圓中陰影圖形面積的特殊解法舉例

陳瑤瓊

【摘? 要】? 圓中陰影圖形的面積求解時，需要分析問題類型，對于不規則無法直接求面積的情形可以采用不同的解法.本文結合實例深入探究等積變換、割補拼接、圖形變化三種特殊方法的構建思路，形成相應的解題策略.

【關鍵詞】? 初中數學；圓；陰影面積

圓中陰影圖形面積問題十分常見，對于不規則圖形問題需要采用特殊的解法，常用的有等積變換法、割補拼接法、圖形變化法，下面結合實例具體探究.

1? 等積變換法

等積變換，顧名思義對所求圖形進行等面積變化，將其轉化為規則圖形面積或易求圖形面積.利用等積變換求解不規則三角形面積時，可以充分利用同底等高模型，結合面積公式進行面積變換.可分兩步進行：第一步，確定三角形的底和高，結合模型進行同底等高模型轉換；第二步，推導線段長，結合面積公式求面積.

例1? 如圖1所示，點A，B，C是⊙O上的點，連接AB，AC，BC，且∠ACB＝15°，過點O作OD∥AB交⊙O于點D，連接AD，BD，已知⊙O半徑為2，則圖中陰影面積為___________.

思路分析? 本題目求圓中陰影的面積，陰影圖形為三角形，無法直接利用面積公式求解，可以采用等積變換法，通過等面積轉化求解.

過程詳解? 已知∠ACB=15°，則可推得∠AOB=30°.

又知OD∥AB，結合同底等高模型可知S△ABD=S△ABO，

所以S陰影=S扇形AOB=，

即圖中陰影面積為.

總結提升? 上述求解圓中陰影部分的面積時采用了等積變換法，即借助同底等高模型進行面積轉化.問題求解涉及了圓周角定理、扇形面積公式等知識，解題的關鍵是確定三角形的底和高、結合模型進行等積轉化，另外還可以利用等底等高模型轉換.

2? 割補拼接法

割補拼接法也可求解圓中陰影的面積，適用于不規則圖形的面積問題中，基本思路是通過圖形分割、拼接，將不規則的多邊形或有圓弧的圖形轉化為規則圖形的面積組合.求解時可分為三步：第一步，探究陰影圖形的條件，確定分割思路；第二步，做輔助線或借助圖中線段，對陰影圖形進行分割；第三步，結合圖形面積公式，逐一求解面積.

例2? 如圖2（a）所示，在扇形CBA中，∠ACB=90°，連接AB，以BC為直徑作半圓，交AB于點D.如果陰影部分的面積為（π﹣1），則陰影部分的周長為___________.

思路分析? 上述設定陰影面積，求其周長，可以歸為與面積周長相關的幾何問題.求解時可以采用面積割補拼接法，將陰影部分面積轉化為規則圖形的面積，結合面積公式分別構建模型，列方程求解線段長，最后利用周長公式求解.

過程詳解? 設BC的中點為O，連接OD，連接CD，如圖2（b）所示.

因為以BC為直徑作半圓，交AB于點D，

所以CD⊥AB.

因為AC=BC，∠ACB=90°，

則AD=BD，CD=AB，

可推得CD=BD，

所以弧CD=弧BD.

又知AD=BD，CO=BO，則OD∥AC，

所以∠BOD＝90°.

設AC=BC=m，

則AB=，CD=AD=BD=，

因為陰影部分的面積為（π﹣1），

則S陰影部分=S扇形ACB﹣S△ADC=，

整理可得，

可解得m=2，

所以AC=BC=2，AB=，OC=OB=1，

則弧AB的長為，

弧BD的長為，

陰影部分的周長為：

總結提升? 上述為與圓中陰影面積相關的周長問題，面積條件解析時采用了割補拼接方法，將不規則圖形面積轉化為規則圖形的面積組合，進而求解線段條件.利用割補拼接解題時需注意兩點：一是避免分割過于分散；二是割補過程確保等積.

3? 圖形變化法

利用圖形變化法求解圓中陰影面積，即通過旋轉、平移、翻折的方式進行等積轉換.圖形變化時需要立足定義，關注變換過程，等積變換.可分兩步進行：第一步，確定圖形變化方法；第二步，進行等積變換，求解圖形面積.

例3? 如圖3所示，正方形ABCD的邊長為4，O為對角線的交點，點E，F分別為BC，AD的中點，以C為圓心，4為半徑作圓弧BD，再分別以E，F為圓心，2為半徑作圓弧BO，OD，則圖中陰影部分的面積為___________.（結果保留π）

思路分析? 本題目求圓中陰影部分的面積，該圖形涉及圓弧，無法直接求出，可以結合圖形變化法中的旋轉，進行旋轉拼接，再求解.

過程詳解? 連接BD，EF，如圖3中的虛線所示，

因為正方形ABCD的邊長為4，O為對角線的交點，根據題意可知EF，BD經過點O，且EF⊥AD，EF⊥CB.

因為點E，F分別為BC，AD的中點，

則FD=FO=EO=EB=2，

可得弧OB=弧OD，OB=OD，

所以弓形OB=弓形OD，則陰影部分的面積等于弓形BD的面積，

從而可得S陰影＝S扇形CBD﹣S△CBD=，

即圖中陰影部分的面積為.

總結提升? 上述求解與圓弧相關的陰影面積時采用了圖形旋轉變化的方法，即分割圖形，通過旋轉變化將其拼接成弓形，后續再結合面積割補求圖形面積.圖形變化法求解圖形，其核心知識是旋轉、平移、翻折的幾何特性，即圖形的線段、面積、形狀不變，僅面積發生了變化.

4? 結語

總之，求解圓中陰影圖形的面積方法眾多，上述舉例探究的是其中較為特殊且常用的三種，三種解法的核心思想是等面積轉化、數形結合建模.探究解析時要關注三點：一是歸納問題類型，總結對應方法；二是結合實例探索應用，構建解析思路；三是合理變式問題，拓展解題思路.