用x+=y換元，使原方程的未知數統一成新元y的形式，從而使原問題順利獲解.

4? 等價性原則

換元法固然可以使方程變得簡潔，但必須在等價變形的基礎上，不可因為換元使原方程產生增根，或者失根.忽視等價性是換元法解題中易出現的錯誤，應特別引起注意.

例4? 解方程.

解析? 若令，則，

則原方程可變為，

即，

解得.

由，解得，

由，得.

點評? 上述解法正確嗎？不對！因為它忽視了新元的取值范圍，從而把原方程的解的范圍擴大了，違反了等價性原則.其實需注意，就可得到解得才是解.

5? 結語

俗話說，沒有規矩不成方圓.由上看出，利用換元法解方程應遵循以上四個原則，進而實現簡化問題，達到快速解題的目的.

參考文獻：

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