從一道習(xí)題來看從特殊到一般的思想

李映萱

【摘要】從特殊到一般的思想方法是學(xué)習(xí)研究數(shù)學(xué)的基本思想方法之一.本文對平面幾何中一類三角形所具有的性質(zhì)進(jìn)行了探索，詳細(xì)講述了從特殊到一般，再從一般回到特殊的完整過程，對其中的關(guān)鍵問題的處理方法進(jìn)行了合情的分析并用多種方法給出了嚴(yán)格證明.這種 結(jié)合實(shí)際問題的分析會(huì)對學(xué)生掌握從特殊到一般的思想方法有所裨益.

【關(guān)鍵詞】思想方法；從特殊到一般；探索

1? 引言

一個(gè)定理由條件和結(jié)論兩部分組成，在證明定理時(shí)目標(biāo)是明確的，任務(wù)是從條件出發(fā)調(diào)

動(dòng)一切手段去證明結(jié)論.而提出一個(gè)問題常常是只有一些條件而沒有結(jié)論，在經(jīng)過一定的思考后會(huì)有一些發(fā)現(xiàn)，也許會(huì)有一些對于結(jié)論的猜想，這需要一個(gè)探索過程.在這種意義下提出問題比證明定理要困難一些[1]，[2].在探索發(fā)現(xiàn)過程中常常會(huì)從最簡單的特殊情況出發(fā)，找到一些結(jié)論，然后逐步向較一般的情況擴(kuò)展，直至有一個(gè)相對完美的結(jié)論，而這個(gè)結(jié)論可以用于符合條件的更多的具體問題.這就是從特殊到一般的方法.特殊問題的條件比較多，得到結(jié)論會(huì)容易一些，結(jié)論也會(huì)比較簡單，從解決的過程中會(huì)得到一些有利于討論一般情況的啟發(fā).問題的難處是在一般情況下怎樣避開特殊情況下的附加條件，去發(fā)現(xiàn)去掉這些條件后結(jié)論會(huì)有什么變化.本文對一個(gè)探索性的問題實(shí)現(xiàn)一個(gè)完整的從特殊到一般，再到特殊（從具體到抽象再回到具體）的完整過程，希望對初學(xué)者有些啟發(fā).

2? 問題的提出

已知在△ABC中，中線BF和CE互相垂直，請找出此三角形的邊角的特殊關(guān)系.

3? 特例探索

按照由特殊到一般的認(rèn)識(shí)規(guī)律，可以從特殊的三角形出發(fā)探索三邊邊長的關(guān)系.由于等邊三角形中線的夾角是120°，所以退而考慮等腰三角形.如圖1所示，假設(shè)AB=AC，BF與CE相交于P.先列出已知和假設(shè)可以得到什么.

已知BP⊥CP，由CE和BF分別是中線可得：

（1）△PBC，△PEF，△PFC，△PEB 均為直角三角形;

（2）BD=DC;

（3）PB=2PF，PC=2PE;

（4）EF∥BC，BC=2EF.

由假設(shè)AB=AC，可得：

（5）PB=PC，PE=PF，BE=CF，∠PCB=45°.

為方便計(jì)，記BC，AC，AB的長度分別為a，b，c. 由于a=b，只需尋找a與c的關(guān)系，系希望把AC用BC表示出來.完成這個(gè)任務(wù)的方法不止一種，以下是其中之一.

由（1）和（3）知FC2=PF2+PC2，F(xiàn)C2=PB22+PC2，

PB2+PC2=BC2[3]，（6）

又由（5）知PB=PC=24b2=58a2，

b2=c2=52a2，（7）

此外由上式知a5，

從而cosC=1010.（8）

4? 一般情況的探索

如圖2，AB≠AC，（7）式和（8）式不再成立.要想得到一般情形下的結(jié)論，必須仔細(xì)分析前述推導(dǎo)中哪些受到了“等腰”的限制，哪些沒有，然后進(jìn)一步討論怎樣能去掉“等腰”的限制，得到一般情形下的結(jié)果.

復(fù)盤上面的推導(dǎo)，（6）式中的結(jié)果是從已知的（1）和（3）得到的，與“等腰”無關(guān)，對一般三角形仍成立，（7）式和（8）式的結(jié)果是由假設(shè)“等腰”得到的.等腰三角形是軸對稱，一般三角形不具有這個(gè)特性，但是根據(jù)已知，二中線垂直決定了它有廣義的對稱，即點(diǎn)P的上下和左右各有一對直角三角形.（6）中的結(jié)果為

FC2=12PB2+PC2.（9）

（6）中的結(jié)果是由△PFC 得到的，與它對應(yīng)的有△PEB，完全同樣的操作，可以得到

EB2=12PC2+PB2 .（10）

二式相加利用（6）中的PB2+PC2=BC2即可消去PC，PB，得到：

FC2+EB2=12PB2+PC2+12PC2+PB2=45BC2，b2+c2=5a2.（11）

再由余弦定理[5] ，b2+c2=a2+2bccosA，

與（11）式比較得cosA=2a2bc.

從以上的分析可以得到如下的命題.

稱兩條中線互相垂直的三角形為“中垂三角形”，中垂三角形的中線相應(yīng)的兩邊長的平方和等于第三邊平方的5倍，第三邊的對角的余弦等于第三邊平方的兩倍與兩夾邊乘積之商.

5? 命題的證明

如圖2， 已知在△ABC中，中線BF和CE互相垂直，記BC，AC，AB的長度分別為a，b，c.求證：b2+c2=5a2，cosA=2a2bc.

證法1? 由已知 △PBC，△PFC， △PEB均為直角三角形，并且PB=2PF，PC=2PE，

分別在此三個(gè)三角形中應(yīng)用勾股定理[4]有PB2+PC2=BC2；

FC2=PF2+PC2=12PB2+PC2；

FB2=PE2+PB2=12PC2+PB2? .

將后兩式相加，并利用PB2+PC2=BC2得：

FC2+EB2=12PB2+PC2+12PC2+PB2=54BC2，

又AC=2FC，AB=2EB，故有b2+c2=5a2.

再由余弦定理，b2+c2=a2+2bccosA，

與前式比較得cosA=2a2bc.所證成立.

證法2? ?由已知，△PBC，△PEF，△PFC，△PEB 均為直角三角形，在這四個(gè)三角形里分別應(yīng)用勾股定理，得到FC2=PF2+PC2；

EB2=PE2+PB2；

PB2+PC2=BC2；

EF2=PE2+PF2.

前兩式相加得FC2+EB2=PF2+PC2+PE2+PB2=

PB2+PC2+PE2+PF2，

又BC=2EF，AC=2FC，AB=2EB，可得：

FC2+EB2=EF2+BC2

=54BC2，b2+c2=5a2 .

再由余弦定理，b2+c2=a2+2bccosA，

與前式比較得cosA=2a2bc.所證成立.

證法3? 由已知，△PBC，△PEF，△PFC，△PEB 均為直角三角形，并且EF∥BC，BC=2EF.記∠PCB=α.

FC2=PF2+PC2=EFsinα2+BCcosα2，

EB2=PE2+PB2=EFcosα2+BCsinα2，

二式相加得：FC2+EB2=EF2+BC2=54BC2，b2+c2=5a2.

再由余弦定理，b2+c2=a2+2bccosA，

與前式比較得cosA=2a2bc.所證成立.

6? 拓展應(yīng)用舉例

例題? 如圖3所示.在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)，G分別是AD，BC，CD的中點(diǎn)，BE⊥EG，AD=25，AB=3，求AF的長.

分析? 題目中的敏感詞是“中點(diǎn)”和“垂直”，與上述證明的命題相聯(lián)系，希望利用BE⊥EG構(gòu)造一個(gè)“中垂三角形”，利用所得命題進(jìn)行計(jì)算.

解? 延長EG，使它與FC延長線交于Q，延長FE和QD使其交于P.

易知△EGD≌△QGC，CQ=ED=FC，C為FQ中點(diǎn).

因?yàn)镃D∥FP，所以DF=DQ，

又因?yàn)镋D∥FC， 所以EP=EF，

即DF，EQ是△EGD的兩條中線.

因?yàn)锽E∥FD，所以BQ⊥FD，

于是△EGD是一個(gè)“中垂三角形”.

應(yīng)用已經(jīng)證明的命題知PF2+PQ2=5FQ2，

代入PE=2AB=6，F(xiàn)Q=AD=25，

得PQ2=64，PQ=8，AF=4.

7? 結(jié)語

以上從一個(gè)習(xí)題出發(fā)實(shí)現(xiàn)了一個(gè)由特殊到一般，再由一般到特殊（或者說是從具體到抽象，再由抽象到具體）的完整過程.從特殊到一般是這個(gè)過程的難點(diǎn)，本文通過對這一習(xí)題的分析說明了解決這個(gè)難點(diǎn)的基本思想，應(yīng)該分析解決特殊問題的過程中哪些可用于一般情況，哪些是受特殊條件約束的，保留可以用的，然后想辦法避免這個(gè)約束，達(dá)到解決一般問題的目標(biāo).當(dāng)然還需要多做一些這種類型的聯(lián)系才能逐步掌握這個(gè)方法.本文受到駱傳樞老師指導(dǎo)，在此深表感謝.

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